In matematica, il simbolo al quadrato (2) è un operatore aritmetico che significa moltiplicare un numero da solo. Il “quadrato” di un numero è il prodotto del numero e di se stesso. Moltiplicare un numero da solo è chiamato “quadratura” del numero. La quadratura di un numero è un’istanza più specifica dell’operazione di esponenziazione generale, esponenziazione quando l’esponente è 2. Quadrare un numero è lo stesso che aumentare quel numero alla potenza di due. La funzione quadrata(ƒ (x)=x2) è l’inverso della funzione radice quadrata(ƒ (x)=√x).,
Alzare un numero n alla potenza di 2 è chiamato “quadratura” perché il numero risultante n2 corrisponde all’area di un quadrato con lati di lunghezza n. La funzione quadrata è una funzione estremamente utile in algebra, trigonometria e fisica. In algebra, la funzione quadrata costituisce la spina dorsale di alcuni tipi più semplici di polinomi (quadratiche). In trigonometria, la funzione quadrata viene utilizzata per trovare gli angoli corrispondenti e le lunghezze laterali dei triangoli congruenti, un concetto utile per modellare fenomeni periodici., In fisica, la funzione quadrata può essere utilizzata per calcolare le distanze tra due punti (nella forma del teorema di Pitagora) e fenomeni modellati spesso assume la forma matematica di una funzione quadrata, in particolare equazioni che coinvolgono velocità e accelerazione.
Quadratura: Le basi
Quadratura di un numero è semplice: basta moltiplicare il numero da solo: Il simbolo 32 significa solo 3×3., In generale, per ogni numero n:
n2 = n × n di
Inoltre, la funzione di piazza ha l’interessante proprietà che mettendo l’additivo inversa di n, sarà lo stesso numero: che è:
n2 = (−n)2
a rigor di termini, ogni numero positivo è il quadrato di esattamente due numero, un positivo e un numero negativo. 4 è il quadrato di entrambi 2 e -2. Un numero che è il quadrato di un intero è chiamato un quadrato perfetto., In generale, più in basso si va la linea numerica, più e più lontano si diffonde la distribuzione dei quadrati perfetti. Questa tendenza è perché la funzione quadrata cresce esponenzialmente; cioè il suo tasso di crescita è proporzionale al suo valore corrente.
L’inverso della funzione quadrata è la funzione radice quadrata ƒ(x) = √x. La radice quadrata di un numero n è qualsiasi a tale che a2 = n. Poiché sia un numero che il suo quadrato inverso additivo per ottenere lo stesso risultato, ogni numero reale positivo ha esattamente 2 radici +√x e −√x, a volte espresso come ±√, Nella maggior parte dei contesti, “la radice quadrata” di un numero si riferisce solo alla sua radice positiva. La particolare definizione della funzione radice quadrata fa in modo che nessun numero reale negativo abbia una radice quadrata, poiché nessun numero moltiplicato per se stesso produrrà un numero negativo. I numeri negativi hanno radici quadrate nel sistema numerico complesso, ma non nel sistema numerico reale.
Un grafico della funzione x2 assomiglia a:
Si noti come il grafico sia perfettamente specchiato lungo l’asse y verticale., La forma del grafico corrisponde al fatto che ogni numero reale positivo è il quadrato di un numero positivo e negativo (tranne zero). Come tale, è possibile che una funzione nella forma generale della funzione quadrata non abbia radici-non esiste n tale che ƒ (n) = 0. Visivamente, ciò significa che alcune funzioni quadrate non attraverseranno mai l’asse X.
Uso della funzione Quadrata
Algebra
La funzione quadrata costituisce la spina dorsale di una classe speciale di equazioni polinomiali chiamate equazioni di secondo grado., Un polinomio quadratico di grado 2: cioè, qualsiasi polinomio nella forma:
ax2 + bx + c
Dove a, b e c sono tutti numeri reali e a 0 0. i termini a, b e c sono chiamati rispettivamente coefficiente quadratico, lineare e costante. Le equazioni quadratiche possono essere fattorizzate per trovare le loro radici-valori di x per i quali l’intera equazione è uguale a 0., In alternativa, si può usare l’equazione quadratica per risolvere le radici di un polinomio quadratico:
L’equazione quadratica è utile per modellare il movimento, poiché la curva del movimento accelerato assume la forma di una curva quadrata. Se un movimento ha una velocità costante di accelerazione, allora un grafico del suo movimento sarà un’equazione quadratica. La forma geometrica della funzione quadratica è chiamata parabola.
