Qu’est-ce que FEA | analyse par éléments finis?

L’analyse par éléments finis (FEA) est la simulation d’un phénomène physique donné à l’aide de la technique numérique appelée méthode par éléments finis (FEM). Les ingénieurs utilisent le logiciel FEA pour réduire le nombre de prototypes et d’expériences physiques et optimiser les composants dans leur phase de conception afin de développer de meilleurs produits, plus rapidement tout en économisant sur les dépenses.,

Il est nécessaire d’utiliser les mathématiques pour comprendre et quantifier de manière exhaustive tous les phénomènes physiques tels que le comportement structurel ou fluide, le transport thermique, la propagation des ondes, la croissance des cellules biologiques, etc. La plupart de ces processus sont décrits à l’aide d’équations aux Dérivées Partielles (eDP). Cependant, pour qu’un ordinateur puisse résoudre ces eDP, des techniques numériques ont été développées au cours des dernières décennies et l’une des plus importantes, aujourd’hui, est L’analyse par éléments finis.,

Les équations différentielles décrivent non seulement les phénomènes naturels mais aussi les phénomènes physiques rencontrés en mécanique d’ingénierie. Ces équations aux Dérivées Partielles (eDP) sont des équations compliquées qui doivent être résolues afin de calculer les quantités pertinentes d’une structure (comme les contraintes (\(\epsilon\)), les contraintes (\(\epsilon\)), etc.) afin d’estimer le comportement structurel sous une charge donnée. Il est important de savoir que FEA ne donne qu’une solution approximative au problème et est une approche numérique pour obtenir le résultat réel de ces équations aux Dérivées Partielles., Simplifié, FEA est une méthode numérique utilisée pour la prédiction du comportement d’une pièce ou d’un assemblage dans des conditions données. Il est utilisé comme base pour les logiciels de simulation modernes et aide les ingénieurs à trouver les points faibles, les zones de tension, etc. dans leurs conceptions. Les résultats d’une simulation basée sur la méthode FEA sont généralement représentés via une échelle de couleurs qui montre, par exemple, la répartition de la pression sur l’objet.

selon le point de vue, on peut dire que la FEA trouve son origine dans L’œuvre d’Euler, dès le XVIe siècle., Cependant, les premiers articles mathématiques sur L’analyse par éléments finis peuvent être trouvés dans les travaux de Schellbach et Courant .

FEA a été développé indépendamment par des ingénieurs de différentes industries pour résoudre les problèmes de mécanique des structures liés à l’aérospatiale et au génie civil. Le développement d’applications réelles a commencé vers le milieu des années 1950 sous la forme d’articles de Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris et Babuska & Aziz show., Les livres de Zienkiewicz et Strang& Fix ont également jeté les bases des développements futurs du logiciel FEA.

Diviser et Conquérir

Pour être en mesure de faire des simulations, un maillage composé de millions de petits éléments qui, ensemble, de la forme de la structure, doit être créé., Les calculs sont effectués pour chaque élément. La combinaison des résultats individuels nous donne le résultat final de la structure. Les approximations que nous venons de mentionner sont généralement polynomiales et en fait, des interpolations sur le ou les éléments. Cela signifie que nous connaissons les valeurs à certains points de l’élément mais pas à chaque point. Ces  » certains points sont appelés points nodaux et sont souvent situés à la frontière de l’élément. La précision avec laquelle la variable change est exprimée par une approximation pour eg. linéaire, quadratique, cubique, etc., Afin de mieux comprendre les techniques d’approximation, nous examinerons une barre unidimensionnelle. Considérez la vraie distribution de température T (x) le long de la barre dans l’image ci-dessous:

supposons que nous connaissons la température de cette barre à 5 positions spécifiques (nombres 1-5 dans l’illustration)., Maintenant, la question Est: Comment Pouvons-nous prédire la température entre ces points? Une approximation linéaire est assez bonne, mais il existe de meilleures possibilités pour représenter la distribution réelle de la température. Si nous choisissons une approximation carrée, la distribution de la température le long de la barre est beaucoup plus lisse. Néanmoins, nous voyons que quel que soit le degré polynomial, la distribution sur la tige est connue une fois que nous connaissons les valeurs aux points nodaux. Si nous avions une barre infinie, nous aurions une quantité infinie d’inconnues (degrés de liberté (DOF))., Mais dans ce cas, nous avons un problème avec un « finite” nombre d’inconnues:

Un système avec un nombre fini de variables est appelé un système discret. Un système avec un nombre infini d’inconnues est appelé système continu.

dans le but d’approximations, nous pouvons trouver la relation suivante pour une quantité de champ \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

La ligne illustré en haut montre ce principe pour un problème 1D., \(u\) peut représenter la température sur la longueur d’une tige chauffée de manière non uniforme. Dans notre cas, il y a quatre éléments le long de l’axe des abscisses, où la fonction définit l’approximation linéaire de la température illustrée par des points le long de la ligne.

l’un des plus grands avantages que nous avons en utilisant L’analyse par éléments finis est que nous pouvons soit varier la discrétisation par élément, soit discrétiser les fonctions de base correspondantes. De facto, nous pourrions utiliser des éléments plus petits dans les régions où des gradients élevés de \(u\) sont attendus., Dans le but de modéliser la pente de la fonction, nous devons faire des approximations.

équations aux Dérivées Partielles

avant de procéder à la FEA elle-même, il est important de comprendre les différents types d’EDP et leur adéquation à la FEA. Comprendre cela est important pour tout le monde, quelle que soit sa motivation à utiliser l’analyse par éléments finis. Il faut constamment se rappeler que le logiciel FEA est un outil et que tout outil n’est aussi bon que son utilisateur.,

Les PDE peuvent être classés comme elliptiques (sont assez lisses), hyperboliques (supportent des solutions avec des discontinuités) et paraboliques (décrivent des problèmes de diffusion dépendant du temps). Lors de la résolution de ces équations différentielles, des conditions limites et/ou initiales doivent être fournies. En fonction du type de PDE, les entrées nécessaires peuvent être évaluées. Les exemples de PDE dans chaque catégorie incluent l’équation de Poisson (elliptique), l’équation D’onde (hyperbolique) et la loi de Fourier (parabolique).,

Il existe deux approches principales pour résoudre les PDE elliptiques – analyse des différences finies (FDA) et méthodes variationnelles (ou énergétiques). FEA tombe dans la deuxième catégorie de méthodes variationnelles. Les approches variationnelles sont principalement basées sur la philosophie de la minimisation de l’énergie.

Les PDE hyperboliques sont généralement associées à des sauts dans les solutions., L’équation d’onde, par exemple, est une PDE hyperbolique. En raison de l’existence de discontinuités (ou sauts) dans les solutions, la technologie FEA originale (ou méthode Bubnov-Galerkin) était considérée comme inappropriée pour résoudre les EDP hyperboliques. cependant, au fil des ans, des modifications ont été développées pour étendre l’applicabilité du logiciel et de la technologie FEA.

Il est important de considérer la conséquence de l’utilisation d’un cadre numérique qui ne convient pas au type de PDE choisi. Une telle utilisation conduit à des solutions connues sous le nom de « mal posées”., Cela pourrait signifier que de petits changements dans les paramètres du domaine conduire à de grandes oscillations dans les solutions ou les solutions n’existent que sur une certaine partie du domaine ou de temps. Ce ne sont pas fiables. Les solutions bien posées sont définies avec une solution unique, qui existe en permanence pour les données définies. Par conséquent, compte tenu de la fiabilité, il est extrêmement important de les obtenir.

la Formulation faible et forte

Les modèles mathématiques de conduction thermique et d’élastostatique couverts dans cette série sont constitués d’équations différentielles (partielles) avec des conditions initiales ainsi que des conditions aux limites., Ceci est également appelé la forme dite forte du problème. Quelques exemples de « formes fortes » sont donnés dans l’illustration ci-dessous:

Les équations aux dérivées partielles du Second ordre exigent un haut degré de douceur pour la solution \(u(x)\). Cela signifie que la dérivée seconde du déplacement doit exister et doit être continu! Cela implique également des exigences pour les paramètres qui ne peuvent pas être influencés comme la géométrie (arêtes vives) et les paramètres du matériau (module différent dans un matériau).,

pour développer la formulation des éléments finis, les équations aux dérivées partielles doivent être reformulées sous une forme intégrale appelée forme faible. La forme faible et forte sont équivalentes! En analyse de stress, la forme faible est appelée le principe du travail virtuel.

\\int^l_0\frac{DW}{DX}ae\Frac{du}{dx}dx=(wa \overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~ ~ ~ \forall W~with ~W(L)=0 \ tag{3}

l’équation donnée est la forme dite faible (dans ce cas, la formulation faible pour l’élastostatique)., Le nom indique que les solutions à la forme faible n’ont pas besoin d’être aussi lisses que les solutions de la forme forte, ce qui implique des exigences de continuité plus faibles.

Vous devez garder à l’esprit que la solution satisfaisant la forme faible est aussi la solution de la forte homologue de l’équation. Rappelez-vous également que les solutions d’essai \(u(x)\) doivent satisfaire aux conditions aux limites de déplacement. C’est une propriété essentielle des solutions d’essai et c’est pourquoi nous appelons ces conditions aux limites des conditions aux limites essentielles.

ces formulations vous intéressent-elles?, Si oui, veuillez lire plus dans le sujet du forum sur l’équivalence entre la formulation faible et forte des EDP pour les ae.

énergie potentielle minimale

l’analyse par éléments finis peut également être exécutée avec le principe de Variation. Dans le cas des élastostatiques unidimensionnelles, le minimum d’énergie potentielle est résilient pour les systèmes conservateurs. La position d’équilibre est stable si l’énergie potentielle du système \(\Pi\) est minimale. Chaque perturbation infinitésimale de la position stable conduit à un état énergétique défavorable et implique une réaction de restauration., Un exemple facile est une bouteille en verre normale qui se trouve sur le sol, où elle a un minimum d’énergie potentielle. S’il tombe, rien ne va se passer, sauf un bruit fort. S’il est debout sur le coin d’une table et tombe au sol, il est plutôt susceptible de se casser car il transporte plus d’énergie vers le sol. Pour le principe de variation, nous utilisons ce fait. Plus le niveau d’énergie est bas, moins il est probable qu’il se trompe de solution., L’énergie potentielle totale \(\Pi\) d’un système consiste le travail des forces intérieures (énergie de déformation)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)Un(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon(x)} dx \tag{4}$$

et le travail des forces extérieures

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \tag{5}$$

L’énergie totale est:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

en savoir plus sur le minimum de l’énergie potentielle dans notre sujet sur le forum.,

Convergence des mailles

l’un des problèmes les plus négligés en mécanique informatique qui affectent la précision est la convergence des mailles. Ceci est lié à la taille des éléments pour s’assurer que les résultats d’une analyse ne sont pas affectés par la modification de la taille du maillage.

La figure ci-dessus montre la convergence d’une quantité avec une augmentation dans le nombre de degrés de liberté. Comme représenté sur la figure, il est important d’identifier d’abord la quantité d’intérêt. Au moins trois points doivent être pris en compte et à mesure que la densité du maillage augmente, la quantité d’intérêt commence à converger vers une valeur particulière. Si deux raffinements de maillage ultérieurs ne modifient pas substantiellement le résultat, alors on peut supposer que le résultat a convergé.,

pour entrer dans la question du raffinement du maillage, il n’est pas toujours nécessaire que le maillage dans l’ensemble du modèle soit affiné. Le principe de St. Venant impose que les contraintes locales dans une région n’affectent pas les contraintes ailleurs. Par conséquent, d’un point de vue physique, le modèle ne peut être affiné que dans des régions particulières d’intérêt et présente en outre une zone de transition du maillage grossier au maillage fin., Il existe deux types de raffinements (raffinement h et P), comme indiqué dans la figure ci – dessus. le raffinement h se rapporte à la réduction de la taille des éléments, tandis que le raffinement p se rapporte à l’augmentation de l’ordre de l’élément.

ici, il est important de faire la distinction entre effet géométrique et convergence de maillage, en particulier lorsque le maillage d’une surface incurvée à l’aide d’éléments droits (ou linéaires) nécessitera plus d’éléments (ou de raffinement de maillage) pour capturer la limite exactement., Le raffinement du maillage conduit à une réduction significative des erreurs:

un raffinement comme celui-ci peut permettre une augmentation de la convergence des solutions sans augmenter la taille du problème global à résoudre.

Comment mesurer la convergence?,

maintenant que l’importance de la convergence a été discutée, Comment mesurer la convergence? Qu’est-ce qu’une mesure quantitative de la convergence? La première façon serait de comparer avec des solutions analytiques ou des résultats expérimentaux.

Erreur dans les Déplacements:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

où \(u\) est la solution analytique pour le champ de déplacement.

Erreur de Souches:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8}$$

où \(\epsilon\) est la solution analytique pour le champ de déformation.,

Erreur de Contraintes:

$$e_\sigma = \sigma \sigma^h \tag{9}$$

où \(\sigma\) est la solution analytique pour le champ de contrainte.

Comme indiqué dans les équations ci-dessus, plusieurs erreurs peuvent être définis pour les déplacements, les déformations et les contraintes. Ces erreurs pourraient être utilisées pour la comparaison et elles devraient être réduites avec le raffinement du maillage. En savoir plus sur la façon dont ces erreurs sont calculées avec les normes pour ces quantités.,

logiciel D’analyse par éléments finis

l’analyse par éléments finis a commencé avec des promesses significatives dans la modélisation de plusieurs applications mécaniques liées à l’aérospatiale et au génie civil. Les applications de la méthode des éléments finis commencent tout juste à atteindre leur potentiel., L’une des perspectives les plus intéressantes est son application à des problèmes couplés tels que l’interaction fluide-structure; problèmes thermo-mécaniques, thermo-chimiques, thermo-chimio-mécaniques piézoélectriques, ferroélectriques, électromagnétiques et autres domaines pertinents:

statique

avec l’analyse statique, vous pouvez analyser des structures quasi-statiques linéaires et non linéaires. Dans un cas linéaire à une charge statique, une seule étape est nécessaire pour déterminer la réponse structurelle. La non-linéarité géométrique, de contact et matérielle peut être prise en compte. Un exemple est un coussinet de roulement d’un pont.,

Dynamic

L’analyse dynamique vous aide à analyser la réponse dynamique d’une structure qui a subi des charges dynamiques sur une période donnée. Pour modéliser les problèmes structurels de façon réaliste, vous pouvez également analyser les impacts des charges ainsi que les déplacements. Un exemple en est l’impact d’un crâne humain, avec ou sans casque.

Modal

Les fréquences propres et les modes propres d’une structure dus aux vibrations peuvent être simulés à l’aide d’une analyse modale. La réponse maximale d’une structure ou d’un système sous une charge donnée peut être simulée avec une analyse harmonique., Un exemple est le démarrage d’un moteur.

différents types de méthodes par éléments finis

comme discuté précédemment dans la section sur les eDP, la technologie FEM traditionnelle a démontré des lacunes dans la modélisation des problèmes liés à la mécanique des fluides, à la propagation des ondes, etc. Plusieurs améliorations ont été apportées au cours des deux dernières décennies pour améliorer le processus de solution et étendre l’applicabilité de l’analyse par éléments finis à un large genre de problèmes., Certains des plus importants encore utilisés incluent:

Extended Finite Element Method (XFEM)

La méthode Bubnov-Galerkin nécessite une continuité des déplacements entre les éléments. Cependant, des problèmes tels que le contact, la fracture et les dommages impliquent des discontinuités et des sauts qui ne peuvent pas être directement gérés par des méthodes par éléments finis. Pour pallier cette lacune, XFEM est né dans les années 1990. XFEM travaille à travers l’expansion des fonctions shape avec les fonctions step Heaviside., Des degrés de liberté supplémentaires sont attribués aux nœuds autour du point de discontinuité afin que les sauts puissent être pris en compte.

Generalized Finite Element Method (GFEM)

gfem a été introduit à peu près en même temps que XFEM dans les années 90. Il combine les caractéristiques des logiciels FEM traditionnels et des méthodes sans maillage. Les fonctions de forme sont principalement définies dans les coordonnées globales et multipliées par la partition de l’unité pour créer des fonctions de forme élémentaires locales. L’un des avantages du GFEM est la prévention du ré-maillage autour des singularités.,

méthode des éléments finis mixtes

dans plusieurs problèmes, comme le contact ou l’incompressibilité, des contraintes sont imposées à l’aide de multiplicateurs de Lagrange. Ces degrés de liberté supplémentaires résultant des multiplicateurs de Lagrange sont résolus indépendamment. Les équations sont résolues comme un système couplé.

hp-méthode des éléments finis

hp-FEM est une combinaison d’utilisation d’un raffinement de maillage automatique (raffinement h) et d’une augmentation de l’ordre du polynôme (raffinement p). Ce n’est pas la même chose que de faire des raffinements h et p séparément., Lorsque le raffinement hp automatique est utilisé et qu’un élément est divisé en éléments plus petits (raffinement h), chaque élément peut également avoir des ordres polynomiaux différents.

méthode discontinue des éléments finis de Galerkin (DG-FEM)

DG-FEM a montré une promesse significative pour l’utilisation de l’idée des éléments finis pour résoudre des équations hyperboliques où les méthodes traditionnelles des éléments finis ont été faibles. En outre, il s’est également montré prometteur dans les problèmes de flexion et d’incompressibilité qui sont couramment observés dans la plupart des processus de matériaux., Ici, des contraintes supplémentaires sont ajoutées à la forme faible qui incluent un paramètre de pénalité (pour éviter l’interpénétration) et des termes pour d’autres équilibres de contraintes entre les éléments.

analyse par éléments finis& SimScale

Le composant logiciel FEA de SimScale vous permet de tester virtuellement et de prédire le comportement des structures et donc de résoudre des problèmes complexes d’ingénierie structurelle soumis à des conditions de charge statiques et dynamiques., La plate-forme de simulation FEA utilise des méthodes numériques évolutives qui peuvent calculer des expressions mathématiques qui seraient autrement très difficiles en raison de la complexité du chargement, des géométries ou des propriétés des matériaux.

dernière mise à jour: 20 janvier 2021