Che cosa sono le sezioni coniche?
Le sezioni coniche sono ottenute dall’intersezione della superficie di un cono con un piano e hanno determinate caratteristiche.,
Obiettivi di Apprendimento
Descrivere le parti di una conica e come sezioni coniche può essere pensato come sezioni di un doppio cono
Takeaway Chiave
Punti Chiave
- Una conica (o, semplicemente, coniche) è una curva ottenuta come intersezione della superficie di un cono con un piano; tre tipi di parabole, ellissi, e hyperbolas.
- Una sezione conica può essere graficamente su un piano di coordinate.
- Ogni sezione conica ha alcune caratteristiche, tra cui almeno un focus e directrix., Le parabole hanno una messa a fuoco e una direttrice, mentre le ellissi e le iperbole ne hanno due di ciascuna.
- Una sezione conica è l’insieme dei punti P la cui
distanza dalla messa a fuoco è un multiplo costante della distanza da P alla direttrice della conica.
Termini chiave
- vertice: un punto estremo su una sezione conica.
- asintoto: una linea retta che una curva si avvicina arbitrariamente da vicino mentre va all’infinito.
- locus: L’insieme di tutti i punti le cui coordinate soddisfano una data equazione o condizione.,
- focus: Un punto utilizzato per costruire e definire una sezione conica, in cui convergono i raggi riflessi dalla curva (plurale: foci).
- nappe: Una metà di un doppio cono.
- sezione conica: qualsiasi curva formata dall’intersezione di un piano con un cono di due nappe.
- direttrice: una linea usata per costruire e definire una sezione conica; una parabola ha una direttrice; ellissi e iperboli ne hanno due (plurale: direttrici).,
Definizione di sezioni coniche
Una sezione conica (o semplicemente conica) è una curva ottenuta come intersezione della superficie di un cono con un piano. I tre tipi di sezioni coniche sono l’iperbole, la parabola e l’ellisse. Il cerchio è tipo di ellisse, ed è talvolta considerato un quarto tipo di sezione conica.
Le sezioni coniche possono essere generate intersecando un piano con un cono. Un cono ha due parti di forma identica chiamate nappes. Un nappe è ciò che la maggior parte delle persone intende per “cono” e ha la forma di un cappello da festa.,
Le sezioni coniche sono generate dall’intersezione di un piano con un cono. Se il piano è parallelo all’asse di rivoluzione (l’asse y), allora la sezione conica è un’iperbole. Se il piano è parallelo alla linea generatrice, la sezione conica è una parabola. Se il piano è perpendicolare all’asse di rivoluzione, la sezione conica è un cerchio. Se il piano interseca un nappe con un angolo rispetto all’asse (diverso da 90^{\circ}), la sezione conica è un’ellisse.,
Un cono e sezioni coniche: I nappi e le quattro sezioni coniche. Ogni conica è determinata dall’angolo che il piano fa con l’asse del cono.
Parti comuni delle sezioni coniche
Mentre ogni tipo di sezione conica sembra molto diverso, hanno alcune caratteristiche in comune. Ad esempio, ogni tipo ha almeno un focus e una directrix.
Un focus è un punto su cui è costruita la sezione conica. In altre parole, è un punto su cui convergono i raggi riflessi dalla curva., Una parabola ha un fuoco su cui è costruita la forma; un’ellisse e un’iperbole ne hanno due.
Una directrix è una linea utilizzata per costruire e definire una sezione conica. La distanza di una direttrice da un punto sulla sezione conica ha un rapporto costante con la distanza da quel punto alla messa a fuoco. Come per la messa a fuoco, una parabola ha una direttrice, mentre ellissi e iperboli ne hanno due.
Queste proprietà che le sezioni coniche condividono sono spesso presentate come la seguente definizione, che verrà sviluppata ulteriormente nella sezione seguente., Una sezione conica è il luogo dei punti P la cui distanza dal fuoco è un multiplo costante della distanza da P alla direttrice della conica. Queste distanze sono visualizzate come linee arancioni per ogni sezione conica nel diagramma seguente.
