Quelles Sont les Sections Coniques?
les sections Coniques sont obtenus par l’intersection de la surface d’un cône avec un plan, et de certaines caractéristiques.,
objectifs D’apprentissage
décrire les parties d’une section conique et comment les sections coniques peuvent être considérées comme des sections transversales d’un double cône
points clés
points clés
- une section conique (ou simplement conique) est une courbe obtenue comme l’intersection de la surface ellipses et hyperboles.
- une section conique peut être représentée graphiquement sur un plan de coordonnées.
- chaque section conique possède certaines fonctionnalités, y compris au moins un focus et une directrice., Les paraboles ont un foyer et une directrice, tandis que les ellipses et les hyperboles en ont deux.
- une section conique est l’ensemble des points P dont
la distance au foyer est un multiple constant de la distance de P à la directrice de la conique.
termes clés
- sommet: un point extrême sur une section conique.
- asymptote: une droite dont une courbe s’approche arbitrairement de près lorsqu’elle va à l’infini.
- locus: ensemble de tous les points dont les coordonnées satisfont une équation ou une condition donnée.,
- foyer: point utilisé pour construire et définir une section conique, à laquelle convergent les rayons réfléchis par la courbe (pluriel: foyers).
- nappe: la moitié d’un cône double.
- conique: Toute courbe formée par l’intersection d’un plan avec un cône de deux nappes.
- directrice: Une ligne utilisée pour construire et définir une conique; une parabole a une directrice; les ellipses et les hyperboles de deux (pluriel: directrices).,
la Définition des Coniques
Une section conique (ou simplement conique) est une courbe obtenu comme l’intersection de la surface d’un cône avec un plan. Les trois types de coniques sont l’hyperbole, la parabole et l’ellipse. Le cercle est de type ellipse, et est parfois considéré comme un quatrième type de section conique.
des sections coniques peuvent être générées en coupant un plan avec un cône. Un cône a deux parties de forme identique appelées couches. Une nappe est ce que la plupart des gens entendent par” cône », et a la forme d’un chapeau de fête.,
les sections Coniques sont générés par l’intersection d’un plan avec un cône. Si le plan est parallèle à l’axe de révolution (l’axe des y), la conique est une hyperbole. Si le plan est parallèle à la génératrice, la conique est une parabole. Si le plan est perpendiculaire à l’axe de révolution, la conique est un cercle. Si le plan coupe une nappe à un angle par rapport à l’axe (autre que 90^{\circ}), alors la section conique est une ellipse.,
d’Un cône et coniques: Les nappes et les quatre sections coniques. Chaque conique est déterminée par l’angle que le plan fait avec l’axe du cône.
parties communes des sections coniques
bien que chaque type de section conique soit très différent, elles ont quelques caractéristiques en commun. Par exemple, chaque type A au moins un focus et une directrice.
un foyer est un point sur lequel la section conique est construite. En d’autres termes, c’est un point sur lequel convergent les rayons réfléchis par la courbe., Une parabole a un foyer autour duquel la forme est construite; une ellipse et une hyperbole en ont deux.
Une directrice est une ligne utilisée pour construire et définir une section conique. La distance d’une directrice d’un point de la conique a un rapport constant à la distance de ce point de l’accent. Comme pour le focus, une parabole a une directrice, tandis que les ellipses et les hyperboles en ont deux.
ces propriétés que partagent les sections coniques sont souvent présentées comme la définition suivante, qui sera développée plus loin dans la section suivante., Une conique est le lieu des points P dont la distance au foyer est une constante multiple de la distance de P à la directrice de la conique. Ces distances sont affichées sous forme de lignes orange pour chaque conique dans le diagramme suivant.
les Parties des sections coniques: Les trois sections coniques avec des foyers et directrices étiquetés.
