czym jest FEA | analiza elementów skończonych?

analiza elementów skończonych (FEA) to symulacja dowolnego zjawiska fizycznego za pomocą techniki numerycznej zwanej metodą elementów skończonych (Fem). Inżynierowie wykorzystują oprogramowanie FEA, aby zmniejszyć liczbę fizycznych prototypów i eksperymentów oraz zoptymalizować komponenty w fazie projektowania, aby opracować lepsze produkty, szybciej, oszczędzając na kosztach.,

konieczne jest wykorzystanie matematyki do kompleksowego zrozumienia i określenia ilościowego wszelkich zjawisk fizycznych, takich jak zachowanie strukturalne lub płynne, transport termiczny, propagacja fal, wzrost komórek biologicznych itp. Większość z tych procesów jest opisana za pomocą równań różniczkowych cząstkowych (PDEs). Jednak dla komputera do rozwiązania tych PDEs, techniki numeryczne zostały opracowane w ciągu ostatnich kilku dekad i jednym z prominentnych z nich, dzisiaj, jest analiza elementów skończonych.,

Równania różniczkowe opisują nie tylko zjawiska naturalne, ale także zjawiska fizyczne spotykane w mechanice inżynierskiej. Te równania różniczkowe cząstkowe (PDEs) są skomplikowane równania, które muszą być rozwiązane w celu obliczenia odpowiednich wielkości struktury (jak naprężenia (\(\epsilon\)), szczepy (\(\epsilon\)), itp.) w celu oszacowania zachowania strukturalnego pod danym obciążeniem. Ważne jest, aby wiedzieć, że FEA daje tylko przybliżone rozwiązanie problemu i jest numerycznym podejściem do uzyskania rzeczywistego wyniku tych równań różniczkowych cząstkowych., Uproszczone, FEA jest metodą numeryczną stosowaną do przewidywania, jak część lub zespół zachowuje się w danych warunkach. Jest on używany jako podstawa dla nowoczesnego oprogramowania symulacyjnego i pomaga inżynierom znaleźć słabe punkty, obszary napięcia itp. w swoich projektach. Wyniki symulacji-opartej na metodzie FEA są zwykle przedstawiane za pomocą skali kolorów, która pokazuje na przykład rozkład ciśnienia nad obiektem.

w zależności od perspektywy, można powiedzieć, że FEA ma swój początek w dziele Eulera, już w XVI wieku., Jednak najwcześniejsze prace matematyczne na temat analizy elementów skończonych można znaleźć w pracach Schellbacha i Couranta .

FEA została opracowana niezależnie przez inżynierów z różnych branż w celu rozwiązania problemów mechaniki konstrukcji związanych z lotnictwem i inżynierią lądową. Rozwój aplikacji rzeczywistych rozpoczął się około połowy 1950 roku jako dokumenty Turner, Clough, Martin & Topp, Argyris i Babuska& Aziz show., Książki Zienkiewicza i stranga & Fix również położyły podwaliny pod przyszły rozwój oprogramowania FEA.

dziel i podbijaj

aby móc wykonywać symulacje, należy utworzyć siatkę, składającą się nawet z milionów małych elementów, które razem tworzą kształt struktury., Obliczenia są wykonywane dla każdego pojedynczego elementu. Połączenie poszczególnych wyników daje nam ostateczny wynik struktury. Przybliżenia, o których właśnie wspomnieliśmy, są zwykle wielomianowe, a w rzeczywistości interpolacje nad pierwiastkiem (- ami). Oznacza to, że znamy wartości w pewnych punktach elementu, ale nie w każdym punkcie. Te „pewne punkty” nazywane są punktami węzłowymi i często znajdują się na granicy elementu. Dokładność, z jaką zmienia się zmienna, wyraża się pewnym przybliżeniem dla np. liniowe, kwadratowe, sześcienne itp., Aby lepiej zrozumieć techniki aproksymacji, przyjrzymy się jednowymiarowemu słupkowi. Rozważmy prawdziwy rozkład temperatury t (x) wzdłuż paska na poniższym obrazku:

Załóżmy, że znamy temperaturę tego paska w 5 określonych pozycjach (numery 1-5 na ilustracji)., Teraz pytanie brzmi: jak możemy przewidzieć temperaturę pomiędzy tymi punktami? Przybliżenie liniowe jest całkiem dobre, ale istnieją lepsze możliwości przedstawienia rzeczywistego rozkładu temperatury. Jeśli wybierzemy przybliżenie kwadratowe, rozkład temperatury wzdłuż paska jest znacznie bardziej płynny. Niemniej jednak widzimy, że niezależnie od stopnia wielomianu, rozkład na pręcie jest znany, gdy znamy wartości w punktach węzłowych. Gdybyśmy mieli nieskończoną poprzeczkę, mielibyśmy nieskończoną ilość niewiadomych (stopni swobody (DOF))., Ale w tym przypadku mamy problem z „skończoną” liczbą niewiadomych:

układ o skończonej liczbie niewiadomych nazywa się układem dyskretnym. Układ o nieskończonej liczbie niewiadomych nazywany jest układem ciągłym.

dla celów przybliżeń możemy znaleźć następującą relację dla pola quantity \(U(x)\):

$$u(x) = U^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

linia zilustrowana u góry pokazuje tę zasadę na problem 1D., \(u\) może reprezentować temperaturę wzdłuż długości pręta, który jest ogrzewany w niejednorodny sposób. W naszym przypadku istnieją cztery elementy wzdłuż osi x, gdzie funkcja określa liniowe przybliżenie temperatury zilustrowane kropkami wzdłuż linii.

jedną z największych zalet, jakie mamy przy użyciu analizy elementów skończonych, jest to, że możemy albo zmieniać dyskretyzację na element, albo dyskretyzować odpowiednie funkcje bazowe. De facto możemy użyć mniejszych elementów w regionach, w których spodziewane są wysokie gradienty \(u\)., W celu modelowania stromości funkcji musimy wykonać przybliżenia.

Równania różniczkowe cząstkowe

przed przystąpieniem do samego FEA, ważne jest, aby zrozumieć różne typy PDE i ich przydatność do FEA. Zrozumienie tego jest ważne dla każdego, niezależnie od motywacji do korzystania z analizy elementów skończonych. Należy stale przypominać sobie, że oprogramowanie FEA jest narzędziem, a każde narzędzie jest tak dobre, jak jego użytkownik.,

PDE można sklasyfikować jako eliptyczne (są dość gładkie), hiperboliczne (rozwiązania wspierające z nieciągłością) i paraboliczne (opisują problemy dyfuzji zależne od czasu). Przy rozwiązywaniu tych równań różniczkowych należy podać warunki graniczne i/lub początkowe. Na podstawie typu PDE można ocenić niezbędne wejścia. Przykłady PDE w każdej kategorii obejmują równanie Poissona (eliptyczne), równanie falowe (hiperboliczne) i prawo Fouriera (paraboliczne).,

istnieją dwa główne podejścia do rozwiązywania eliptycznych PDE – skończonej analizy różnic (FDA) i wariacyjnych (lub energii) metod. FEA zalicza się do drugiej kategorii metod wariacyjnych. Podejście wariacyjne opiera się przede wszystkim na filozofii minimalizacji energii.

hiperboliczne PDE są powszechnie kojarzone ze skokami w rozwiązaniach., Równanie falowe, na przykład, jest hiperbolicznym PDE. Ze względu na istnienie nieciągłości (lub skoków) w rozwiązaniach, oryginalna technologia FEA (lub metoda Bubnova-Galerkina) była uważana za nieodpowiednią do rozwiązywania hiperbolicznych PDE. jednak z biegiem lat, modyfikacje zostały opracowane w celu rozszerzenia stosowalności oprogramowania i technologii FEA.

ważne jest, aby wziąć pod uwagę konsekwencje użycia frameworka numerycznego, który nie jest odpowiedni dla wybranego typu PDE. Takie użycie prowadzi do rozwiązań, które są znane jako „niewłaściwie ułożone”., Może to oznaczać, że małe zmiany parametrów domeny prowadzą do dużych oscylacji w rozwiązaniach lub rozwiązania istnieją tylko w pewnej części domeny lub czasu. Nie są one wiarygodne. Dobrze ułożone rozwiązania definiowane są unikalnym, istniejącym w sposób ciągły dla zdefiniowanych danych. Dlatego, biorąc pod uwagę niezawodność, niezwykle ważne jest ich uzyskanie.

słabe i mocne sformułowanie

objęte tą serią modele matematyczne przewodzenia ciepła i elastostatyki składają się z (częściowych) równań różniczkowych o warunkach początkowych i granicznych., Jest to również określane jako tak zwana silna forma problemu. Kilka przykładów „silnych form” podano na poniższej ilustracji:

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu wymagają wysokiego stopnia gładkości dla rozwiązania \(U(x)\). Oznacza to, że druga pochodna przesunięcia musi istnieć i musi być ciągła! Oznacza to również wymagania dotyczące parametrów, na które nie można wpływać, takich jak geometria (ostre krawędzie) i parametry materiału (inny moduł w materiale).,

aby rozwinąć formułę elementów skończonych, Równania różniczkowe cząstkowe muszą być powtórzone w postaci Całkowej zwanej formą słabą. Słaba i silna forma są równoważne! W analizie stresu słabą formę nazywa się zasadą pracy wirtualnej.

$$ \ int^l_0 \ frac{dw}{DX} AE \ frac {du} {DX} dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \int ^ l _0wbdx~~ ~ \forall w ~ with ~ w (l) = 0 \tag{3}$$

Podane równanie jest tak zwaną postacią słabą (w tym przypadku słabą dla elastostatyków)., Nazwa wskazuje, że rozwiązania słabej formy nie muszą być tak gładkie jak rozwiązania silnej formy, co oznacza słabsze wymagania ciągłości.

należy pamiętać, że rozwiązaniem spełniającym postać słabą jest również rozwiązanie silnego odpowiednika równania. Należy również pamiętać, że rozwiązania próbne \(u (x)\) muszą spełniać warunki graniczne przemieszczenia. Jest to zasadnicza właściwość rozwiązań próbnych i dlatego nazywamy te warunki brzegowe niezbędnymi warunkami brzegowymi.

czy te preparaty Cię interesują?, Jeśli tak, przeczytaj więcej w temacie forum na temat równoważności słabego i silnego sformułowania PDEs dla FEA.

minimalna energia potencjalna

analiza elementów skończonych może być również wykonana z zasadą zmienności. W przypadku elastostatyków jednowymiarowych minimalna energia potencjalna jest odporna dla układów zachowawczych. Pozycja równowagi jest stabilna, jeśli energia potencjalna układu \(\Pi\) jest minimalna. Każde infinitezymalne zaburzenie stabilnej pozycji prowadzi do niekorzystnego stanu energetycznego i implikuje reakcję przywracającą., Łatwym przykładem jest normalna szklana butelka, która stoi na ziemi, gdzie ma minimalną energię potencjalną. Jeśli się przewróci, nic się nie stanie, poza głośnym hałasem. Jeśli stoi na rogu stołu i spada na ziemię, jest raczej prawdopodobne, że pęknie, ponieważ przenosi więcej energii w kierunku ziemi. Dla Zasady zmienności wykorzystujemy ten fakt. Im niższy poziom energii, tym mniej prawdopodobne jest, aby uzyskać złe rozwiązanie., Całkowita energia potencjalna \(\Pi\) układu składa się z pracy sił wewnętrznych (energia napięcia)

$$a_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(X) \left(\frac{du}{DX} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon a(x)} dx \tag{4}$$

i pracy siły zewnętrzne

$$A_A = a(X)\overline{t}(X)U(x)|_{\gamma _t} \Tag{5}$$

całkowita energia wynosi:

$$\PI = a_i – A_A \tag{6}$$

Dowiedz się więcej o minimalnej energii potencjalnej w naszym pokrewnym temacie na forum.,

zbieżność oczek

jednym z najczęściej pomijanych problemów w mechanice obliczeniowej wpływających na dokładność jest zbieżność oczek. Jest to związane z tym, jak małe muszą być elementy, aby zapewnić, że zmiana rozmiaru oczek nie wpływa na wyniki analizy.

powyższy rysunek pokazuje zbieżność ilości ze wzrostem stopni swobody. Jak przedstawiono na rysunku, ważne jest, aby najpierw zidentyfikować ilość zainteresowania. Należy wziąć pod uwagę co najmniej trzy punkty, a wraz ze wzrostem gęstości oczek, ilość odsetek zaczyna zbliżać się do określonej wartości. Jeśli dwa kolejne udoskonalenia oczek nie zmienią wyniku znacząco, można założyć, że wynik jest zbieżny.,

przechodząc do kwestii udoskonalenia siatki, nie zawsze konieczne jest udoskonalenie siatki w całym modelu. Zasada św. Wenanta głosi, że lokalne naprężenia w jednym regionie nie wpływają na naprężenia w innym miejscu. W związku z tym, z fizycznego punktu widzenia, model może być udoskonalony tylko w określonych regionach Zainteresowania I dodatkowo mają strefę przejściową z grubej do drobnej siatki., Istnieją dwa rodzaje uszlachetnień (H-I P-uszlachetnianie), jak pokazano na rysunku powyżej. H-udoskonalenie odnosi się do zmniejszenia wielkości elementu, podczas gdy P-udoskonalenie odnosi się do zwiększenia kolejności elementu.

tutaj ważne jest rozróżnienie między efektem geometrycznym a zbieżnością siatki, zwłaszcza gdy oczkowanie zakrzywionej powierzchni za pomocą prostych (lub liniowych) elementów wymaga większej liczby elementów (lub udoskonalenia siatki), aby dokładnie uchwycić granicę., Udoskonalanie siatki prowadzi do znacznej redukcji błędów:

takie udoskonalanie może pozwolić na zwiększenie zbieżności rozwiązań bez zwiększania rozmiaru ogólnego problemu.

Jak mierzyć zbieżność?,

skoro już omówiono znaczenie konwergencji, jak można ją zmierzyć? Co to jest miara ilościowa dla konwergencji? Pierwszym sposobem byłoby porównanie z rozwiązaniami analitycznymi lub wynikami eksperymentalnymi.

błąd przemieszczenia:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

gdzie \(u\) jest rozwiązaniem analitycznym dla pola przemieszczenia.

błąd szczepów:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^H \tag{8}$$

gdzie \(\epsilon\) jest rozwiązaniem analitycznym dla pola szczepu.,

błąd naprężeń:

$$e_\sigma = \sigma – \sigma^h \tag{9}$$

gdzie \(\sigma\) jest rozwiązaniem analitycznym dla pola naprężeń.

jak pokazano w powyższych równaniach, można zdefiniować kilka błędów dla przemieszczeń, odkształceń i naprężeń. Błędy te można by wykorzystać do porównania i należałoby je zredukować poprzez udoskonalenie siatki. Dowiedz się więcej o tym, jak te błędy są obliczane z odpowiednimi normami dla tych ilości tutaj.,

oprogramowanie do analizy elementów skończonych

analiza elementów skończonych rozpoczęła się od znaczącej obietnicy w modelowaniu kilku zastosowań mechanicznych związanych z lotnictwem i inżynierią lądową. Zastosowania metody elementów skończonych dopiero zaczynają osiągać swój potencjał., Jednym z najbardziej ekscytujących perspektyw jest jego zastosowanie do problemów sprzężonych, takich jak interakcja płyn-struktura; termo-mechaniczne, termo-chemiczne, termo-chemo-mechaniczne problemy piezoelektryczne, ferroelektryczne, elektromagnetyczne i inne istotne obszary:

statyczne

dzięki analizie statycznej można analizować liniowe statyczne i nieliniowe quasi-statyczne struktury. W przypadku liniowym z przyłożonym obciążeniem statycznym do określenia odpowiedzi strukturalnej potrzebny jest tylko jeden krok. Można wziąć pod uwagę Nieliniowość geometryczną, kontaktową i materiałową. Przykładem jest podkładka nośna mostu.,

dynamiczna

analiza dynamiczna pomaga analizować dynamiczną reakcję konstrukcji, która doświadczyła obciążeń dynamicznych w określonym przedziale czasowym. Aby modelować problemy konstrukcyjne w realistyczny sposób, można również analizować wpływ obciążeń, a także przemieszczeń. Przykładem jest uderzenie ludzkiej czaszki, z hełmem lub bez hełmu.

