ce este FEA / analiza cu element finit?

analiza elementelor Finite (FEA) este simularea oricărui fenomen fizic dat folosind tehnica numerică numită metoda elementelor Finite (fem). Inginerii folosesc software-ul FEA pentru a reduce numărul de prototipuri fizice și experimente și pentru a optimiza componentele în faza de proiectare pentru a dezvolta produse mai bune, mai rapid, economisind în același timp cheltuieli.,este necesar să se utilizeze matematica pentru a înțelege și cuantifica în mod cuprinzător orice fenomen fizic, cum ar fi comportamentul structural sau fluid, transportul termic, propagarea undelor, creșterea celulelor biologice etc. Majoritatea acestor procese sunt descrise folosind ecuații diferențiale parțiale (PDEs). Cu toate acestea, pentru ca un computer să rezolve aceste PDEs, tehnicile numerice au fost dezvoltate în ultimele decenii și una dintre cele proeminente, astăzi, este analiza cu element finit.,ecuațiile diferențiale nu descriu doar fenomene naturale, ci și fenomene fizice întâlnite în mecanica inginerească. Aceste ecuații diferențiale parțiale (PDEs) sunt ecuații complicate care trebuie rezolvate pentru a calcula cantitățile relevante ale unei structuri (cum ar fi tensiunile (\(\epsilon\)), tulpinile (\(\epsilon\)) etc.) pentru a estima comportamentul structural sub o sarcină dată. Este important să știți că FEA oferă doar o soluție aproximativă a problemei și este o abordare numerică pentru a obține rezultatul real al acestor ecuații diferențiale parțiale., Simplificată, FEA este o metodă numerică utilizată pentru predicția modului în care o parte sau ansamblu se comportă în condiții date. Este folosit ca bază pentru software-ul modern de simulare și ajută inginerii să găsească puncte slabe, zone de tensiune etc. în desenele lor. Rezultatele unei simulări bazate pe metoda FEA sunt de obicei descrise printr-o scală de culori care arată, de exemplu, distribuția presiunii asupra obiectului.

în Funcție de perspectiva, FEA se poate spune că au originea în lucrarea lui Euler, din secolul al 16-lea., Cu toate acestea, cele mai vechi lucrări matematice privind analiza elementelor Finite pot fi găsite în lucrările lui Schellbach și Courant .FEA a fost dezvoltat independent de ingineri din diferite industrii pentru a aborda problemele de mecanică structurală legate de industria aerospațială și de inginerie civilă. Dezvoltarea de aplicații din viața reală a început în jurul valorii de la mijlocul anilor 1950, ca acte de Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris , și Babuska & Aziz show., Cărțile de Zienkiewicz și Strang & Repara, de asemenea, a pus bazele viitoarei evoluții în software FEA.

Divide și Cuceri

Pentru a fi în măsură să facă simulări, o plasă, constând din până la milioane de mici elemente care împreună formează structura, trebuie să fie creat., Calculele sunt făcute pentru fiecare element. Combinarea rezultatelor individuale ne oferă rezultatul final al structurii. Aproximările pe care tocmai le-am menționat sunt de obicei polinomiale și, de fapt, interpolări asupra elementului(elementelor). Aceasta înseamnă că cunoaștem valori în anumite puncte din element, dar nu în fiecare punct. Aceste „anumite puncte” sunt numite puncte nodale și sunt adesea situate la limita elementului. Precizia cu care variabila se schimbă este exprimată printr-o anumită aproximare pentru ex. liniar, patratic, cubic etc., Pentru a obține o mai bună înțelegere a tehnicilor de aproximare, ne vom uita la o bară unidimensională. Ia în considerare adevărat distribuție de temperatură T(x) de-a lungul barei în imaginea de mai jos:

Să presupunem că știm că temperatura de acest bar la 5 poziții specifice (Numere 1-5 în ilustrație)., Acum întrebarea este: cum putem prezice temperatura între aceste puncte? O aproximare liniară este destul de bună, dar există posibilități mai bune de a reprezenta distribuția reală a temperaturii. Dacă alegem o aproximare pătrată, distribuția temperaturii de-a lungul barei este mult mai lină. Cu toate acestea, vedem că, indiferent de gradul polinomial, distribuția pe tijă este cunoscută odată ce cunoaștem valorile la punctele nodale. Dacă am avea o bară infinită, am avea o cantitate infinită de necunoscute (grade de libertate (DOF))., Dar în acest caz, avem o problemă cu un număr „finit” de necunoscute:

un sistem cu un număr finit de necunoscute se numește un sistem discret. Un sistem cu un număr infinit de necunoscute se numește un sistem continuu.

în scopul de aproximări putem găsi următoarea relație pentru un câmp cantitate \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag-ul{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag-ul{2}$$

linia ilustrat în partea de sus arată acest principiu pentru un 1D problema., \(u\) poate reprezenta temperatura de-a lungul lungimii unei tije care este încălzită într-un mod neuniform. În cazul nostru, există patru elemente de-a lungul axei x, unde funcția definește aproximarea liniară a temperaturii ilustrată de puncte de-a lungul liniei.unul dintre cele mai mari avantaje pe care le avem atunci când folosim analiza elementelor Finite este că putem fie să modificăm discretizarea pe element, fie să discretizăm funcțiile de bază corespunzătoare. De facto, am putea folosi elemente mai mici în regiunile în care se așteaptă gradienți mari de \(u\)., În scopul modelării abruptului funcției trebuie să facem aproximări.

ecuații diferențiale parțiale

înainte de a continua cu FEA în sine, este important să înțelegeți diferitele tipuri de PDE și adecvarea lor pentru FEA. Înțelegerea acestui lucru este importantă pentru toată lumea, indiferent de motivația cuiva de a utiliza analiza cu element finit. Unul ar trebui să reamintească în mod constant că software-ul FEA este un instrument și orice instrument este la fel de bun ca și utilizatorul său.,PDE-urile pot fi clasificate ca eliptice (sunt destul de netede), hiperbolice (soluții de suport cu discontinuități) și parabolice (descriu probleme de difuzie dependente de timp). La rezolvarea acestor ecuații diferențiale trebuie furnizate limite și/sau condiții inițiale. Pe baza tipului de PDE, pot fi evaluate intrările necesare. Exemple pentru PDE din fiecare categorie includ ecuația Poisson (eliptică), ecuația undelor (hiperbolică) și Legea Fourier (parabolică).,

Există două abordări principale pentru rezolvarea problemelor eliptice PDE e – Diferență Finită de Analiză (FDA) si Variationale (sau Energie) Metode. FEA se încadrează în a doua categorie de metode variaționale. Abordările variaționale se bazează în primul rând pe filosofia minimizării energiei.PDE hiperbolice sunt frecvent asociate cu salturi în soluții., Ecuația valurilor, de exemplu, este un PDE hiperbolic. Din cauza existenței unor discontinuități (sau sare) în soluții, în original FEA tehnologie (sau Bubnov-Metoda Galerkin) a fost considerat a fi nepotrivit pentru rezolvarea hiperbolic PDE lui. Cu toate acestea, de-a lungul anilor, modificările au fost dezvoltate pentru a extinde aplicabilitatea FEA software-ul și tehnologia.este important să se ia în considerare consecința utilizării unui cadru numeric care nu este potrivit pentru tipul de PDE ales. O astfel de utilizare duce la soluții cunoscute sub numele de „pozate necorespunzător”., Acest lucru ar putea însemna că mici modificări ale parametrilor domeniului duc la oscilații mari în soluții sau soluțiile există doar pe o anumită parte a domeniului sau a timpului. Acestea nu sunt de încredere. Soluțiile bine poziționate sunt definite cu unul unic, care există continuu pentru datele definite. Prin urmare, având în vedere fiabilitatea, este extrem de important să le obținem.

formularea slabă și puternică

modelele matematice de conducere a căldurii și elastostatice acoperite în această serie constau în ecuații diferențiale (parțiale) cu condiții inițiale, precum și cu condiții limită., Aceasta este denumită și așa-numita formă puternică a problemei. Câteva exemple de „forme puternice” sunt prezentate în ilustrația de mai jos:

ecuațiile diferențiale parțiale de ordinul doi necesită un grad ridicat de netezime pentru soluția \(u(x)\). Asta înseamnă că al doilea derivat al deplasării trebuie să existe și trebuie să fie continuu! Acest lucru implică, de asemenea, cerințe pentru parametrii care nu pot fi influențați ca geometria (muchii ascuțite) și parametrii materialului (modul diferit într-un material).,pentru a dezvolta formularea elementului finit, ecuațiile diferențiale parțiale trebuie retratate într-o formă integrală numită forma slabă. Forma slabă și forma puternică sunt echivalente! În analiza stresului, forma slabă se numește principiul muncii virtuale.

$$\int^l_0\frac{dw}{dx}AE\frac{du}{dx}dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \pentrutoate w~cu ~w(l)=0 \tag-ul{3}$$

ecuația dată este așa-numita formă slabă (în acest caz slab formulare pentru elastostatics)., Numele afirmă că soluțiile la forma slabă nu trebuie să fie la fel de netede ca soluțiile formei puternice, ceea ce implică cerințe de continuitate mai slabe.trebuie să țineți cont de faptul că soluția care satisface forma slabă este, de asemenea, soluția contrapartidei puternice a ecuației. De asemenea, rețineți că soluțiile de încercare \(u(x)\) trebuie să îndeplinească condițiile de limită de deplasare. Aceasta este o proprietate esențială a soluțiilor de încercare și de aceea numim aceste condiții limită condiții esențiale de graniță.

aceste formulări vă interesează?, Dacă da, vă rugăm să citiți mai multe în Subiectul forumului despre echivalența dintre formularea slabă și puternică a PDEs pentru FEA.

