Cos’è l’analisi FEA / Finite Element?

L’analisi degli elementi finiti (FEA) è la simulazione di un dato fenomeno fisico utilizzando la tecnica numerica chiamata Metodo degli elementi finiti (FEM). Gli ingegneri utilizzano il software FEA per ridurre il numero di prototipi fisici ed esperimenti e ottimizzare i componenti nella loro fase di progettazione per sviluppare prodotti migliori, più velocemente risparmiando sulle spese.,

È necessario utilizzare la matematica per comprendere e quantificare in modo completo qualsiasi fenomeno fisico come il comportamento strutturale o fluido, il trasporto termico, la propagazione delle onde, la crescita delle cellule biologiche, ecc. La maggior parte di questi processi sono descritti utilizzando equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE). Tuttavia, per un computer per risolvere questi PDE, tecniche numeriche sono state sviluppate nel corso degli ultimi decenni e uno di quelli prominenti, oggi, è l’analisi agli elementi finiti.,

Le equazioni differenziali non descrivono solo fenomeni naturali ma anche fenomeni fisici incontrati nella meccanica ingegneristica. Queste equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) sono equazioni complicate che devono essere risolte per calcolare quantità rilevanti di una struttura (come tensioni (\(\epsilon\)), tensioni (\(\epsilon\)), ecc.) al fine di stimare il comportamento strutturale sotto un dato carico. È importante sapere che FEA fornisce solo una soluzione approssimativa al problema ed è un approccio numerico per ottenere il risultato reale di queste equazioni differenziali alle derivate parziali., Semplificato, FEA è un metodo numerico utilizzato per la previsione di come una parte o un assieme si comporta in determinate condizioni. Viene utilizzato come base per i moderni software di simulazione e aiuta gli ingegneri a trovare punti deboli, aree di tensione, ecc. nei loro disegni. I risultati di una simulazione basata sul metodo FEA sono solitamente rappresentati tramite una scala di colori che mostra, ad esempio, la distribuzione della pressione sull’oggetto.

A seconda della propria prospettiva, si può dire che FEA abbia la sua origine nel lavoro di Eulero, già nel xvi secolo., Tuttavia, i primi documenti matematici sull’analisi agli elementi finiti possono essere trovati nelle opere di Schellbach e Courant .

FEA è stato sviluppato in modo indipendente da ingegneri in diversi settori per affrontare i problemi di meccanica strutturale legati all’aerospaziale e all’ingegneria civile. Lo sviluppo per applicazioni reali iniziò intorno alla metà degli anni 1950 come documenti di Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris e Babuska & Aziz show., I libri di Zienkiewicz e Strang& Fix hanno anche gettato le basi per gli sviluppi futuri del software FEA.

Divide and Conquer

Per poter effettuare simulazioni, è necessario creare una mesh, composta da un massimo di milioni di piccoli elementi che insieme formano la forma della struttura., I calcoli sono fatti per ogni singolo elemento. Combinando i singoli risultati ci dà il risultato finale della struttura. Le approssimazioni che abbiamo appena menzionato sono di solito polinomiali e, di fatto, interpolazioni sugli elementi. Ciò significa che conosciamo i valori in determinati punti all’interno dell’elemento ma non in ogni punto. Questi “determinati punti” sono chiamati punti nodali e si trovano spesso al limite dell’elemento. La precisione con cui la variabile cambia è espressa da una certa approssimazione per es. lineare, quadratico, cubico, ecc., Al fine di ottenere una migliore comprensione delle tecniche di approssimazione, vedremo una barra unidimensionale. Si consideri la vera distribuzione della temperatura T (x) lungo la barra nell’immagine qui sotto:

Supponiamo di conoscere la temperatura di questa barra in 5 posizioni specifiche (Numeri 1-5 nell’illustrazione)., Ora la domanda è: come possiamo prevedere la temperatura tra questi punti? Un’approssimazione lineare è abbastanza buona, ma ci sono migliori possibilità per rappresentare la distribuzione reale della temperatura. Se scegliamo un’approssimazione quadrata, la distribuzione della temperatura lungo la barra è molto più liscia. Tuttavia, vediamo che indipendentemente dal grado polinomiale, la distribuzione sull’asta è nota una volta che conosciamo i valori nei punti nodali. Se avessimo una barra infinita, avremmo una quantità infinita di incognite (GRADI DI LIBERTÀ (DOF))., Ma in questo caso, abbiamo un problema con un numero “finito” di incognite:

Un sistema con un numero finito di incognite è chiamato sistema discreto. Un sistema con un numero infinito di incognite è chiamato sistema continuo.

lo scopo di approssimazioni possiamo trovare la seguente relazione per una grandezza di campo \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

La linea illustrata in alto mostra questo principio per una 1D problema., \(u\) può rappresentare la temperatura lungo la lunghezza di un’asta riscaldata in modo non uniforme. Nel nostro caso, ci sono quattro elementi lungo l’asse x, dove la funzione definisce l’approssimazione lineare della temperatura illustrata da punti lungo la linea.

