Algebra bezgraniczna

czym są sekcje stożkowe?

sekcje stożkowe uzyskuje się przez przecięcie powierzchni stożka z płaszczyzną i mają pewne cechy.,

Definiowanie odcinków stożkowych

odcinek stożkowy (lub po prostu stożkowy) jest krzywą otrzymaną jako przecięcie powierzchni stożka z płaszczyzną. Trzy rodzaje sekcji stożkowych to hiperbola, parabola i elipsa. Okrąg jest typem elipsy i jest czasami uważany za czwarty typ przekroju stożkowego.

sekcje stożkowe mogą być generowane przez przecięcie płaszczyzny ze stożkiem. Stożek ma dwie identycznie ukształtowane części zwane nappes. Jedna nappe jest tym, co większość ludzi rozumie przez „stożek” i ma kształt czapki imprezowej.,

sekcje stożkowe są generowane przez przecięcie płaszczyzny ze stożkiem. Jeśli płaszczyzna jest równoległa do osi obrotu (oś y), to odcinek stożkowy jest hiperbolą. Jeśli płaszczyzna jest równoległa do linii generującej, to odcinek stożkowy jest parabolą. Jeśli płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu, to odcinek stożkowy jest okręgiem. Jeśli płaszczyzna przecina jeden nappe pod kątem do osi (inny niż 90^{\circ}), to odcinek stożkowy jest elipsą.,

części wspólne sekcji stożkowych

chociaż każdy typ sekcji stożkowej wygląda zupełnie inaczej, mają one pewne wspólne cechy. Na przykład każdy typ ma co najmniej jeden focus i directrix.

focus to punkt, wokół którego zbudowana jest sekcja stożkowa. Innymi słowy, jest to punkt, wokół którego zbiegają się promienie odbite od Krzywej., Parabola ma jedno ognisko, wokół którego zbudowany jest kształt; elipsa i hiperbola mają dwa.

directrix jest linią używaną do konstruowania i definiowania sekcji stożkowej. Odległość kierunkowskazu od punktu na przekroju stożkowym ma stały stosunek do odległości od tego punktu do ostrości. Podobnie jak w przypadku Focusa, parabola ma jeden kierunkowskaz, podczas gdy elipsy i hiperbole mają dwa.

te właściwości, które dzielą sekcje stożkowe, są często przedstawiane jako następująca definicja, która zostanie rozwinięta w dalszej części., Sekcja stożkowa to locus punktów P, których odległość do ogniska jest stałą wielokrotnością odległości od P do kierunku stożka. Odległości te są wyświetlane jako pomarańczowe linie dla każdej sekcji stożkowej na poniższym diagramie.

każdy rodzaj sekcji stożkowej jest opisany bardziej szczegółowo poniżej.,

Parabola

parabola jest zbiorem wszystkich punktów, których odległość od ustalonego punktu, zwanego ogniskowaniem, jest równa odległości od ustalonej linii, zwanej directrix. Punkt w połowie drogi między ogniskiem a kierunkowskazem nazywany jest wierzchołkiem paraboli.

na następnym rysunku cztery parabole są wykreślone tak, jak pojawiają się na płaszczyźnie współrzędnych. Mogą otwierać się w górę, w dół, w lewo lub w prawo.

elipsy

elipsa jest zbiorem wszystkich punktów, dla których suma odległości od dwóch stałych punktów (ognisk) jest stała. W przypadku elipsy istnieją dwa ogniska i dwa kierunkowskazy.

na następnym rysunku typowa elipsa jest wykreślona tak, jak pojawia się na płaszczyźnie współrzędnych.

Hiperbola

hiperbola to zbiór wszystkich punktów, w których różnica między ich odległościami od dwóch stałych punktów (ognisk) jest stała. W przypadku hiperboli istnieją dwa ogniska i dwa kierunkowskazy. Hiperbole mają również dwie asymptoty.

na kolejnym rysunku pojawia się Wykres typowej hiperboli.

zastosowania kształtowników stożkowych

kształtowniki stożkowe są stosowane w wielu dziedzinach nauki, szczególnie do opisu kształtowników. Na przykład są one używane w astronomii do opisu kształtów orbit obiektów w przestrzeni. Dwa masywne obiekty w przestrzeni, które oddziałują zgodnie z prawem uniwersalnej grawitacji Newtona, mogą poruszać się po orbitach, które mają kształt odcinków stożkowych. Mogą podążać za elipsami, parabolami lub hiperbolami, w zależności od ich właściwości.

ekscentryczność

każda część stożkowa ma stałą ekscentryczność, która dostarcza informacji o jej kształcie.,

Definiowanie ekscentryczności

ekscentryczność, oznaczona symbolem e, jest parametrem powiązanym z każdą sekcją stożkową. Można to traktować jako miarę tego, jak bardzo odcinek stożkowy odbiega od okrągłego.,

mimośrodowość przekroju stożkowego definiuje się jako odległość od dowolnego punktu na przekroju stożkowym do jego skupienia, podzieloną przez odległość prostopadłą od tego punktu do najbliższego kierunku. Wartość e jest stała dla dowolnego odcinka stożkowego. Właściwość ta może być używana jako ogólna definicja dla sekcji stożkowych., Wartość e może być również użyta do określenia typu sekcji stożkowej:

• Jeśli e = 1, stożek jest parabolą
• Jeśli e < 1, jest elipsą
• Jeśli e > 1, jest hiperbolą

mimośrodowość okręgu wynosi zero. Należy zauważyć, że dwie sekcje stożkowe są podobne (o identycznym kształcie) wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą mimośrodowość.

Przypomnijmy, że hiperbole i elipsy niekolistne mają dwa ogniska i dwa powiązane kierunkowskazy, podczas gdy parabole mają jeden kierunkowskaz i jeden kierunkowskaz., Na następnym rysunku każdy typ sekcji stożkowej jest wykreślony z fokusem i directrix. Pomarańczowe linie oznaczają odległość między punktem skupienia i punktami na przekroju stożkowym, a także odległość między tymi samymi punktami a kierunkowskazem. Są to odległości używane do znalezienia ekscentryczności.

z definicji paraboli wynika, że odległość od dowolnego punktu na paraboli do punktu skupienia jest równa odległości od tego samego punktu do kierunku. Dlatego z definicji ekscentryczność paraboli musi wynosić 1.

dla elipsy mimośrodowość jest mniejsza niż 1. Oznacza to, że w stosunku określającym mimośrodowość licznik jest mniejszy od mianownika. Innymi słowy, odległość między punktem na przekroju stożkowym a jego skupieniem jest mniejsza niż odległość między tym punktem A najbliższym kierunkiem.,

odwrotnie, ekscentryczność hiperboli jest większa niż 1. Oznacza to, że odległość między punktem na stożkowym odcinku najbliższego kierunkowskazu jest mniejsza niż odległość między tym punktem a ogniskiem.

typy sekcji stożkowych

sekcje stożkowe są tworzone przez przecięcie płaszczyzny ze stożkiem, a ich właściwości zależą od tego, jak to przecięcie zachodzi.,

sekcje stożkowe są szczególnym rodzajem kształtu powstałego przez przecięcie płaszczyzny i prawego stożka okrągłego. W zależności od kąta między płaszczyzną a stożkiem można utworzyć cztery różne kształty przecięcia. Każdy kształt ma również formę zdegenerowaną., Istnieje właściwość wszystkich sekcji stożkowych o nazwie ekscentryczność, która przyjmuje postać parametru numerycznego e. cztery kształty sekcji stożkowych mają różne wartości e.

Parabola

parabola powstaje, gdy płaszczyzna jest równoległa do powierzchni stożka, w wyniku czego powstaje Krzywa W Kształcie Litery U, która leży na płaszczyźnie. Każda parabola ma pewne cechy:

• wierzchołek, który jest punktem, w którym krzywa się obraca
• ostrość, która nie jest punktem na krzywej, o której krzywa się wygina
• oś symetrii, która jest linią łączącą wierzchołek i ostrość, która dzieli parabolę na dwie równe połówki

wszystkie parabole mają wartość ekscentryczności e=1., Jako bezpośredni skutek posiadania tej samej mimośrodowości, wszystkie parabole są podobne, co oznacza, że każda parabola może być przekształcona w dowolną inną ze zmianą położenia i skalowania. Zdegenerowany przypadek paraboli jest wtedy, gdy płaszczyzna ledwo dotyka zewnętrznej powierzchni stożka, co oznacza, że jest styczna do stożka. Tworzy to przecięcie linii prostej z przekątnej stożka.