Chaque type de conique est décrite plus en détail ci-dessous.,
parabole
une parabole est l’ensemble de tous les points dont la distance d’un point fixe, appelé foyer, est égale à la distance d’une ligne fixe, appelée directrice. Le point à mi-chemin entre le foyer et la directrice est appelé le sommet de la parabole.
dans la figure suivante, quatre paraboles sont représentées sur le plan de coordonnées. Ils peuvent s’ouvrir en haut, en bas, à gauche ou à droite.
quatre paraboles, s’ouvrant dans différentes directions: le sommet se trouve au milieu entre la directrice et le foyer.,
Ellipses
Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances de deux points fixes (les foyers) est constante. Dans le cas d’une ellipse, il y a deux foyers et deux directions.
dans la figure suivante, une ellipse typique est représentée telle qu’elle apparaît sur le plan de coordonnées.
Ellipse: La somme des distances d’un point quelconque de l’ellipse pour les foyers est constante.,
les Hyperboles
Une hyperbole est l’ensemble de tous les points où la différence entre les distances de deux points fixes (les foyers) est constante. Dans le cas d’une hyperbole, il y a deux foyers et deux directions. Les hyperboles ont également deux asymptotes.
Un graphique typique d’une hyperbole dans la figure suivante.
Hyperbole: La différence des distances à partir d’un point quelconque de l’ellipse pour les foyers est constante. L’axe transversal est également appelé l’axe majeur, et l’axe conjugué est également appelé l’axe mineur.,
Applications des Sections coniques
Les sections coniques sont utilisées dans de nombreux domaines d’étude, en particulier pour décrire des formes. Par exemple, ils sont utilisés en astronomie pour décrire la forme des orbites des objets dans l’espace. Deux objets massifs dans l’espace qui interagissent selon la loi de gravitation universelle de Newton peuvent se déplacer sur des orbites en forme de sections coniques. Ils pourraient suivre des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, selon leurs propriétés.
excentricité
chaque section conique a une excentricité constante qui fournit des informations sur sa forme.,
Objectifs d’Apprentissage
Discuter de la façon dont l’excentricité de la conique décrit son comportement
plats à Emporter Clés
les Points Clés
- l’Excentricité est un paramètre associé à chaque conique, et peut être pensé
comme une mesure de combien la conique s’écarte de la circulaire. - l’excentricité d’une section conique est définie comme étant la distance de tout point de la section conique à son foyer, divisée par la distance perpendiculaire de ce point à la directrice la plus proche.,
- La valeur de e peut être utilisé pour déterminer le type de conique. Si e= 1, c’est une parabole, si e < 1 c’est une ellipse, et si e > 1 c’est une hyperbole.
les Termes Clés
- excentricité: Un paramètre d’une section conique qui décrit combien la conique s’écarte de la circulaire.
la Définition de l’Excentricité de l’
L’excentricité, notée e, est un paramètre associé à chaque conique. Il peut être considéré comme une mesure de combien la conique s’écarte de la circulaire.,
l’excentricité d’une section conique est définie comme étant la distance de tout point de la section conique à son foyer, divisée par la distance perpendiculaire de ce point à la directrice la plus proche. La valeur de e est constante pour une conique. Cette propriété peut être utilisée comme définition générale pour les sections coniques., La valeur de e peut être utilisé pour déterminer le type de conique ainsi:
- Si e = 1, la conique est une parabole
- Si e < 1, c’est une ellipse
- Si e > 1, c’est une hyperbole
L’excentricité d’un cercle est égale à zéro. Notez que deux sections coniques sont similaires (de forme identique) si et seulement si elles ont la même excentricité.
rappelons que les hyperboles et les ellipses non circulaires ont deux foyers et deux directions associées, tandis que les paraboles ont un foyer et une directrice., Dans la figure suivante, chaque type de section conique est représenté avec un focus et une directrice. Les lignes orange indiquent la distance entre le foyer et les points de la section conique, ainsi que la distance entre les mêmes points et la directrice. Ce sont les distances utilisées pour trouver l’excentricité.
Sections coniques et leurs parties: L’excentricité est le rapport entre la distance de tout point de la section conique à son foyer, et la distance perpendiculaire de ce point à la directrice la plus proche.,
conceptualisation de L’excentricité
D’après la définition d’une parabole, la distance de tout point de la parabole au foyer est égale à la distance de ce même point à la directrice. Donc, par définition, l’excentricité d’une parabole doit être de 1.
Pour une ellipse, l’excentricité est inférieur à 1. Cela signifie que, dans le rapport qui définit l’excentricité, le numérateur est inférieur au dénominateur. En d’autres termes, la distance entre un point sur une section conique et son foyer est inférieure à la distance entre ce point et la directrice la plus proche.,
inversement, l’excentricité d’une hyperbole est supérieure à 1. Cela indique que la distance entre un point sur une section conique la directrice la plus proche est inférieure à la distance entre ce point et le foyer.
Types de sections coniques
Les sections coniques sont formées par l’intersection d’un plan avec un cône, et leurs propriétés dépendent de la façon dont cette intersection se produit.,
Objectifs d’Apprentissage
Discuter les propriétés des différents types de coniques
plats à Emporter Clés
les Points Clés
- les sections Coniques sont un type particulier de forme formée par l’intersection d’un plan et d’une droite, cône de révolution. Selon l’angle entre le plan et le cône, quatre formes d’intersection différentes peuvent être formées.
- Les types de sections coniques sont les cercles, les ellipses, les hyperboles et les paraboles.
- Chaque conique a aussi une forme dégénérée; elles prennent la forme de points et de lignes.,
les Termes Clés
- dégénérer: Une conique qui ne correspond pas à la forme standard de l’équation.
- asymptote: une ligne qu’une fonction courbe ou une forme approche mais ne touche jamais.
- hyperbole: La conique formé par le plan perpendiculaire à la base du cône.
- focus: un point éloigné d’une ligne courbe, autour de laquelle la courbe se plie.
- cercle: La conique formé par le plan parallèle à la base du cône.
- ellipse: La conique formé par l’avion étant à un angle de la base du cône.,
- excentricité: Un paramètre sans dimension caractérisant la forme d’une conique.
- parabole: la section conique formée par le plan étant parallèle au cône.
- sommet: le point tournant d’une forme incurvée.
les sections Coniques sont un type particulier de forme formée par l’intersection d’un plan et d’une droite, cône de révolution. Selon l’angle entre le plan et le cône, quatre formes d’intersection différentes peuvent être formées. Chaque forme a également une forme dégénérée., Il existe une propriété de toutes les sections coniques appelée excentricité, qui prend la forme d’un paramètre numérique E. Les quatre formes de section conique ont chacune des valeurs différentes de e.
Types de sections coniques: cette figure montre comment les sections coniques, en bleu clair, sont le résultat L’Image 1 montre une parabole, l’image 2 montre un cercle (en bas) et une ellipse (en haut), et l’image 3 montre une hyperbole.,
parabole
une parabole est formée lorsque le plan est parallèle à la surface du cône, ce qui donne une courbe en U qui se trouve sur le plan. Chaque parabole a certaines caractéristiques:
- un sommet, qui est le point où la courbe tourne autour
- Un foyer, qui est un point qui n’est pas sur la courbe autour de laquelle la courbe se plie
- Un axe de symétrie, qui est une ligne reliant le sommet et le foyer qui divise la parabole en deux moitiés égales
toutes les paraboles possèdent une valeur d’excentricité e=1., En conséquence directe d’avoir la même excentricité, toutes les paraboles sont similaires, ce qui signifie que toute parabole peut être transformée en une autre avec un changement de position et de mise à l’échelle. Le cas dégénéré d’une parabole est lorsque le plan touche à peine la surface extérieure du cône, ce qui signifie qu’il est tangent au cône. Cela crée une intersection de ligne droite hors de la diagonale du cône.
Non dégénérée paraboles peut être représentée avec des fonctions quadratiques de type »
f(x) = x^2
Cercle
Un cercle est formé lorsque le plan est parallèle à la base du cône., Son intersection avec le cône est donc un ensemble de points équidistants d’un point commun (l’axe central du cône), qui répond à la définition d’un cercle. Tous les cercles ont certaines caractéristiques:
- d’Un point central
- Un rayon, la distance de tout point sur le cercle de centre le point
Tous les cercles ont une excentricité e=0. Ainsi, comme la parabole, tous les cercles sont similaires et peuvent être transformés les uns en les autres., Sur une coordonnée en plan, la forme générale de l’équation du cercle est
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
lorsque (h,k) sont les coordonnées du centre du cercle, et r est le rayon.
La forme dégénérée du cercle se produit lorsque l’avion qu’coupe la pointe du cône. Il s’agit d’une intersection ponctuelle unique, ou de manière équivalente d’un cercle de rayon nul.
Sections coniques représentées par excentricité: Ce graphique montre une ellipse en rouge, avec un exemple de valeur d’excentricité de 0.,5, une parabole en vert avec l’excentricité requise de 1, et une hyperbole en bleu avec un exemple d’excentricité de 2. Il montre également l’un des cas d’hyperbole dégénérée, la ligne noire droite, correspondant à une excentricité infinie. Le cercle est à l’intérieur de la parabole, qui est à l’intérieur de l’une et de l’hyperbole, qui a la ligne horizontale en dessous. De cette façon, l’excentricité croissante peut être identifiée avec une sorte de dépliage ou d’ouverture de la section conique.,
Ellipse
lorsque l’angle du plan par rapport au cône est entre la surface extérieure du cône et la base du cône, l’intersection résultante est une ellipse. La définition d’une ellipse comprend également être parallèle à la base du cône, de sorte que tous les cercles sont un cas particulier de l’ellipse., Les Ellipses ont ces caractéristiques:
- Un axe majeur, qui est la largeur la plus longue à travers l’ellipse
- Un axe mineur, qui est la largeur la plus courte à travers l’ellipse
- Un centre, qui est l’intersection des deux axes
- deux points focaux —pour tout point de l’ellipse, la somme des distances aux deux points focaux est une constante
les Ellipses peuvent avoir une plage de valeurs d’excentricité: 0 \leq e < 1. Notez que la valeur 0 est incluse (un cercle), mais la valeur 1 n’est pas incluse (ce serait une parabole)., Comme il existe une plage de valeurs d’excentricité, toutes les ellipses ne sont pas similaires. La forme générale de l’équation d’une ellipse avec le grand axe parallèle à l’axe des x est:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
La forme dégénérée d’une ellipse est un point, ou d’un cercle de rayon de braquage nul, tout comme c’était pour le cercle.
hyperbole
une hyperbole est formée lorsque le plan est parallèle à l’axe central du cône, ce qui signifie qu’elle coupe les deux parties du double cône.,pinsons, ainsi que ces caractéristiques:
- Asymptote lignes, deux linéaire des graphiques, la courbe de l’hyperbole approches, mais ne touche jamais
- Un centre, qui est l’intersection des asymptotes
- Deux points focaux, autour de laquelle chacune des deux branches de pliage
- Deux sommets, un pour chaque branche
Le général équation d’une hyperbole dont les sommets sur une ligne horizontale est:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
L’excentricité d’une hyperbole est limité à e > 1, et n’a pas de limite supérieure., Si l’excentricité est autorisé à aller à la limite de +\infty (l’infini positif), l’hyperbole devient l’un de ses cas dégénérés une ligne droite. L’autre cas dégénéré pour une hyperbole est de devenir ses deux asymptotes droites. Cela se produit lorsque le plan croise le sommet du double cône.