Gauss-Jordan Elimination è un algoritmo che può essere utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari e per trovare l’inverso di qualsiasi matrice invertibile. Si basa su tre operazioni di riga elementari che si possono usare su una matrice:
- Scambia le posizioni di due delle righe
- Moltiplica una delle righe per uno scalare diverso da zero.
- Aggiungi o sottrai il multiplo scalare di una riga a un’altra riga.,
Modulo a riga ridotta
Lo scopo dell’eliminazione di Gauss-Jordan è quello di utilizzare le tre operazioni elementari di riga per convertire una matrice in forma a riga ridotta. Una matrice è in forma di scaglione a righe ridotte, nota anche come forma canonica di riga, se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- Tutte le righe con solo zero voci si trovano nella parte inferiore della matrice
- La prima voce diversa da zero di una riga, chiamata voce iniziale o pivot, di ogni riga diversa da zero si trova a destra della voce iniziale della riga sopra di essa.,
- La voce iniziale, nota anche come pivot, in qualsiasi riga diversa da zero è 1.
- Tutte le altre voci nella colonna contenente un 1 iniziale sono zeri.
Le matrici A e B sono in forma di scaglione a righe ridotte, ma le matrici C e D non lo sono. C non è in forma di scaglione a fila ridotta perché viola le condizioni due e tre. D non è in forma di scaglione a riga ridotta perché viola la condizione quattro. Inoltre, le operazioni di riga elementari possono essere utilizzate per ridurre la matrice D in matrice B.,
Passi per l’eliminazione di Gauss-Jordan
Per eseguire l’eliminazione di Gauss-Jordan:
- Scambia le righe in modo che tutte le righe con tutte le voci zero siano in basso
- Scambia le righe in modo che la riga con la voce diversa da zero più grande a sinistra sia in alto.
- Moltiplica la riga superiore per uno scalare in modo che la voce iniziale della riga superiore diventi 1.
- Aggiungi / sottrai multipli della riga superiore alle altre righe in modo che tutte le altre voci nella colonna contenente la voce iniziale della riga superiore siano tutte zero.,
- Ripetere i passaggi 2-4 per la successiva voce diversa da zero a sinistra fino a quando tutte le voci iniziali sono 1.
- Scambia le righe in modo che la voce iniziale di ogni riga diversa da zero sia a destra della voce iniziale della riga sopra di essa.,
video Selezionato alcuni esempi sono riportati di seguito:
- Gauss-Jordan Eliminazione – Jonathan Mitchell (YouTube)
- Utilizzo di Gauss-Jordan per Risolvere un Sistema di Tre Equazioni Lineari – Esempio 1 – patrickJMT (YouTube)
- Algebra di Matrici – – Gauss Jordan Metodo, Parte 1, Aumentata di Matrice IntuitiveMath (YouTube)
- Eliminazione Gaussiana – patrickJMT (YouTube)
Per ottenere l’inversa di una matrice n × n A :