Gauss-Jordan Elimination est un algorithme qui peut être utilisé pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et pour trouver l’inverse de toute matrice inversible. Il s’appuie sur trois élémentaire opérations de ligne que l’on peut utiliser sur une matrice:
- changer la position des deux lignes
- Multiplier l’une des lignes par un scalaire non nul.
- ajoutez ou soustrayez le multiple scalaire d’une ligne à une autre ligne.,
forme D’échelon de ligne réduite
Le but de L’élimination de Gauss-Jordan est d’utiliser les trois opérations de ligne élémentaires pour convertir une matrice en forme d’échelon de ligne réduite. Une matrice est sous forme d’échelon de ligne réduite, également appelée forme canonique de ligne, si les conditions suivantes sont remplies:
- toutes les lignes avec seulement zéro entrées sont en bas de la matrice
- la première entrée non nulle d’une ligne, appelée entrée principale ou pivot, de chaque ligne non nulle est à droite de l’entrée principale de la ligne au-dessus.,
- l’entrée principale, également appelée pivot, dans toute ligne non nulle est 1.
- toutes les autres entrées de la colonne contenant un premier 1 sont des zéros.
Les Matrices A et B sont sous forme d’échelon réduit, mais les matrices C et D Ne le sont pas. C n’est pas sous forme d’échelon à rangée réduite car il viole les conditions deux et trois. D n’est pas sous forme d’échelon à rangée réduite car il viole la condition quatre. De plus, les opérations de ligne élémentaires peuvent être utilisées pour réduire la matrice D en matrice B.,
étapes pour L’élimination de Gauss-Jordan
pour effectuer L’élimination de Gauss-Jordan:
- permutez les lignes pour que toutes les lignes avec toutes les entrées nulles soient en bas
- permutez les lignes pour que la ligne avec la plus grande entrée non nulle la plus à gauche soit en haut.
- multipliez la ligne supérieure par un scalaire pour que l’entrée principale de la ligne supérieure devienne 1.
- ajouter / soustraire des multiples de la ligne supérieure aux autres lignes de sorte que toutes les autres entrées de la colonne contenant l’entrée principale de la ligne supérieure soient toutes nulles.,
- répétez les étapes 2 à 4 pour l’entrée non nulle la plus à gauche jusqu’à ce que toutes les entrées en tête soient 1.
- permutez les lignes de sorte que l’entrée principale de chaque ligne non nulle soit à droite de l’entrée principale de la ligne au-dessus.,
des exemples vidéo sélectionnés sont présentés ci-dessous:
- Gauss – Jordan Elimination-Jonathan Mitchell (YouTube)
- utilisation de Gauss – Jordan pour résoudre un système de trois équations linéaires – exemple 1 – patrickJMT (YouTube)
- algèbre – Matrices – méthode de Gauss Jordan Partie 1 Matrice augmentée – IntuitiveMath (YouTube)
- Gaussian Elimination-patrickJMT (YouTube)
pour obtenir l’inverse d’une matrice n × n a: