wszystkie te funkcje są ciągłe i zróżnicowane w swoich dziedzinach. Poniżej sporządzamy listę pochodnych dla tych funkcji.
pochodne podstawowych funkcji trygonometrycznych
na stronie definicji pochodnej wyprowadziliśmy już pochodne sinusa i cosinusa. Są one następujące:
\
korzystając z reguły ilorazowej łatwo jest uzyskać wyrażenie dla pochodnej stycznej:
pochodna cotangentu można znaleźć w ten sam sposób., Można to jednak zrobić również za pomocą reguły łańcuchowej do różnicowania funkcji złożonych:
podobnie znajdujemy pochodne sekantu i cosekantu:
tabela pochodnych funkcji trygonometrycznych
poniższa tabela podsumowuje pochodne \(6\) podstawowych funkcji trygonometrycznych:
w poniższych przykładach znajdź pochodną danej funkcji.
rozwiązane problemy
kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.,
przykład 1.
\
rozwiązanie.
korzystając z liniowych właściwości pochodnej, reguły łańcuchowej i wzoru podwójnego kąta, otrzymujemy:
przykład 2.
\
rozwiązanie.
pochodną tej funkcji jest
licznik można uprościć używając tożsamości trygonometrycznej
\
dlatego
\
przykład 3.
\
rozwiązanie.
używając reguły power i reguły chain otrzymujemy
przykład 4.
\
rozwiązanie.,
znajdujemy pochodną tej funkcji za pomocą reguły mocy i reguły łańcucha:
tutaj Zakładamy, że \(\cos x \ne 0\), czyli \(x \ne {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} + \pi n,\) \(n \in \mathbb{Z}.\)
przykład 5.
\
rozwiązanie.
za pomocą reguły ilorazowej,
przykład 6.
\
rozwiązanie.
stosując regułę mocy i regułę łańcucha, otrzymujemy:
ostatnie wyrażenie można uprościć wzorem podwójnego kąta:
\
w związku z tym pochodną jest
\
przykład 7.
\
rozwiązanie.,
zasada użytkowania produktu, możemy napisać tak: