Algebra fără margini

obiective de învățare

discutați proprietățile diferitelor tipuri de secțiuni conice

Takeaways cheie

puncte cheie

• Secțiunile conice sunt un anumit tip de formă formată prin intersecția unui plan și a unui con circular drept. În funcție de unghiul dintre Plan și Con, se pot forma patru forme diferite de intersecție.
• tipurile de secțiuni conice sunt cercuri, elipse, hiperbole și parabole.
• fiecare secțiune conică are, de asemenea, o formă degenerată; acestea iau forma punctelor și liniilor.,

termeni cheie

• degenerat: o secțiune conică care nu se potrivește cu forma standard a ecuației.
• asimptote: o linie pe care o funcție sau o formă curbată se apropie, dar nu o atinge niciodată.
• hiperbola: secțiunea conică formată de planul perpendicular pe baza conului.
• focus: un punct departe de o linie curbată, în jurul căreia curba se îndoaie.
• cerc: secțiunea conică formată de planul paralel cu baza conului.
• elipsă: secțiunea conică formată de planul fiind la un unghi față de baza conului.,
• excentricitate: un parametru fără dimensiuni care caracterizează forma unei secțiuni conice.
• Parabola: secțiunea conică formată de planul paralel cu conul.
• vertex: punctul de cotitură al unei forme curbate.secțiunile conice sunt un tip particular de formă format prin intersecția unui plan și a unui con circular drept. În funcție de unghiul dintre Plan și Con, se pot forma patru forme diferite de intersecție. Fiecare formă are și o formă degenerată., Acolo este o proprietate toate secțiunile conice numită excentricitate, care ia forma unui parametru numeric e. Cele patru secțiune conică forme, fiecare avea valori diferite de e.
  

  Tipuri de sectiuni conice: Această figură arată modul în care secțiunile conice, în lumina albastră, sunt rezultatul unui avion care se intersectează un con. Imaginea 1 prezintă o parabolă, imaginea 2 arată un cerc (jos) și o elipsă (sus), iar imaginea 3 arată o hiperbolă.,o parabolă se formează atunci când planul este paralel cu suprafața conului, rezultând o curbă în formă de U care se află pe plan. Fiecare parabolă are anumite caracteristici:

  • Un nod, care este punctul în care curba se întoarce
  • Un accent, care este un punct nu pe curba despre care curba curbe
  • O axă de simetrie, care este o linie care leagă nodul și accentul care se împarte curba în două jumătăți egale

  Toate parabole posedă o excentricitate valoarea e=1., Ca rezultat direct al aceleiași excentricități, toate parabolele sunt similare, ceea ce înseamnă că orice parabolă poate fi transformată în oricare alta cu o schimbare de poziție și scalare. Cazul degenerat al unei parabole este atunci când planul abia atinge suprafața exterioară a conului, ceea ce înseamnă că este tangent la con. Acest lucru creează o intersecție linie dreaptă din diagonala conului.parabolele nedegenerate pot fi reprezentate cu funcții patratice, cum ar fi

  f(x) = x^2

  cerc

  un cerc este format atunci când planul este paralel cu baza conului., Intersecția sa cu conul este, prin urmare, un set de puncte echidistante față de un punct comun (axa centrală a conului), care îndeplinește definiția unui cerc. Toate cercurile au anumite caracteristici:

  • un punct central
  • o rază, care Distanța de la orice punct al cercului la punctul central

  toate cercurile au o excentricitate e=0. Astfel, ca și parabola, toate cercurile sunt similare și pot fi transformate unul în altul., Pe un plan de coordonate, forma generală a ecuației cercului este

  (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

  unde (h,k) sunt coordonatele centrului cercului, iar r este raza.forma degenerată a cercului apare atunci când planul intersectează doar vârful conului. Aceasta este o intersecție cu un singur punct sau echivalent un cerc cu rază zero.

  

  secțiunile Conice grafic de excentricitate: Acest grafic arată o elipsă în roșu, cu un exemplu excentricitate valoarea de 0.,5, o parabolă în verde cu excentricitatea necesară de 1 și o hiperbolă în albastru cu un exemplu de excentricitate de 2. De asemenea, arată unul dintre cazurile de hiperbolă degenerată, linia neagră dreaptă, corespunzătoare excentricității infinite. Cercul se află în interiorul parabolei, care se află în interiorul unei părți a hiperbolei, care are linia orizontală sub ea. În acest fel, excentricitatea crescândă poate fi identificată cu un fel de desfășurare sau deschidere a secțiunii conice.,când unghiul planului față de con este între suprafața exterioară a conului și baza conului, intersecția rezultată este o elipsă. Definiția unei elipse include fiind paralel cu baza conului, de asemenea, astfel încât toate cercurile sunt un caz special al elipsei., Elipsele au aceste caracteristici:

  • O axă majoră, care este cel mai lung lățime peste elipsă
  • axa mică, care este cel mai scurt lățime peste elipsă
  • Un centru, care este intersecția a două axe
  • Două puncte focale —pentru orice punct de pe elipsă, suma distanțelor la ambele puncte focale este o constantă

  Elipse poate avea o serie de excentricitate valori: 0 \leq e < 1. Observați că valoarea 0 este inclusă (un cerc), dar valoarea 1 nu este inclusă (care ar fi o parabolă)., Deoarece există o gamă de valori de excentricitate, nu toate elipsele sunt similare. Forma generală a ecuației unei elipse cu axa paralelă cu axa x este:

  \displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }

  degenerat formă de elipsă este un punct sau un cerc de raza zero, la fel cum a fost pentru cerc.o hiperbolă se formează atunci când planul este paralel cu axa centrală a conului, ceea ce înseamnă că intersectează ambele părți ale conului dublu.,nches, precum și aceste caracteristici:

  • Asimptotă linii—acestea sunt două graficele liniare care curba de hiperbolă se apropie, dar nu atinge niciodată
  • Un centru, care este intersecția asimptote
  • Două puncte focale, în jurul căreia fiecare din cele două ramuri se aplece
  • Două noduri, unul pentru fiecare ramură

  ecuația generală pentru o hiperbolă cu vârfuri pe o linie orizontală este:

  \displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }

  excentricitatea de o hiperbolă este limitată la e > 1, și nu are limită superioară., Dacă excentricitatea este permisă să meargă la limita + \ infty( infinit pozitiv), hiperbola devine unul dintre cazurile sale degenerate—o linie dreaptă. Celălalt caz degenerat pentru o hiperbolă este să devină cele două asimptote drepte. Acest lucru se întâmplă atunci când planul intersectează vârful conului dublu.

  Lasă un răspuns Anulează răspunsul

  Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

  Comment

  Name*

  Email*

  Website

  Save my name, email, and site URL in my browser for next time I post a comment.