Parti di sezioni coniche: le tre sezioni coniche con foci e direttrici etichettate.
Ogni tipo di sezione conica è descritto più dettagliatamente di seguito.,
Parabola
Una parabola è l’insieme di tutti i punti la cui distanza da un punto fisso, chiamato messa a fuoco, è uguale alla distanza da una linea fissa, chiamata direttrice. Il punto a metà strada tra il fuoco e la direttrice è chiamato il vertice della parabola.
Nella figura successiva, quattro parabole sono graficamente come appaiono sul piano delle coordinate. Possono aprirsi su, giù, a sinistra o a destra.
Quattro parabole, che si aprono in varie direzioni: Il vertice si trova nel punto medio tra la direttrice e la messa a fuoco.,
Ellissi
Un’ellisse è l’insieme di tutti i punti per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi) è costante. Nel caso di un’ellisse, ci sono due fuochi e due direttrici.
Nella figura successiva, una tipica ellisse è rappresentata graficamente come appare sul piano delle coordinate.
Ellisse: la somma delle distanze da qualsiasi punto dell’ellisse ai fuochi è costante.,
Iperbole
Un’iperbole è l’insieme di tutti i punti in cui la differenza tra le loro distanze da due punti fissi (i fuochi) è costante. Nel caso di un’iperbole, ci sono due fuochi e due direttrici. Le iperbole hanno anche due asintoti.
Un grafico di una tipica iperbole appare nella figura successiva.
Iperbole: la differenza delle distanze da qualsiasi punto dell’ellisse ai fuochi è costante. L’asse trasversale è anche chiamato asse maggiore e l’asse coniugato è anche chiamato asse minore.,
Applicazioni di sezioni coniche
Le sezioni coniche sono utilizzate in molti campi di studio, in particolare per descrivere forme. Ad esempio, sono usati in astronomia per descrivere le forme delle orbite degli oggetti nello spazio. Due oggetti massicci nello spazio che interagiscono secondo la legge di gravitazione universale di Newton possono muoversi in orbite che hanno la forma di sezioni coniche. Potrebbero seguire ellissi, parabole o iperboli, a seconda delle loro proprietà.
Eccentricità
Ogni sezione conica ha un’eccentricità costante che fornisce informazioni sulla sua forma.,
Obiettivi di Apprendimento
Discutere di come l’eccentricità di una conica sezione descrive il suo comportamento
Takeaway Chiave
Punti Chiave
- Eccentricità è un parametro associato con ogni conica, e può essere pensato
come una misura di quanto la conica si discosta dall’essere circolare. - L’eccentricità di una sezione conica è definita come la distanza da qualsiasi punto della sezione conica alla sua messa a fuoco, divisa per la distanza perpendicolare da quel punto alla direttrice più vicina.,
- Il valore di e può essere utilizzato per determinare il tipo di sezione conica. Se e= 1 è una parabola, se e <1 è un’ellisse, e se e > 1 è un’iperbole.
Termini chiave
- eccentricità: Un parametro di una sezione conica che descrive quanto la sezione conica si discosta dall’essere circolare.
Definizione dell’eccentricità
L’eccentricità, indicata con e, è un parametro associato ad ogni sezione conica. Può essere pensato come una misura di quanto la sezione conica si discosta dall’essere circolare.,
L’eccentricità di una sezione conica è definita come la distanza da qualsiasi punto della sezione conica al suo fuoco, diviso per la distanza perpendicolare da quel punto alla direttrice più vicina. Il valore di e è costante per qualsiasi sezione conica. Questa proprietà può essere utilizzata come definizione generale per le sezioni coniche., Il valore di e può essere utilizzato per determinare il tipo di conica sezione:
- Se e = 1, la conica è una parabola
- Se e < 1, si tratta di un’ellisse
- Se e > 1, si tratta di una iperbole
L’eccentricità del cerchio è pari a zero. Si noti che due sezioni coniche sono simili (di forma identica) se e solo se hanno la stessa eccentricità.
Ricordiamo che le iperbole e le ellissi non circolari hanno due fuochi e due direzioni associate, mentre le parabole hanno un fuoco e una direttrice., Nella figura successiva, ogni tipo di sezione conica è graficamente con un focus e una direttrice. Le linee arancioni indicano la distanza tra la messa a fuoco e i punti sulla sezione conica, nonché la distanza tra gli stessi punti e la direttrice. Queste sono le distanze utilizzate per trovare l’eccentricità.
Sezioni coniche e loro parti: eccentricità è il rapporto tra la distanza da qualsiasi punto della sezione conica al suo fuoco e la distanza perpendicolare da quel punto alla direttrice più vicina.,
Eccentricità concettualizzante
Dalla definizione di una parabola, la distanza da qualsiasi punto della parabola al fuoco è uguale alla distanza da quello stesso punto alla direttrice. Pertanto, per definizione, l’eccentricità di una parabola deve essere 1.
Per un’ellisse, l’eccentricità è inferiore a 1. Ciò significa che, nel rapporto che definisce l’eccentricità, il numeratore è inferiore al denominatore. In altre parole, la distanza tra un punto su una sezione conica e il suo fuoco è inferiore alla distanza tra quel punto e la direttrice più vicina.,
Al contrario, l’eccentricità di un’iperbole è maggiore di 1. Ciò indica che la distanza tra un punto su una sezione conica della direttrice più vicina è inferiore alla distanza tra quel punto e la messa a fuoco.
Tipi di sezioni coniche
Le sezioni coniche sono formate dall’intersezione di un piano con un cono e le loro proprietà dipendono da come si verifica questa intersezione.,
Obiettivi di Apprendimento
Discutere le proprietà dei diversi tipi di sezioni coniche
Takeaway Chiave
Punti Chiave
- le sezioni Coniche sono un particolare tipo di forma, formata dall’intersezione di un piano con una circolare destra del cono. A seconda dell’angolo tra il piano e il cono, è possibile formare quattro diverse forme di intersezione.
- I tipi di sezioni coniche sono cerchi, ellissi, iperboli e parabole.
- Ogni sezione conica ha anche una forma degenerata; queste prendono la forma di punti e linee.,
Termini chiave
- degenerato: Una sezione conica che non si adatta alla forma standard di equazione.
- asymptote: una linea che una funzione o una forma curva si avvicina ma non tocca mai.
- iperbole: La sezione conica formata dal piano perpendicolare alla base del cono.
- messa a fuoco: un punto lontano da una linea curva, attorno alla quale la curva si piega.
- cerchio: La sezione conica formata dal piano parallelo alla base del cono.
- ellisse: La sezione conica formata dal piano che si trova ad un angolo rispetto alla base del cono.,
- eccentricità: parametro adimensionale che caratterizza la forma di una sezione conica.
- Parabola: La sezione conica formata dal piano parallelo al cono.
- vertice: il punto di svolta di una forma curva.
Le sezioni coniche sono un particolare tipo di forma formata dall’intersezione di un piano e di un cono circolare destro. A seconda dell’angolo tra il piano e il cono, è possibile formare quattro diverse forme di intersezione. Ogni forma ha anche una forma degenerata., C’è una proprietà di tutte le sezioni coniche chiamato eccentricità, che prende la forma di un parametro numerico e. Quattro conica forme hanno differenti valori di e.
Tipi di sezioni coniche: Questa figura mostra come le sezioni coniche, in azzurro, sono il risultato di un piano di intersezione di un cono. L’immagine 1 mostra una parabola, l’immagine 2 mostra un cerchio (in basso) e un’ellisse (in alto) e l’immagine 3 mostra un’iperbole.,
Parabola
Una parabola si forma quando il piano è parallelo alla superficie del cono, risultando in una curva a forma di U che si trova sul piano. Ogni parabola ha determinate caratteristiche:
- Un vertice, che è il punto in cui la curva si gira
- Un fuoco, che è un punto sulla curva su cui la curva si piega
- Un asse di simmetria, che è una linea che collega il vertice e il fuoco che divide la parabola in due metà uguali
Tutte le parabole in possesso di una eccentricità e=1., Come risultato diretto di avere la stessa eccentricità, tutte le parabole sono simili, il che significa che qualsiasi parabola può essere trasformata in qualsiasi altra con un cambiamento di posizione e scala. Il caso degenerato di una parabola è quando il piano tocca a malapena la superficie esterna del cono, il che significa che è tangente al cono. Questo crea un’intersezione retta dalla diagonale del cono.
