en mathématiques, le symbole carré (2) est un opérateur arithmétique qui signifie multiplier un nombre par lui-même. Le « carré » d’un nombre est le produit du nombre et lui-même. Multiplier un nombre par lui-même est appelé « quadrature” le nombre. La Quadrature d’un nombre est une instance plus spécifique de l’opération d’exponentiation générale, exponentiation lorsque l’exposant est 2. La Quadrature d’un nombre revient à élever ce nombre à la puissance de deux. La fonction carré (ƒ(x)=x2) est l’inverse de la fonction racine carrée (ƒ(x)=√x).,
élever un nombre n à la puissance de 2 est appelé « quadrature” car le nombre résultant n2 correspond à l’aire d’un carré avec des côtés de longueur n. la fonction carrée est une fonction extrêmement utile en algèbre, en trigonométrie et en physique. En algèbre, la fonction carrée forme l’épine dorsale de certains types de polynômes les plus simples (quadratiques). En trigonométrie, la fonction carrée est utilisée pour trouver les angles et les longueurs de côtés correspondants des triangles congrus, un concept utile pour modéliser les phénomènes périodiques., En physique, la fonction carrée peut être utilisée pour calculer les distances entre deux points (sous la forme du théorème de Pythagore) et les phénomènes modélisés prennent souvent la forme mathématique d’une fonction carrée, en particulier les équations impliquant la vitesse et l’accélération.
la Quadrature: Les Bases
la Quadrature du numéro est simple: il suffit de multiplier le nombre par lui-même: Le symbole 32 signifie seulement 3×3., En général, pour un nombre n:
n2 = n × n
de Plus, la fonction carré a la propriété intéressante que le fait de mettre de l’additif inverse de n donne le même nombre: c’est:
n2 = (−n)2
à proprement parler, chaque nombre positif est le carré de exactement le nombre deux, un positif et un nombre négatif. 4 est le carré de 2 et -2. Un nombre qui est le carré d’un nombre entier est appelé un carré parfait., En général, plus on descend la ligne numérique, plus la distribution des carrés parfaits est étendue de plus en plus loin. Cette tendance est due au fait que la fonction carrée croît exponentiellement; c’est-à-dire que son taux de croissance est proportionnel à sa valeur actuelle.
l’inverse de la fonction carrée est la fonction racine carrée ƒ(x) = √x. la racine carrée d’un nombre n est quelconque a tel que a2 = N. parce qu’un nombre et son carré inverse additif pour obtenir le même résultat, chaque nombre réel positif a exactement 2 racines +√x et −√x, parfois exprimées en ±√X., Dans la plupart des contextes,” la racine carrée » d’un nombre se réfère simplement à sa racine positive. La définition particulière de la fonction racine carrée fait en sorte qu’aucun nombre réel négatif n’a de racine carrée, car aucun nombre multiplié par lui-même ne produira un nombre négatif. Les nombres négatifs ont des racines carrées dans le système de nombres complexes, mais pas dans le système de nombres réels.
Un graphique de la fonction x2 ressemble:
Notez comment le graphique est parfaitement en miroir le long de l’axe vertical y., La forme du graphique correspond au fait que chaque nombre réel positif est le carré d’un nombre positif et négatif (sauf zéro). En tant que telle, il est possible qu’une fonction sous la forme générale de la fonction carrée n’ait pas de racines—il n’y a pas de N tel que ƒ(n) = 0. Visuellement, cela signifie que certaines fonctions carrées ne traverseront jamais l’axe des X.
Utilisation De La Fonction Carré
l’Algèbre
La fonction carré constitue l’ossature d’une classe particulière d’équations polynomiales appelé des équations quadratiques., Une équation polynomiale de degré 2: c’est, tout polynôme de la forme:
ax2 + bx + c
Où a, b, et c sont des nombres réels et a≠0. les Termes a, b et c sont appelés coefficients quadratique, linéaire et constant, respectivement. Les équations quadratiques peuvent être factorisées pour trouver leurs racines-valeurs de x pour lesquelles l’équation entière est égale à 0., Alternativement, on peut utiliser l’équation quadratique pour résoudre les racines d’un polynôme quadratique:
Les équations quadratiques sont utiles pour modéliser le mouvement, car la courbe du mouvement accéléré prend la forme d’une courbe carrée. Si un mouvement a un taux d’accélération constant, alors un graphique de son mouvement sera une équation quadratique. La forme géométrique de la fonction quadratique s’appelle une parabole.
Géométrie
La fonction carré a de nombreuses utilisations dans la géométrie. Plus évidemment, la fonction carré peut être utilisée pour trouver l’aire des carrés., C’est un fait communément connu que l’aire d’un carré avec des côtés de longueur n est égale à n2. Cela découle de l’équation pour l’aire d’un rectangle (et des parallélogrammes plus généralement) où A = l×W. Un carré est simplement un rectangle où la longueur et la largeur sont les mêmes. Le fait que l’aire d’un carré soit une fonction carrée explique une propriété sur la croissance de l’aire carrée: l’aire carrée dont la longueur est n fois plus longue a n2 plus d’aire.
La Quadrature est également utilisée pour trouver des distances entre deux points dans le contexte du théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore dit que les carrés des côtés d’un triangle rectangle (un triangle avec un angle de 90°) sont égaux au carré de l’hypoténuse (a2+b2=c2). Cette formule peut être utilisée pour calculer la distance entre le point d’origine d’un axe de coordonnées (0, 0) et tout point arbitraire (x, y). On peut tracer une ligne s’étendant à partir du point d’origine X unités horizontalement, puis une ligne s’étendant à partir de ce point y unités verticalement., La forme dessinée sera un triangle rectangle, et la distance entre l’origine (0, 0) et le point (x, y) peut être calculée comme étant l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côté les longueurs x et y.
Le théorème de Pythagore est un cas particulier de la plus générale à parallélogramme de loi qui concerne la longueur des côtés d’un parallélogramme de ses diagonales: le parallélogramme de la loi stipule que la somme des carrés des longueurs des longueurs des quatre côtés est égale à la somme des carrés des diagonales. Disons que nous avons un parallélogramme avec les côtés AB, BC, CD et DA et les diagonales AC et BD., La loi du parallélogramme nous dit que:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
puisque dans un parallélogramme, les côtés opposés sont, par définition, égaux en longueurs, cette équation peut simplement être réécrite comme suit:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
Le théorème de Pythagore tombe de cette équation dans le cas d’un rectangle, où les diagonales sont de longueurs égales.
la Trigonométrie
la Quadrature apparaît également dans les lois concernant les longueurs des côtés d’un triangle à ses angles, dans la forme de la loi des cosinus., En termes simples, la loi des cosinus stipule que pour un triangle de longueurs a, b et c et d’angles opposés A, B et C:
C2= a2 + b2 – 2AB×cos(C)
la loi des cosinus peut être réécrite pour résoudre pour chaque variable donnant une équation avec exactement la même forme, donc la même équation fonctionnera La loi du cosinus permet de déterminer les autres composants d’un triangle si vous connaissez la longueur d’au moins deux côtés et un angle. L’équation se simplifie également pour donner le théorème de Pythagore dans le cas des triangles rectangles. Dans le cas des triangles rectangles, ∠C = 90, donc cos(C) = 0., La partie droite de l’équation annule, et nous nous retrouvons avec c2= a2 + b2
En Physique
En physique, la fonction carré souvent dresse sa tête dans le contexte des équations qui décrivent l’intensité de certains grandeur physique en fonction de la distance. En raison de la géométrie 3D de l’espace, l’intensité de toute grandeur physique qui rayonne vers l’extérieur dans une sphère autour de la source est inversement proportionnelle au carré de la distance de la source., Ce fait découle de la loi géométrique que la surface d’une sphère (4nr2) est directement proportionnelle au rayon carré (r2) de la sphère.
Par exemple, la force de gravité est une force carrée inverse car la force de l’attraction gravitationnelle entre deux corps est directement proportionnelle à la masse de ces corps et inversement proportionnelle au carré de la distance entre ces corps., Ceci est évident dans la forme mathématique de la loi de gravitation de Newton
Fg= G(m1×m2) /d2
où m1 et M2 sont les masses des corps et d est la distance entre leurs centres de gravité. D’ailleurs, la force d’attraction électrostatique entre deux corps prend aussi la forme d’une loi carrée inverse, ainsi que l’mesuré l’intensité de lumière mesurée à partir d’un point source.
la notation carrée est également utilisée pour définir des unités de mesure en physique. Par exemple, l’accélération, le taux de variation de la vitesse est mesurée dans l’unité m/s2., Il peut être lu « mètres par seconde par seconde. »Si la vitesse est le changement de distance par rapport au temps, alors l’accélération est le changement de vitesse par rapport au temps. L’accélération est une mesure de la vitesse changeante à chaque point de mouvement. Si mon accélération est de 6 m / s2, cela signifie que ma vitesse (m/s) augmente de 6 pour chaque seconde de mouvement, donc mètres par seconde par seconde.