Uno dei maggiori vantaggi che abbiamo quando si utilizza l’analisi agli elementi finiti è che possiamo variare la discretizzazione per elemento o discretizzare le corrispondenti funzioni di base. Di fatto, potremmo usare elementi più piccoli nelle regioni in cui sono previsti alti gradienti di \(u\)., Allo scopo di modellare la pendenza della funzione abbiamo bisogno di fare approssimazioni.

Equazioni differenziali alle derivate parziali

Prima di procedere con il FEA stesso, è importante comprendere i diversi tipi di PDE e la loro idoneità per il FEA. Capire questo è importante per tutti, indipendentemente dalla propria motivazione all’utilizzo dell’analisi agli elementi finiti. Si dovrebbe costantemente ricordare a se stessi che il software FEA è uno strumento e qualsiasi strumento è solo buono come il suo utente.,

Le PDE possono essere classificate come ellittiche (sono abbastanza lisce), iperboliche (supportano soluzioni con discontinuità) e paraboliche (descrivono problemi di diffusione dipendenti dal tempo). Quando si risolvono queste equazioni differenziali devono essere fornite condizioni di confine e/o iniziali. In base al tipo di PDE, è possibile valutare gli input necessari. Esempi di PDE in ogni categoria includono l’equazione di Poisson (ellittica), l’equazione d’onda (iperbolica) e la legge di Fourier (parabolica).,

Ci sono due principali approcci per la risoluzione di PDE ellittiche – differenze Finite Analisi (FDA) e Variazionale (o Energia) Metodi. FEA rientra nella seconda categoria dei metodi variazionali. Gli approcci variazionali si basano principalmente sulla filosofia della minimizzazione energetica.

Le PDE iperboliche sono comunemente associate a salti nelle soluzioni., L’equazione d’onda, per esempio, è una PDE iperbolica. A causa dell’esistenza di discontinuità (o salti) nelle soluzioni, la tecnologia FEA originale (o metodo Bubnov-Galerkin) è stata ritenuta inadatta per risolvere PDE iperboliche. Tuttavia, nel corso degli anni, sono state sviluppate modifiche per estendere l’applicabilità del software e della tecnologia FEA.

È importante considerare la conseguenza dell’utilizzo di un framework numerico non adatto al tipo di PDE scelto. Tale utilizzo porta a soluzioni conosciute come”poste in modo improprio”., Ciò potrebbe significare che piccoli cambiamenti nei parametri del dominio portano a grandi oscillazioni nelle soluzioni o le soluzioni esistono solo su una certa parte del dominio o del tempo. Questi non sono affidabili. Le soluzioni ben poste sono definite con una unica, che esiste continuamente per i dati definiti. Quindi, considerando l’affidabilità, è estremamente importante ottenerli.

La formulazione debole e forte

I modelli matematici della conduzione del calore e dell’elastostatica trattati in questa serie consistono in equazioni differenziali (parziali) con condizioni iniziali e al contorno., Questo è anche indicato come la cosiddetta Forma forte del problema. Alcuni esempi di” forme forti ” sono riportati nell’illustrazione seguente:

Le equazioni differenziali parziali del secondo ordine richiedono un alto grado di scorrevolezza per la soluzione \(u(x)\). Ciò significa che la derivata seconda dello spostamento deve esistere e deve essere continua! Ciò implica anche requisiti per parametri che non possono essere influenzati come la geometria (spigoli vivi) e i parametri del materiale (modulo diverso in un materiale).,

Per sviluppare la formulazione agli elementi finiti, le equazioni differenziali alle derivate parziali devono essere rideterminate in una forma integrale chiamata forma debole. La forma debole e la forma forte sono equivalenti! Nell’analisi dello stress, la forma debole è chiamata il principio del lavoro virtuale.

$$\int^l_0\frac{dw}{dx}AE\frac{du}{dx}dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \forall w~con ~w(l)=0 \tag{3}$$

La data equazione è la cosiddetta forma debole (in questo caso la formulazione debole per elastostatics)., Il nome afferma che le soluzioni alla forma debole non devono essere lisce come le soluzioni della forma forte, il che implica requisiti di continuità più deboli.

Devi tenere presente che la soluzione che soddisfa la forma debole è anche la soluzione della controparte forte dell’equazione. Inoltre, ricorda che le soluzioni di prova \(u(x)\) devono soddisfare le condizioni al contorno dello spostamento. Questa è una proprietà essenziale delle soluzioni di prova ed è per questo che chiamiamo quelle condizioni al contorno condizioni al contorno essenziali.