Le parabole non degenerate possono essere rappresentate con funzioni quadratiche come
f(x) = x^2
Cerchio
Un cerchio si forma quando il piano è parallelo alla base del cono., La sua intersezione con il cono è quindi un insieme di punti equidistanti da un punto comune (l’asse centrale del cono), che soddisfa la definizione di un cerchio. Tutti i cerchi hanno alcune caratteristiche:
- Un punto centrale
- Un raggio, che la distanza da qualsiasi punto del cerchio al punto centrale
Tutti i cerchi hanno un’eccentricità e=0. Quindi, come la parabola, tutti i cerchi sono simili e possono essere trasformati l’uno nell’altro., Su un piano di coordinate, la forma generale dell’equazione del cerchio è
(xh)^2 + (yk)^2 = r^2
dove (h,k) sono le coordinate del centro del cerchio e r è il raggio.
La forma degenerata del cerchio si verifica quando il piano interseca solo la punta stessa del cono. Questa è un’intersezione a punto singolo, o equivalentemente un cerchio di raggio zero.
Sezioni coniche graficamente per eccentricità: questo grafico mostra un’ellisse in rosso, con un valore di eccentricità di esempio pari a 0.,5, una parabola in verde con l’eccentricità richiesta di 1 e un’iperbole in blu con un esempio di eccentricità di 2. Mostra anche uno dei casi di iperbole degenerate, la linea nera diritta, corrispondente all’eccentricità infinita. Il cerchio si trova all’interno della parabola, che si trova all’interno di un lato dell’iperbole, che ha la linea orizzontale sotto di esso. In questo modo, l’eccentricità crescente può essere identificata con una sorta di dispiegamento o apertura della sezione conica.,
Ellisse
Quando l’angolo del piano rispetto al cono è tra la superficie esterna del cono e la base del cono, l’intersezione risultante è un’ellisse. La definizione di un’ellisse include anche l’essere parallelo alla base del cono, quindi tutti i cerchi sono un caso speciale dell’ellisse., Ellissi hanno queste caratteristiche:
- Un asse principale, che è la più lunga della larghezza di tutta l’ellisse
- Un asse minore, che è il più breve larghezza di tutta l’ellisse
- Un centro, che è l’intersezione dei due assi
- Due punti —per ogni punto dell’ellisse, la somma delle distanze da entrambi i punti focali è una costante
Puntini di sospensione può avere una gamma di eccentricità: 0 \leq e < 1. Si noti che il valore 0 è incluso (un cerchio), ma il valore 1 non è incluso (che sarebbe una parabola)., Poiché esiste un intervallo di valori di eccentricità, non tutte le ellissi sono simili. La forma generale dell’equazione di un’ellisse con asse maggiore parallelo all’asse x è:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
Il degenerare forma di un’ellisse è un punto, o un cerchio di raggio zero, proprio come è stato per il cerchio.
Iperbole
Un’iperbole si forma quando il piano è parallelo all’asse centrale del cono, il che significa che interseca entrambe le parti del doppio cono.,nches, nonché le seguenti funzioni:
- Asintoto linee—questi sono due lineare grafici che la curva dell’iperbole approcci, ma non tocca mai
- Un centro, che è l’intersezione degli asintoti
- Due punti focali, attorno al quale ciascuno dei due rami ansa
- Due vertici, uno per ogni ramo
L’equazione generale di una iperbole con i vertici di una linea orizzontale:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
L’eccentricità di un’iperbole è limitato a e > 1, e non ha limite superiore., Se l’eccentricità è permesso di andare al limite di + \ infty (infinito positivo), l’iperbole diventa uno dei suoi casi degenerati—una linea retta. L’altro caso degenerato per un’iperbole è quello di diventare i suoi due asintoti retti. Ciò accade quando il piano interseca l’apice del doppio cono.