Tutte queste funzioni sono continue e differenziabili nei loro domini. Di seguito facciamo un elenco di derivati per queste funzioni.
Derivate delle funzioni trigonometriche di base
Abbiamo già derivato le derivate di seno e coseno sulla Definizione della pagina Derivata. Sono i seguenti:
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Usando la regola del quoziente è facile ottenere un’espressione per la derivata della tangente:
La derivata di cotangente può essere trovata allo stesso modo., Tuttavia, questo può essere fatto anche utilizzando la catena regola per differenziare un composito funzione:
allo stesso modo, troviamo i derivati della secante e cosecante:
Tabella delle derivate di Funzioni Trigonometriche
La tabella che segue riassume i derivati di \(6\) di base funzioni trigonometriche:
Negli esempi riportati di seguito, trovare la derivata della funzione data.
Problemi risolti
Fare clic o toccare un problema per visualizzare la soluzione.,
Esempio 1.
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Soluzione.
Utilizzando le proprietà lineari della derivata, la regola della catena e la formula del doppio angolo, otteniamo:
Esempio 2.
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Soluzione.
La derivata di questa funzione è
Il numeratore può essere semplificato utilizzando l’identità trigonometrica
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Quindi
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Esempio 3.
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Soluzione.
Usando la regola di alimentazione e la regola della catena, otteniamo
Esempio 4.
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Soluzione.,
Troviamo la derivata di questa funzione usando la regola di potenza e la regola della catena:
Qui assumiamo che \(\cos x \ne 0\), cioè \(x \ne {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} + \pi n,\) \(n \in \mathbb{Z}.\ )
Esempio 5.
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Soluzione.
Dalla regola del quoziente,
Esempio 6.
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Soluzione.
Applicando la regola di potenza e la regola della catena, otteniamo:
L’ultima espressione può essere semplificata dalla formula del doppio angolo:
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Di conseguenza, la derivata è
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Esempio 7.
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Soluzione.,
l’Utilizzo della regola del prodotto, possiamo scrivere: