w matematyce symbol kwadratu (2) jest operatorem arytmetycznym, który oznacza mnożenie liczby przez siebie. „Kwadrat” liczby jest iloczynem Liczby i jej samej. Mnożenie liczby przez siebie nazywa się” kwadratem ” liczby. Kwadratura liczby jest bardziej specyficznym przykładem ogólnej operacji wykładniczej, wykładniczej, gdy wykładnik wynosi 2. Kwadratura liczby jest taka sama jak podniesienie tej liczby do potęgi dwóch. Funkcja kwadratowa (ƒ (x)=X2) jest odwrotnością funkcji pierwiastka kwadratowego (ƒ(x)=√X).,
podniesienie liczby n do potęgi 2 nazywa się „kwadratem”, ponieważ otrzymana liczba n2 odpowiada obszarowi kwadratu o bokach długości N. funkcja kwadratowa jest niezwykle użyteczną funkcją w algebrze, trygonometrii i fizyce. W algebrze funkcja kwadratowa stanowi podstawę niektórych najprostszych rodzajów wielomianów (kwadratów). W trygonometrii funkcja kwadratowa służy do znajdowania odpowiednich kątów i długości boków trójkątów przystających, co jest użytecznym pojęciem do modelowania zjawisk okresowych., W fizyce funkcja kwadratowa może być używana do obliczania odległości między dwoma punktami (w formie twierdzenia Pitagorasa), a modelowane zjawiska często przyjmują matematyczną formę funkcji kwadratowej, w szczególności równań obejmujących prędkość i przyspieszenie.
Kwadratura: podstawy
Kwadratura liczby jest prosta: wystarczy pomnożyć liczbę przez siebie: symbol 32 oznacza po prostu 3×3., Ogólnie rzecz biorąc, dla dowolnej liczby n:
N2 = n × n
ponadto funkcja kwadratowa ma interesującą właściwość, że wprowadzenie addytywnej odwrotności n da ci tę samą liczbę: to jest:
N2 = (−N)2
ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia jest kwadratem o dokładnie dwie liczby: dodatnia i ujemna. 4 jest kwadratem zarówno 2, jak i -2. Liczba, która jest kwadratem liczby całkowitej, nazywana jest kwadratem doskonałym., Ogólnie rzecz biorąc, im dalej w dół biegnie linia liczbowa, tym dalej i dalej rozkłada się kwadraty. Tendencja ta wynika z tego, że funkcja kwadratowa rośnie wykładniczo, tzn. jej tempo wzrostu jest proporcjonalne do jego aktualnej wartości.
odwrotnością funkcji kwadratowej jest funkcja pierwiastka kwadratowego ƒ(x) = √X. pierwiastek kwadratowy liczby n jest dowolnym A takim, że a2 = n. ponieważ zarówno Liczba, jak i jej addytywny odwrotny kwadrat, aby uzyskać ten sam wynik, każda dodatnia liczba rzeczywista ma dokładnie 2 korzenie +√X i – √x, czasami wyrażane jako ±√x., W większości przypadków „pierwiastek kwadratowy” liczby odnosi się tylko do jej dodatniego pierwiastka. Szczególna definicja funkcji pierwiastka kwadratowego sprawia, że żadna ujemna liczba rzeczywista nie ma pierwiastka kwadratowego, ponieważ żadna liczba pomnożona przez siebie nie da liczby ujemnej. Liczby ujemne mają pierwiastki kwadratowe w złożonym systemie liczbowym, ale nie w systemie liczb rzeczywistych.
wykres funkcji x2 wygląda następująco:
zauważ, jak wykres jest idealnie odzwierciedlony wzdłuż pionowej osi Y., Kształt grafu odpowiada temu, że każda dodatnia liczba rzeczywista jest kwadratem zarówno liczby dodatniej ,jak i ujemnej (z wyjątkiem zera). Jako takie jest możliwe, że funkcja w ogólnej postaci funkcji kwadratowej nie będzie miała żadnych korzeni—nie ma n takich, że ƒ (n) = 0. Wizualnie oznacza to, że niektóre funkcje kwadratowe nigdy nie przekroczą osi X.
zastosowanie funkcji kwadratowej
Algebra
funkcja kwadratowa stanowi podstawę specjalnej klasy równań wielomianowych zwanych równaniami kwadratowymi., Wielomian kwadratowy stopnia 2: czyli dowolny wielomian w postaci:
ax2 + bx + c
gdzie A, b I c są liczbami rzeczywistymi i A≠0. pojęcia a, b I c nazywane są odpowiednio współczynnikami kwadratowymi, liniowymi i stałymi. Równania kwadratowe można obliczyć, aby znaleźć ich korzenie-wartości x, dla których całe równanie jest równe 0., Alternatywnie, można użyć równania kwadratowego do rozwiązania dla korzeni wielomianu kwadratowego:
Równania kwadratowe są przydatne do modelowania ruchu, ponieważ krzywa przyspieszonego ruchu przyjmuje postać krzywej kwadratowej. Jeśli jakiś ruch ma stałą prędkość przyspieszenia, to Wykres jego ruchu będzie równaniem kwadratowym. Geometryczny kształt funkcji kwadratowej nazywany jest parabolą.
Geometria
funkcja kwadratowa ma wiele zastosowań w geometrii. Najbardziej oczywiście, funkcja kwadratowa może być używana do znalezienia obszaru kwadratów., Powszechnie wiadomo, że powierzchnia kwadratu o bokach długości n jest równa n2. Wynika to z równania dla obszaru prostokąta (i ogólniej paralelogramów), gdzie A = l×w. kwadrat to po prostu prostokąt, w którym długość i szerokość są takie same. Fakt, że powierzchnia kwadratu jest funkcją kwadratową wyjaśnia właściwość o przyroście powierzchni kwadratu: powierzchnia kwadratu, którego długość jest n razy dłuższa, ma n2 więcej powierzchni.
Kwadratura jest również używana do znajdowania odległości między dwoma punktami w kontekście twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że kwadrat boków trójkąta prostego (trójkąt o kącie 90°) jest równy Kwadratowi przeciwprostokątnej (a2+b2=c2). Wzór ten może być użyty do obliczenia odległości między punktem początkowym osi współrzędnych (0, 0) i dowolnym dowolnym punktem (x, y). Można narysować linię rozciągającą się od punktu początkowego jednostek X poziomo, a następnie linię rozciągającą się od tego punktu jednostek y pionowo., Narysowany kształt będzie trójkątem prostym, a odległość między początkiem (0, 0) i punktem (X, y) może być obliczona jako przeciwprostokątna trójkąta prostego o bokach X i y.
Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego prawa równoległoboku, które odnosi się do długości boków równoległoboku do jego przekątnych: prawo równoległoboku stwierdza, że suma kwadratu długości długości czterech boków jest równa sumie kwadratu przekątnych. Powiedzmy, że mamy równoległobok o bokach AB, BC, CD i DA oraz przekątnych AC i BD., Prawo równoległoboku mówi nam, że:
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2
ponieważ w równoległoboku, przeciwległe boki są z definicji równe długości, równanie to można po prostu przepisać jako:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
twierdzenie Pitagorasa wypada z tego równania w przypadku prostokąta, gdzie przekątne są równe długości.
Trygonometria
Kwadratura pojawia się również w prawie dotyczącym długości boków trójkąta do jego kątów, w postaci prawa cosinusów., Mówiąc najprościej, prawo cosinusa mówi, że dla trójkąta o długościach a, b i c i przeciwstawnych kątach A, B i C:
c2= a2 + b2-2ab×cos (C)
prawo cosinusa może być przepisane, aby rozwiązać dla każdej zmiennej dając równanie o dokładnie tej samej postaci, więc to samo równanie będzie działać dla każdej strony. Prawo cosinusów pozwala wyznaczyć pozostałe składniki trójkąta, jeśli znasz długość przynajmniej dwóch boków i jednego kąta. Równanie upraszcza również twierdzenie Pitagorasa w przypadku trójkątów prostych. W przypadku trójkątów prostych ∠C = 90, więc cos(C) = 0., Prawa część równania anuluje się, a my pozostajemy z c2= a2 + b2
w fizyce
w fizyce funkcja kwadratowa często podnosi swoją głowę w kontekście równań opisując intensywność pewnej ilości fizycznej jako funkcję odległości. Ze względu na trójwymiarową geometrię przestrzeni natężenie dowolnej ilości fizycznej promieniującej Na zewnątrz w kuli wokół źródła jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła., Fakt ten wynika z prawa geometrycznego, że pole powierzchni kuli (4nr2) jest wprost proporcjonalne do promienia kwadratowego (r2) kuli.
na przykład siła grawitacji jest odwrotną siłą kwadratową, ponieważ siła przyciągania grawitacyjnego między dwoma ciałami jest wprost proporcjonalna do masy tych ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między tymi ciałami., Jest to widoczne w matematycznej formie prawa grawitacji Newtona
Fg = G(M1×M2)/d2
gdzie M1 i m2 to masy ciał, A d to odległość między ich ośrodkami ciężkości. Nawiasem mówiąc, Siła przyciągania elektrostatycznego między dwoma ciałami przybiera również formę odwrotnego prawa kwadratowego, a także mierzonego natężenia światła mierzonego ze źródła punktowego.
notacja kwadratowa jest również używana do definiowania jednostek miar w fizyce. Na przykład przyspieszenie, szybkość zmiany prędkości, jest mierzona w jednostce m / s2., Można to odczytać jako ” metry na sekundę na sekundę.”Jeśli prędkość jest zmianą odległości w odniesieniu do czasu, to przyspieszenie jest zmianą prędkości w odniesieniu do czasu. Przyspieszenie jest miarą tego, jak duża prędkość zmienia się w każdym punkcie ruchu. Jeśli moje przyspieszenie wynosi 6 m / s2, oznacza to, że moja prędkość (m/s) wzrasta o 6 na każdą sekundę ruchu, a więc metrów na sekundę na sekundę.