Queste formulazioni ti interessano?, Se sì, si prega di leggere di più nell’argomento del forum sull’equivalenza tra la formulazione debole e forte di PDE per FEA.

Energia potenziale minima

L’analisi agli elementi finiti può essere eseguita anche con il Principio di Variazione. Nel caso degli elastostatici unidimensionali, il minimo di energia potenziale è resiliente per i sistemi conservativi. La posizione di equilibrio è stabile se l’energia potenziale del sistema \(\Pi\) è minima. Ogni disturbo infinitesimale della posizione stabile porta a uno stato energetico sfavorevole e implica una reazione di ripristino., Un esempio semplice è una normale bottiglia di vetro che si trova a terra, dove ha energia potenziale minima. Se cade, non succederà nulla, tranne che per un forte rumore. Se è in piedi sull’angolo di un tavolo e cade a terra, è piuttosto probabile che si rompa poiché trasporta più energia verso il terreno. Per il principio di variazione, facciamo uso di questo fatto. Più basso è il livello di energia, meno è probabile che si trovi la soluzione sbagliata., Il totale di energia potenziale \(\Pi\) di un sistema che consiste il lavoro delle forze interiori (energia di deformazione)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon A(x)} dx \tag{4}$$

e il lavoro delle forze esterne

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \tag{5}$$

L’energia totale è:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

per saperne di più circa l’minima energia potenziale nel nostro topic del forum correlati.,

Convergenza mesh

Uno dei problemi più trascurati nella meccanica computazionale che influenzano l’accuratezza è la convergenza mesh. Ciò è correlato alla dimensione degli elementi per garantire che i risultati di un’analisi non siano influenzati dalla modifica della dimensione della mesh.

La figura sopra mostra la convergenza di una quantità con un aumento dei gradi di libertà. Come illustrato nella figura, è importante identificare prima la quantità di interesse. Devono essere considerati almeno tre punti e all’aumentare della densità della maglia, la quantità di interesse inizia a convergere verso un particolare valore. Se due perfezionamenti mesh successivi non modificano sostanzialmente il risultato, si può presumere che il risultato sia convergente.,

Entrando nella questione della raffinatezza della mesh, non è sempre necessario che la mesh nell’intero modello sia raffinata. Il principio di San Venante impone che gli stress locali in una regione non influiscano sugli stress altrove. Quindi, da un punto di vista fisico, il modello può essere raffinato solo in particolari regioni di interesse e inoltre avere una zona di transizione da grossolana a maglia fine., Esistono due tipi di perfezionamenti (h e p) come mostrato nella figura sopra. h-raffinatezza si riferisce alla riduzione delle dimensioni degli elementi, mentre p-raffinatezza si riferisce ad aumentare l’ordine dell’elemento.

Qui è importante distinguere tra effetto geometrico e convergenza mesh, specialmente quando la mesh di una superficie curva utilizzando elementi diritti (o lineari) richiederà più elementi (o raffinamento mesh) per catturare esattamente il confine., Il raffinamento delle mesh porta ad una significativa riduzione degli errori:

Raffinatezza come questa può consentire un aumento della convergenza delle soluzioni senza aumentare la dimensione del problema generale da risolvere.

Come misurare la convergenza?,

Ora che è stata discussa l’importanza della convergenza, come si può misurare la convergenza? Che cosa è una misura quantitativa per la convergenza? Il primo modo sarebbe quello di confrontare con soluzioni analitiche o risultati sperimentali.

Errore degli spostamenti:

where e_u = u – u^h \tag{7} where

dove \(u\) è la soluzione analitica per il campo di spostamento.

Errore dei ceppi:

$ $ e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8} where

dove \(\epsilon\) è la soluzione analitica per il campo di deformazione.,

Errore delle sollecitazioni:

where e_\sigma = \sigma – \sigma^h \tag{9} where

dove \(\sigma\) è la soluzione analitica per il campo di sollecitazione.

