Fluide newtonien

un élément d’un liquide ou d’un gaz en écoulement subira des forces du fluide environnant, y compris des forces de contrainte visqueuses qui le font se déformer progressivement au fil du temps. Ces forces peuvent être mathématiquement approximées au premier ordre par un tenseur de contrainte visqueux, qui est généralement noté τ {\displaystyle \ tau } .

la déformation de cet élément fluide, par rapport à un état antérieur, peut être approchée au premier ordre par un tenseur de déformation qui change avec le temps., La dérivée temporelle de ce tenseur est le tenseur de la vitesse de déformation, qui exprime comment la déformation de l’élément change avec le temps; et est également le gradient du champ de vecteur vitesse v {\displaystyle V} à ce point, souvent noté ∇ v {\displaystyle \nabla v} .,/p>

cas isotrope Incompressibleedit

pour un fluide newtonien incompressible et isotrope, la contrainte visqueuse est liée à la vitesse de déformation par l’équation plus simple

τ = μ D u d y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}

où

τ {\displaystyle \tau } est la contrainte de cisaillement (« traînée ») dans le fluide, μ {\displaystyle \MU } est une constante scalaire de proportionnalité, la viscosité de cisaillement du fluide d u d y {\displaystyle {\frac {du}{Dy}}} est la dérivée de la composante de vitesse qui est parallèle à la direction de cisaillement, par rapport au déplacement dans la direction perpendiculaire.,, cette équation peut être écrite en termes d’un système de coordonnées arbitraire comme τ i J = μ (v v i + x j+v v j x x i ) {\displaystyle \tau _{IJ}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}} + {\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}

où

x j {\displaystyle x_{J}} est la coordonnée spatiale j {\displaystyle j} th v i {\displaystyle V_{i}} est la vitesse du fluide dans la direction de l’axe i {\displaystyle I} τ i j {\displaystyle \tau _{IJ}} est la composante j {\displaystyle j} th de la contrainte agissant sur les faces de l’élément fluide perpendiculaire à l’axe i {\displaystyle I} .,

on définit également un tenseur de contrainte totale σ {\displaystyle \mathbf {\sigma } } , qui combine la contrainte de cisaillement avec la pression conventionnelle (thermodynamique) p {\displaystyle p} ., La contrainte de cisaillement équation devient alors

σ i j = − p δ i j + µ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}

ou écrit dans les plus compacts du tenseur de notation

σ = − p I + μ ( ∇ v + ∇ v T ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } =-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\right)}

où I {\displaystyle \mathbf {I} } est le tenseur identité.,

pour les fluides anisotropiquesmodifier

plus généralement, dans un fluide newtonien Non isotrope, le coefficient μ {\displaystyle \mu } qui relie les contraintes de frottement internes aux dérivées spatiales du champ de vitesse est remplacé par un tenseur de contrainte visqueux à neuf éléments μ i j {\displaystyle \mu _{IJ}} .,

il existe une formule générale pour la force de frottement dans un liquide: le différentiel vectoriel de la force de frottement est égal au tenseur de viscosité augmenté sur le différentiel de produit vectoriel du vecteur d’aire des couches liquides adjacentes et du rotor de vitesse:

d F = μ I J D s × r o t u {\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{IJ}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }

Où μ i j {\displaystyle \Mu _{IJ}} – tenseur de viscosité. Les composants diagonaux du tenseur de viscosité sont la viscosité moléculaire d’un liquide, et non les composants diagonaux – la viscosité tourbillonnante.,

loi newtonienne de viscositédit

l’équation suivante illustre la relation entre la vitesse de cisaillement et la contrainte de cisaillement:

τ = μ D u d y {\displaystyle \tau =\mu {du \over dy}} ,

où:

• τ est la contrainte de cisaillement;
• μ est la viscosité, et
• d u d y {\textstyle {\frac {du}{Dy}}} est le taux de cisaillement.

Si la viscosité est constante, le fluide est Newtonien.

Power law modelEdit

le modèle de loi de puissance est utilisé pour afficher le comportement des fluides newtoniens et non newtoniens et mesure la contrainte de cisaillement en fonction de la vitesse de déformation.,

La relation entre la contrainte de cisaillement, le taux de souche et le gradient de vitesse pour la loi de puissance modèle:

τ = − m | γ | n − 1 d v x d y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,

où

• | γ | n − 1 {\displaystyle \left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}} est la valeur absolue de la vitesse de déformation à la (n-1);

• d v x d y {\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}} est le gradient de vitesse;

• n est la loi de puissance d’indice.,

Si

• n < 1 alors le fluide est un pseudoplastic.
• n = 1 alors le fluide est un fluide Newtonien.
• n > 1 alors le fluide est un dilatants.,

Fluid modelEdit

la relation entre la contrainte de cisaillement et la vitesse de cisaillement dans un modèle de fluide de casson est définie comme suit:

τ = τ 0 + S D V d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+s{\sqrt {dV \over dy}}}

où τ0 est la contrainte d’élasticité et

s = μ ( 1 − h ) α {\displaystyle S={\sqrt {\frac {\Mu }{(1-H)^{\alpha }}}}} ,

où α dépend de la composition des protéines et H est le nombre d’hématocrite.