Natura e varietà della logica
È relativamente facile discernere un po ‘ di ordine nell’imbarazzo di cui sopra delle spiegazioni. Alcune delle caratterizzazioni sono infatti strettamente correlate tra loro. Quando si dice che la logica, ad esempio, sia lo studio delle leggi del pensiero, queste leggi non possono essere le regolarità empiriche (o osservabili) del pensiero umano reale come studiato in psicologia; devono essere leggi del ragionamento corretto, che sono indipendenti dalle idiosincrasie psicologiche del pensatore., Inoltre, c’è un parallelismo tra il pensiero corretto e l’argomentazione valida: l’argomentazione valida può essere pensata come espressione del pensiero corretto e il secondo come interiorizzazione del primo. Nel senso di questo parallelismo, le leggi del pensiero corretto corrisponderanno a quelle della corretta argomentazione. Il segno caratteristico di quest’ultimo è, a sua volta, che non dipendono da particolari questioni di fatto. Ogni volta che un argomento che prende un ragionatore da p a q è valido, deve tenere indipendentemente da ciò che gli capita di sapere o credere sull’argomento di p e q., L’unica altra fonte della certezza della connessione tra p e q, tuttavia, è presumibilmente costituita dai significati dei termini che le proposizioni p e q contengono. Questi stessi significati renderanno anche la frase “Se p, allora q” vera indipendentemente da tutte le questioni contingenti di fatto. Più in generale, si può validamente discutere da p a q se e solo se l’implicazione “Se p, allora q” è logicamente vera—cioè vera in virtù dei significati delle parole che si verificano in p e q, indipendentemente da qualsiasi dato di fatto.,
La logica può quindi essere caratterizzata come lo studio delle verità basato completamente sui significati dei termini che contengono.
Al fine di accogliere alcune idee tradizionali nell’ambito di questa formulazione, i significati in questione possono essere intesi come incarnando intuizioni nelle essenze delle entità indicate dai termini, non semplicemente codificazioni di uso linguistico consueto.,
La seguente proposizione (da Aristotele), per esempio, è una semplice verità della logica: “Se la vista è percezione, gli oggetti della vista sono oggetti della percezione.”La sua verità può essere afferrata senza tenere alcuna opinione su quale sia, in effetti, il rapporto della vista con la percezione. Ciò che è necessario è semplicemente una comprensione di ciò che si intende con termini come “se–allora”, “è” e “sono”, e una comprensione che “oggetto di” esprime una sorta di relazione.,
La verità logica della proposizione campione di Aristotele si riflette nel fatto che “Gli oggetti della vista sono oggetti della percezione” può essere validamente dedotta da “La vista è percezione.”
Molte domande rimangono tuttavia senza risposta da questa caratterizzazione. Il contrasto tra le questioni di fatto e le relazioni tra significati che è stato invocato nella caratterizzazione è stato messo in discussione, insieme alla nozione stessa di significato. Anche se entrambi sono accettati, rimane una notevole tensione tra una concezione più ampia e una più stretta della logica., Secondo l’interpretazione più ampia, tutte le verità che dipendono solo dai significati appartengono alla logica. È in questo senso che la parola logica deve essere presa in denominazioni come “logica epistemica” (logica della conoscenza), “logica doxastica” (logica della credenza), “logica deontica” (logica delle norme), “logica della scienza”, “logica induttiva” e così via. Secondo la concezione più ristretta, verità logiche ottenere (o tenere) in virtù di alcuni termini specifici, spesso chiamati costanti logiche., Se può essere data una caratterizzazione intrinseca o se possono essere specificati solo mediante enumerazione è un punto controverso. È generalmente accettato, tuttavia, che includano (1) tali connettivi proposizionali come “not”, “and”, “or” e “if–then” e (2) i cosiddetti quantificatori “(x x)” (che possono essere letti: “Per almeno un individuo, chiamalo x, è vero che”) e “(x x)” (“Per ogni individuo, chiamalo x, è vero che”). La lettera fittizia x è qui chiamata variabile vincolata (individuale)., I suoi valori dovrebbero essere membri di una certa classe fissa di entità, chiamate individui, una classe che è variamente conosciuta come l’universo del discorso, l’universo presupposto in un’interpretazione, o il dominio degli individui. Si dice che i suoi membri siano quantificati in ” (x x) “o” (x x).”Inoltre, (3) il concetto di identità (espresso da =) e (4) qualche nozione di predicazione (un individuo ha una proprietà o una relazione tra più individui) appartengono alla logica., Le forme che lo studio di queste costanti logiche prendono sono descritte in modo più dettagliato nell’articolo logic, in cui vengono anche spiegati i diversi tipi di notazione logica. Qui, viene data solo una delineazione del campo della logica.
Quando i termini in (1) da soli sono studiati, il campo è chiamato logica proposizionale. Quando (1), (2) e (4) sono considerati, il campo è l’area centrale della logica che è variamente conosciuta come logica del primo ordine, teoria della quantificazione, calcolo dei predicati inferiori, calcolo funzionale inferiore o logica elementare., Se viene sottolineata l’assenza di (3), viene aggiunto l’epiteto “senza identità”, in contrasto con la logica del primo ordine con identità, in cui è incluso anche (3).
I casi limite tra costanti logiche e non logiche sono i seguenti (tra gli altri): (1) Quantificazione di ordine superiore, che significa quantificazione non sugli individui appartenenti a un dato universo di discorso, come nella logica del primo ordine, ma anche su insiemi di individui e insiemi di n-tuple di individui. (In alternativa, le proprietà e le relazioni che specificano questi set possono essere quantificate su.,) Ciò dà origine alla logica del secondo ordine. Il processo può essere ripetuto. La quantificazione su insiemi di tali insiemi (o di n-tuple di tali insiemi o su proprietà e relazioni di tali insiemi) come sono considerati nella logica del secondo ordine dà origine alla logica del terzo ordine; e tutte le logiche di ordine finito formano insieme la (semplice) teoria dei tipi (finiti). (2) La relazione di appartenenza, espressa da ∊, può essere innestata sulla logica del primo ordine; dà origine alla teoria degli insiemi. (3) I concetti di necessità (logica) e possibilità (logica) possono essere aggiunti.,
Questo senso più stretto della logica è legato all’idea influente della forma logica. In ogni frase data, tutti i termini non logici possono essere sostituiti da variabili del tipo appropriato, mantenendo intatte solo le costanti logiche. Il risultato è una formula che mostra la forma logica della frase. Se la formula risulta in una frase vera per qualsiasi sostituzione di termini interpretati (del tipo logico appropriato) per le variabili, la formula e la frase sono dette logicamente vere (nel senso più stretto dell’espressione).