Come mostrato nelle equazioni precedenti, è possibile definire diversi errori per spostamenti, tensioni e sollecitazioni. Questi errori potrebbero essere utilizzati per il confronto e dovrebbero essere ridotti con il perfezionamento della mesh. Ulteriori informazioni su come questi errori sono calcolati con le rispettive norme per queste quantità qui.,

Software di analisi agli elementi finiti

L’analisi agli elementi finiti è iniziata con una significativa promessa nella modellazione di diverse applicazioni meccaniche relative all’ingegneria aerospaziale e civile. Le applicazioni del Metodo degli elementi finiti stanno appena iniziando a raggiungere il loro potenziale., Una delle prospettive più interessanti è la sua applicazione a problemi accoppiati come l’interazione fluido-struttura; problemi termo-meccanici, termo-chimici, termo-chemio-meccanici piezoelettrici, ferroelettrici, elettromagnetici e altre aree rilevanti:

Statico

Con l’analisi statica, è possibile analizzare strutture quasi statiche lineari statiche e non lineari. In un caso lineare con un carico statico applicato, è necessario un solo passaggio per determinare la risposta strutturale. La non linearità geometrica, di contatto e materiale può essere presa in considerazione. Un esempio è un cuscinetto di un ponte.,

Dynamic

L’analisi dinamica consente di analizzare la risposta dinamica di una struttura che ha subito carichi dinamici in un arco di tempo specifico. Per modellare i problemi strutturali in modo realistico, è anche possibile analizzare gli impatti dei carichi e degli spostamenti. Un esempio è l’impatto di un cranio umano, con o senza casco.

Modale

Le frequenze e gli autovalori di una struttura a causa delle vibrazioni possono essere simulati utilizzando l’analisi modale. La risposta di picco di una struttura o di un sistema sotto un dato carico può essere simulata con l’analisi armonica., Un esempio è l’avvio di un motore.

Diversi tipi di metodo agli elementi finiti

Come discusso in precedenza nella sezione sulle PDE, la tecnologia FEM tradizionale ha dimostrato carenze nei problemi di modellazione relativi alla meccanica dei fluidi, alla propagazione delle onde, ecc. Negli ultimi due decenni sono stati apportati diversi miglioramenti per migliorare il processo di soluzione ed estendere l’applicabilità dell’analisi agli elementi finiti a un ampio genere di problemi., Alcuni di quelli importanti ancora in uso includono:

Extended Finite Element Method (XFEM)

Il metodo Bubnov-Galerkin richiede la continuità degli spostamenti tra gli elementi. Problemi come il contatto, la frattura e il danno, tuttavia, comportano discontinuità e salti che non possono essere gestiti direttamente con metodi a elementi finiti. Per superare questa lacuna, XFEM è nato negli anni ‘ 90.XFEM lavora attraverso l’espansione delle funzioni di forma con le funzioni di passo Heaviside., Gradi extra di libertà sono assegnati ai nodi attorno al punto di discontinuità in modo che i salti possano essere considerati.

Generalized Finite Element Method (GFEM)

GFEM è stato introdotto nello stesso periodo di XFEM negli anni ’90. Combina le caratteristiche del software FEM tradizionale e dei metodi meshless. Le funzioni di forma sono definite principalmente nelle coordinate globali e ulteriormente moltiplicate per partizione di unità per creare funzioni di forma elementali locali. Uno dei vantaggi di GFEM è la prevenzione del ri-meshing attorno alle singolarità.,

Metodo misto agli elementi finiti

In diversi problemi, come il contatto o l’incomprimibilità, i vincoli vengono imposti usando i moltiplicatori di Lagrange. Questi gradi extra di libertà derivanti dai moltiplicatori di Lagrange sono risolti indipendentemente. Le equazioni sono risolte come un sistema accoppiato.

hp-Finite Element Method

hp-FEM è una combinazione di utilizzo di raffinamento automatico della mesh (h-raffinamento) e aumento dell’ordine polinomiale (p-raffinamento). Questo non è lo stesso che fare h – e p – perfezionamenti separatamente., Quando viene utilizzato hp-refinement automatico e un elemento viene diviso in elementi più piccoli (h-refinement), ogni elemento può avere anche diversi ordini polinomiali.

Discontinuous Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM ha mostrato una significativa promessa per l’utilizzo dell’idea degli elementi finiti per risolvere equazioni iperboliche in cui i metodi tradizionali degli elementi finiti sono stati deboli. Inoltre, ha anche mostrato promessa in flessione e problemi incomprimibili che sono comunemente osservati nella maggior parte dei processi materiali., Qui vengono aggiunti ulteriori vincoli alla forma debole che includono un parametro di penalità (per prevenire la compenetrazione) e termini per altri equilibri di tensioni tra gli elementi.

Analisi agli elementi finiti&SimScale

Il componente software FEA di SimScale consente di testare e prevedere virtualmente il comportamento delle strutture e quindi risolvere complessi problemi di ingegneria strutturale sottoposti a condizioni di carico statiche e dinamiche., La piattaforma di simulazione FEA utilizza metodi numerici scalabili in grado di calcolare espressioni matematiche che altrimenti sarebbero molto impegnative a causa di carichi complessi, geometrie o proprietà del materiale.

Ultimo aggiornamento: 20 gennaio 2021