Geometria
La funzione quadrata ha molti usi in geometria. Più ovviamente, la funzione quadrata può essere utilizzata per trovare l’area dei quadrati., È un fatto comunemente noto che l’area di un quadrato con lati di lunghezza n è uguale a n2. Ciò deriva dall’equazione per l’area di un rettangolo (e parallelogrammi più in generale) dove A = l×w. Un quadrato è semplicemente un rettangolo in cui la lunghezza e la larghezza sono uguali. Il fatto che l’area di un quadrato sia una funzione quadrata spiega una proprietà sulla crescita dell’area quadrata: l’area quadrata la cui lunghezza è n volte più lunga ha n2 più area.
La quadratura viene anche utilizzata per trovare le distanze tra due punti nel contesto del teorema di Pitagora. Il teorema di Pitagora dice che il quadrato dei lati di un triangolo rettangolo (un triangolo con un angolo di 90°) è uguale al quadrato dell’ipotenusa (a2+b2=c2). Questa formula può essere utilizzata per calcolare la distanza tra il punto di origine di un asse di coordinate (0, 0) e qualsiasi punto arbitrario (x, y). Si può disegnare una linea che si estende dal punto di origine x unità orizzontalmente, quindi una linea che si estende da quel punto y unità verticalmente., Il tracciato avrà la forma di un triangolo rettangolo, e la distanza tra l’origine (0, 0) e il punto (x, y) può essere calcolato come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con lati di lunghezza x e y.
Il teorema di Pitagora è un caso particolare del più generale parallelogramma legge che riguarda la lunghezza dei lati di un parallelogramma per le sue diagonali: il parallelogramma legge stabilisce che la somma dei quadrati delle lunghezze delle lunghezze dei quattro lati è uguale alla somma dei quadrati delle diagonali. Diciamo che abbiamo un parallelogramma con lati AB, BC, CD e DA e diagonali AC e BD., Il parallelogramma legge ci dice che:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
Dal momento che in un parallelogramma, lati opposti sono, per definizione, uguale in lunghezza, questa equazione può essere riscritta come:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
Il teorema di Pitagora ricade al di fuori di questa equazione nel caso di un rettangolo, dove le diagonali sono uguali lunghezze.
Trigonometria
La quadratura si apre anche nelle leggi che riguardano le lunghezze dei lati di un triangolo ai suoi angoli, sotto forma di legge dei coseni., In poche parole, la legge dei coseni afferma che per un triangolo con lunghezze a, b e c e angoli opposti A, B e C:
c2= a2 + b2 – 2ab×cos(C)
La legge del coseno può essere riscritta per risolvere per ogni variabile dando un’equazione con la stessa forma esatta, quindi la stessa equazione funzionerà per qualsiasi lato. La legge dei coseni consente di determinare gli altri componenti di un triangolo se si conosce la lunghezza di almeno due lati e un angolo. L’equazione semplifica anche per dare il teorema di Pitagora nel caso di triangoli rettangoli. Nel caso di triangoli rettangoli, C C = 90, quindi cos (C) = 0., La parte più a destra dell’equazione si annulla e ci rimane c2= a2 + b2
In Fisica
In fisica, la funzione quadrata spesso alza la testa nel contesto delle equazioni che descrivono l’intensità di una certa quantità fisica in funzione della distanza. A causa della geometria 3D dello spazio, l’intensità di qualsiasi quantità fisica che si irradia verso l’esterno in una sfera attorno alla sorgente è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente., Questo fatto deriva dalla legge geometrica che la superficie di una sfera (4nr2) è direttamente proporzionale al raggio quadrato (r2) della sfera.
Ad esempio, la forza di gravità è una forza quadrata inversa poiché la forza dell’attrazione gravitazionale tra due corpi è direttamente proporzionale alla massa di quei corpi e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra quei corpi., Questo è evidente nella forma matematica della legge di gravitazione di Newton
Fg= G(m1×m2) /d2
dove m1 e m2 sono le masse dei corpi e d è la distanza tra i loro centri di gravità. Per inciso, la forza di attrazione elettrostatica tra due corpi assume anche la forma di una legge quadrata inversa, così come l’intensità misurata della luce misurata da una sorgente puntiforme.
La notazione quadrata è anche usata per definire unità di misura in fisica. Ad esempio, l’accelerazione, la velocità di variazione della velocità, viene misurata nell’unità m/s2., Questo può essere letto ” metri al secondo al secondo.”Se la velocità è la variazione della distanza rispetto al tempo, allora l’accelerazione è la variazione della velocità rispetto al tempo. L’accelerazione è una misura di quanta velocità sta cambiando in ogni punto del movimento. Se la mia accelerazione è di 6 m/s2, ciò significa che la mia velocità (m / s) aumenta di 6 per ogni secondo di movimento, quindi metri al secondo al secondo.