Modal

Eigenfrequencies i eigenmodes konstrukcji z powodu drgań mogą być symulowane za pomocą analizy modalnej. Szczytowa reakcja struktury lub układu pod danym obciążeniem może być symulowana za pomocą analizy harmonicznej., Przykładem jest uruchomienie silnika.

różne rodzaje metody elementów skończonych

jak wspomniano wcześniej w sekcji dotyczącej PDEs, tradycyjna technologia FEM wykazała braki w modelowaniu problemów związanych z mechaniką płynów, propagacją fal itp. W ciągu ostatnich dwóch dekad dokonano kilku ulepszeń w celu poprawy procesu rozwiązania i rozszerzenia możliwości zastosowania analizy elementów skończonych do szerokiego gatunku problemów., Niektóre z ważnych z nich są nadal używane TO:

Extended Finite Element Method (Xfem)

metoda Bubnova-Galerkina wymaga ciągłości przemieszczeń między elementami. Problemy takie jak kontakt, złamania i uszkodzenia, jednak obejmują nieciągłości i skoki, które nie mogą być bezpośrednio obsługiwane przez metody elementów skończonych. Aby przezwyciężyć to niedociągnięcie, XFEM narodził się w latach 90. XX wieku.xfem działa poprzez rozszerzenie funkcji kształtu z ciężkimi funkcjami krokowymi., Dodatkowe stopnie swobody są przypisane do węzłów wokół punktu nieciągłości, dzięki czemu można rozważyć skoki.

uogólniona metoda Elementów Skończonych (Gfem)

gfem została wprowadzona mniej więcej w tym samym czasie, co XFEM w latach 90. łączy w sobie cechy tradycyjnego oprogramowania FEM i metod meshless. Funkcje kształtu są przede wszystkim definiowane w globalnych współrzędnych i następnie mnożone przez podział jedności, aby utworzyć lokalne elementarne funkcje kształtu. Jedną z zalet GFEM jest zapobieganie ponownemu oczkowaniu wokół osobliwości.,

metoda mieszanych Elementów Skończonych

w kilku problemach, takich jak kontakt lub niezrozumiałość, ograniczenia są nakładane za pomocą mnożników Lagrange ' a. Te dodatkowe stopnie swobody wynikające z mnożników Lagrange ' a są rozwiązywane niezależnie. Równania rozwiązuje się jak układ sprzężony.

HP-metoda Elementów Skończonych

hp-FEM jest kombinacją zastosowania automatycznego udoskonalania siatki (H-udoskonalanie) i zwiększenia rzędu wielomianów (P-udoskonalanie). Nie jest to to samo, co wykonywanie osobno udoskonaleń h I p., Gdy stosuje się automatyczne HP-refinement, a element jest podzielony na mniejsze elementy (H-refinement), każdy element może mieć różne wielomiany, jak również.

nieciągła metoda Elementów Skończonych Galerkina (DG-FEM)

DG-FEM wykazała znaczącą obietnicę wykorzystania idei Elementów Skończonych do rozwiązywania równań hiperbolicznych, w których tradycyjne metody elementów skończonych były słabe. Ponadto okazało się również obiecujące w gięciu i niezrozumiałych problemów, które są powszechnie obserwowane w większości procesów materiałowych., Tutaj do słabej formy dodawane są dodatkowe ograniczenia, które obejmują parametr kary (aby zapobiec przenikaniu się) i warunki dla innej równowagi naprężeń między elementami.

analiza elementów skończonych& SimScale

komponent oprogramowania FEA SimScale umożliwia wirtualne Testowanie i przewidywanie zachowania konstrukcji, a tym samym rozwiązywanie złożonych problemów inżynierii budowlanej poddawanych obciążeniom statycznym i dynamicznym., Platforma symulacyjna FEA wykorzystuje skalowalne metody numeryczne, które mogą obliczać wyrażenia matematyczne, które w przeciwnym razie byłyby bardzo trudne ze względu na złożone obciążenia, geometrie lub właściwości materiału.

Ostatnia aktualizacja: 20 stycznia 2021