podgląd zawartości

eliminacja Gaussa-Jordana jest algorytmem, który może być użyty do rozwiązywania układów równań liniowych i znalezienia odwrotności dowolnej macierzy odwracalnej. Opiera się na trzech podstawowych operacjach wiersza, których można użyć na macierzy:

1. Zamień pozycje dwóch wierszy
2. pomnóż jeden z wierszy przez niezerowy Skalar.
3. dodawanie lub odejmowanie wielokrotności skalarnej jednego wiersza do drugiego wiersza.,

forma Eszelonu o zredukowanym wierszu

eliminacja Gaussa-Jordana ma na celu wykorzystanie trzech podstawowych operacji wiersza do przekształcenia macierzy w formę eszelonu o zredukowanym wierszu. Macierz jest w formie eszelonu o zredukowanym wierszu, znanej również jako forma kanoniczna wiersza, jeśli spełnione są następujące warunki:

1. wszystkie wiersze z tylko zerowymi wpisami znajdują się na dole macierzy
2. pierwszy niezerowy wpis w wierszu, zwany pozycją wiodącą lub pivotem, każdego niezerowego wiersza znajduje się po prawej stronie wiodącego wpisu wiersza nad nim.,
3. wejście wiodące, znane również jako pivot, w dowolnym niezerowym wierszu wynosi 1.
4. wszystkie pozostałe pozycje w kolumnie zawierającej 1 są zerami.

Macierze A i B są w formie eszelonu zredukowanego rzędu, ale macierze C i D nie są. C nie jest w formie eszelonu zredukowanego, ponieważ narusza warunki dwa i trzy. D nie jest w formie eszelonu zredukowanego, ponieważ narusza warunek czwarty. Dodatkowo operacje rzędu elementarnego można wykorzystać do zmniejszenia macierzy D do macierzy B.,

kroki eliminacji Gaussa-Jordana

aby wykonać eliminację Gaussa-Jordana:

1. Zamień wiersze tak, aby wszystkie wiersze ze wszystkimi wpisami zerowymi znajdowały się na dole
2. Zamień wiersze tak, aby wiersz z największym, niezerowym wpisem po lewej stronie był na górze.
3. pomnóż górny wiersz przez Skalar, tak aby początkowy wpis w górnym wierszu stał się 1.
4. Dodaj / odejmuj wielokrotności górnego wiersza do innych wierszy, tak aby wszystkie pozostałe pozycje w kolumnie zawierającej początkowy wiersz były zerowe.,
5. powtórz kroki 2-4 dla następnego niezerowego wpisu po lewej, aż wszystkie początkowe wpisy będą równe 1.
6. Zamień wiersze tak, aby początkowy wpis każdego niezerowego wiersza znajdował się na prawo od początkowego wpisu wiersza nad nim.,

wybrane przykłady wideo przedstawiono poniżej:

• eliminacja Gaussa-Jordana – Jonathan Mitchell (YouTube)
• zastosowanie Gaussa-Jordana do rozwiązania układu trzech równań liniowych – przykład 1 – patrickJMT (YouTube)
• Algebra – Macierze – metoda Gaussa Jordana Część 1 macierz Rozszerzona – IntuitiveMath (YouTube)
• eliminacja Gaussa – patrickJMT (YouTube)

aby uzyskać odwrotność macierzy N × N A :