element płynącej cieczy lub gazu będzie cierpieć siły od otaczającego płynu, w tym lepkie siły naprężenia, które powodują stopniowe deformowanie w czasie. Siły te mogą być matematycznie przybliżone do pierwszego rzędu przez tensor naprężenia lepkiego, który jest zwykle oznaczany przez τ {\displaystyle \ tau } .
deformacja tego elementu płynnego, w stosunku do jakiegoś poprzedniego stanu, może być przybliżona do pierwszego rzędu przez tensor napięcia, który zmienia się z czasem., Pochodną czasową tego tensora jest tensor szybkości naprężenia, który wyraża, jak deformacja elementu zmienia się w czasie; i jest również gradientem pola wektora prędkości v {\displaystyle v} w tym punkcie, często oznaczanym ∇ v {\displaystyle \ nabla v} .,/p>
niezrozumiały izotropowy przypadek
dla niezrozumiałego i izotropowego płynu Newtonowskiego naprężenie lepkie jest związane z szybkością odkształcenia prostszym równaniem
τ = μ D u D y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}
gdzie
τ {\displaystyle \tau } jest naprężeniem ścinającym („drag”) w płynie, μ {\displaystyle \tau}. displaystyle\mu} jest skalarną stałą proporcjonalności, lepkość ścinająca płynu d u d y {\displaystyle {\frac {du} {DY}}} jest pochodną składnika prędkości, który jest równoległy do kierunku ścinania, względem przemieszczenia w kierunku prostopadłym.,, równanie to można zapisać w postaci dowolnego układu współrzędnych jako τ i j = μ ( ∂ V i ∂ x j + ∂ v j ∂ X i ) {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{I}}}\right)}
gdzie
x j {\displaystyle x_{J}} to J {\displaystyle j} TH współrzędna przestrzenna V i {\displaystyle v_{i}} to prędkość płynu w kierunku osi i {\displaystyle i} τ i j {\displaystyle \Tau _{IJ}} to j {\displaystyle j} TH składnik naprężenia działającego na powierzchnie elementu płynu prostopadle do osi i {\displaystyle i} .,
definiuje się również tensor naprężenia całkowitego σ {\displaystyle \ mathbf {\sigma}}, który łączy naprężenie ścinające z konwencjonalnym (termodynamicznym) ciśnieniem p {\displaystyle p} ., Siła ścinania równanie to staje
σ ja J = − n δ i J + μ ( ∂ w ∂ X J + ∂ przeciwko J ∂ x i ) {\właściwości wyświetlania stylu wartość \mathbf {\Sigma } _{Ej}=-p\Delta _{Ej}+\mu \w lewo({\złamania {\częściowa v_{ja}}{\częściowa x_ nie{J}}}+{\фрац {\częściowa v_{J}}{\częściowa x_ nie{ja}}}\prawej)}
lub napisane w bardziej kompaktowy тензорную formularz
σ = − p ja + µ ( ∇ V + ∇ V T ) {\właściwości wyświetlania stylu wartość \mathbf {\Sigma } =-p\mathbf {ja} +\mu \w lewo(\набла \mathbf {w} +\набла \mathbf {w} ^{T}\prawej)}
gdzie I {\właściwości wyświetlania stylu wartość \mathbf {ja} } niezmiennymi tensora tożsamości.,
dla płynów anizotropowychedit
bardziej ogólnie, w nie izotropowym płynie Newtonowskim współczynnik μ {\displaystyle \ mu }, który odnosi się do wewnętrznych naprężeń tarcia do przestrzennych pochodnych pola prędkości, zastępuje się dziewięcioelementowym tensorem naprężeń lepkich μ I J {\displaystyle \mu _{IJ}} .,
istnieje ogólny wzór na siłę tarcia w cieczy: wektorowa różnica siły tarcia jest równa tensorowi lepkości zwiększonemu na wektorowej różnicy iloczynu wektora powierzchni przylegających warstw cieczy i wirnika prędkości:
D F = μ I j D S × r O T U {\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u}}
Gdzie μ I J {\displaystyle \mu _{IJ}} – tensor lepkości. Składnikami diagonalnymi tensora lepkości jest lepkość molekularna cieczy, a nie składnikami diagonalnymi-lepkość wirowa turbulencji.,
Newtonowskie prawo lepkościedytuj
poniższe równanie ilustruje zależność między szybkością ścinania a naprężeniem ścinającym:
τ = μ D U D y {\displaystyle \Tau =\mu {du \over dy}} ,
gdzie:
- τ jest naprężeniem ścinającym;
- μ jest lepkością, i
- d u d y {\textstyle {\frac {du}{dy}}} to szybkość ścinania.
Jeśli lepkość jest stała, płyn jest Newtonowski.
model prawa mocy
w Kolorze Niebieskim płyn Newtonowski w porównaniu z dylatantem i pseudoplastyką, kąt zależy od lepkości.,
model prawa mocy jest używany do wyświetlania zachowania płynów newtonowskich i nie newtonowskich i mierzy naprężenia ścinające jako funkcję szybkości odkształcenia.,
zależność między naprężeniem ścinającym, szybkością odkształcenia i gradientem prędkości dla modelu prawa mocy wynosi:
τ = − m | γ | n − 1 D v x d y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{N-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,
gdzie
- | γ | n − 1 {\displaystyle \left\vert {\Dot {\gamma }}\right\Vert ^{N-1}} jest wartością bezwzględną szybkości odkształcenia do mocy (N-1);
- D V x d y {\textstyle {\frac {dv_{x}}{DY}}} jest gradientem prędkości;
- n jest indeksem prawa mocy.,
If
- n< 1 then the fluid is a pseudoplastic.
- n = 1 wtedy płyn jest płynem Newtonowskim.
- n > 1 następnie płyn jest dylatantem.,
Model Fluidedit
zależność między naprężeniem ścinającym a szybkością ścinania w modelu Cassona jest zdefiniowana w następujący sposób:
τ = τ 0 + S D V d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+s{\sqrt {DV \over dy}}}
Gdzie τ0 jest naprężeniem plastycznym i
s = μ ( 1 − h ) α {\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-h)^{\Alpha}}}}}},
Gdzie α zależy od składu białka, a h jest liczbą hematokrytu.