Parabole nie zdegenerowane mogą być reprezentowane za pomocą funkcji kwadratowych, takich jak

f(x) = X^2

okrąg

okrąg powstaje, gdy płaszczyzna jest równoległa do podstawy stożka., Jego przecięcie ze stożkiem jest więc zbiorem punktów w równej odległości od punktu wspólnego (centralnej osi stożka), który spełnia definicję okręgu. Wszystkie okręgi mają pewne cechy:

• punkt środkowy
• promień, którego odległość od dowolnego punktu na okręgu do punktu środkowego

wszystkie okręgi mają ekscentryczność e=0. Tak więc, podobnie jak parabola, wszystkie okręgi są podobne i mogą być przekształcane w siebie., Na płaszczyźnie współrzędnych ogólna postać równania okręgu wynosi

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Gdzie (h,k) są współrzędnymi środka okręgu, A R jest promieniem.

zdegenerowana forma okręgu występuje, gdy płaszczyzna przecina tylko sam wierzchołek stożka. Jest to punkt przecięcia, lub równoważnie okrąg o promieniu zerowym.

Elipsa

gdy kąt płaszczyzny względem stożka znajduje się między zewnętrzną powierzchnią stożka a podstawą stożka, powstałe przecięcie jest elipsą. Definicja elipsy obejmuje równoległość do podstawy stożka, więc wszystkie okręgi są szczególnym przypadkiem elipsy., Elipsy mają następujące cechy:

• oś główna, która jest najdłuższą szerokością w całej elipsie
• oś podrzędna, która jest najkrótszą szerokością w całej elipsie
• środek, który jest przecięciem dwóch osi
• dwa punkty ogniskowe —dla dowolnego punktu na elipsie suma odległości do obu punktów ogniskowych jest stałą

elipsy mogą mieć zakres wartości mimośrodowości: 0 \leq e < 1. Zauważ, że wartość 0 jest uwzględniona (okrąg), ale wartość 1 nie jest uwzględniona (co byłoby parabolą)., Ponieważ istnieje szereg wartości mimośrodowości, nie wszystkie elipsy są podobne. Ogólna postać równania elipsy z główną osią równoległą do osi x wynosi:

\displaystyle {\frac {(x-h)^2} {a^2} + \ frac {(y-k)^2} {b^2} = 1}

zdegenerowana forma elipsy jest punktem, czyli okręgiem o zerowym promieniu, tak jak było dla okręgu.

Hiperbola

hiperbola powstaje, gdy płaszczyzna jest równoległa do osi centralnej stożka, co oznacza, że przecina obie części podwójnego stożka.,nches, a także te cechy:

• linie asymptoty—są to dwa wykresy liniowe, które krzywa hiperboli zbliża się, ale nigdy nie dotyka
• centrum, które jest przecięciem asymptoty
• dwa punkty ogniskowe, wokół których wygina się każda z dwóch gałęzi
• dwa wierzchołki, po jednym dla każdej gałęzi

ogólne równanie dla hiperboli z wierzchołkami na linii poziomej wynosi:

\displaystyle{ \frac{(x-H)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{B^2} = 1 }

ekscentryczność hiperboli jest ograniczona do e > 1 i nie ma górnej granicy., Jeśli ekscentryczność jest dopuszczalna do granicy + \ infty (dodatniej nieskończoności), hiperbola staje się jednym ze swoich zdegenerowanych przypadków—linią prostą. Drugi przypadek hiperboli ma stać się jej dwoma asymptotami prostoliniowymi. Dzieje się tak, gdy płaszczyzna przecina wierzchołek podwójnego stożka.