energie potențială minimă

analiza cu element finit poate fi executată și cu principiul variației. În cazul elastostaticelor unidimensionale, minimul de energie potențială este rezistent pentru sistemele conservatoare. Poziția de echilibru este stabilă dacă energia potențială a sistemului \(\Pi\) este minimă. Fiecare perturbare infinitezimală a poziției stabile duce la o stare nefavorabilă energetică și implică o reacție de restabilire., Un exemplu simplu este o sticlă normală de sticlă care stă pe pământ, unde are energie potențială minimă. Dacă cade, nu se va întâmpla nimic, cu excepția unui zgomot puternic. Dacă stă pe colțul unei mese și cade pe pământ, este destul de probabil să se rupă, deoarece transportă mai multă energie spre pământ. Pentru principiul variației, folosim acest fapt. Cu cât nivelul de energie este mai scăzut, cu atât este mai puțin probabil să obțineți soluția greșită., Total potențial energetic \(\Pi\) a unui sistem constă în activitatea de forțele interioare (energia de deformare)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)Un(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon O(x)} dx \tag-ul{4}$$

și activitatea de forțe externe

$$A_a = O(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t_} \tag-ul{5}$$

energia totală este:

$$\Pi = A_i – A_a \tag-ul{6}$$

afla mai multe despre minimul energiei potențiale în noastre legate de subiect de forum.,una dintre problemele cele mai trecute cu vederea în mecanica computațională care afectează precizia este convergența ochiurilor de plasă. Acest lucru este legat de cât de mici trebuie să fie elementele pentru a se asigura că rezultatele unei analize nu sunt afectate de modificarea dimensiunii ochiului de plasă.

figura De mai sus arată o convergență de o cantitate cu o creștere în grade de libertate. După cum este descris în figură, este important să se identifice mai întâi cantitatea de interes. Trebuie luate în considerare cel puțin trei puncte și, pe măsură ce densitatea ochiurilor crește, cantitatea de interes începe să se convertească la o anumită valoare. Dacă două rafinări ulterioare ale ochiurilor de plasă nu modifică substanțial rezultatul, atunci se poate presupune că rezultatul a fost convergent.,

de a intra în problema de plasă de rafinament, nu este întotdeauna necesar ca ochiurilor de plasă în întregul model este rafinat. Principiul St. Venant impune ca stresul local într-o regiune nu afectează stresul în altă parte. Prin urmare, din punct de vedere fizic, modelul poate fi rafinat numai în anumite regiuni de interes și are în continuare o zonă de tranziție de la grosier la plasă fină., Există două tipuri de rafinamente (h – și p-rafinament) așa cum se arată în figura de mai sus. h-rafinament se referă la reducerea dimensiunilor elementului, în timp ce p-rafinament se referă la creșterea ordinii elementului.aici este important să se facă distincția între efectul geometric și convergența ochiurilor, mai ales atunci când ochiurile unei suprafețe curbate folosind elemente drepte (sau liniare) vor necesita mai multe elemente (sau rafinarea ochiurilor) pentru a capta exact limita., Plasă de rafinament duce la o reducere semnificativă a erorilor:

rafinarea ca aceasta poate permite o creștere a convergenței soluțiilor fără a crește dimensiunea problemei globale rezolvate.

cum se măsoară convergența?,deci, acum că importanța convergenței a fost discutată, cum poate fi măsurată convergența? Ce este o măsură cantitativă pentru convergență? Prima modalitate ar fi compararea cu soluțiile analitice sau rezultatele experimentale.

eroare a deplasărilor:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

unde \(u\) este soluția analitică pentru câmpul de deplasare.

eroare a tulpinilor:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^H \tag{8}$$

unde \(\epsilon\) este soluția analitică pentru câmpul de tulpină.,

eroare a tensiunilor:

$$e_\sigma = \sigma – \sigma^H \tag{9}$$

unde \(\sigma\) este soluția analitică pentru câmpul de stres.după cum se arată în ecuațiile de mai sus, mai multe erori pot fi definite pentru deplasări, tulpini și tensiuni. Aceste erori ar putea fi utilizate pentru comparație și ar trebui să se reducă cu rafinarea ochiurilor. Aflați mai multe despre modul în care aceste erori sunt calculate cu normele respective pentru aceste cantități aici.,

Analiza cu Element Finit Software

Analiza cu Element Finit a început cu semnificative promisiune în modelare mai multe aplicații mecanice legate de industria aerospațială și de inginerie civilă. Aplicațiile metodei elementelor Finite abia încep să-și atingă potențialul., Una dintre cele mai interesante perspective este potrivită pentru a cuplat probleme cum ar fi fluid-structură de interacțiune; termo-mecanice, termo-chimice, termo-chemoterapie-probleme mecanice piezoelectric, feroelectrice, electromagnetice și alte domenii relevante:

Static

Cu analiza statica, puteți analiza liniară statică și neliniare cvasi-static structuri. Într-un caz liniar cu o sarcină statică aplicată, este necesară doar o singură etapă pentru a determina răspunsul structural. Pot fi luate în considerare neliniaritatea geometrică, de contact și materială. Un exemplu este un suport de rulment al unui pod.,analiza dinamică vă ajută să analizați răspunsul dinamic al unei structuri care a experimentat sarcini dinamice într-un anumit interval de timp. Pentru a modela problemele structurale într-un mod realist, puteți analiza, de asemenea, impactul sarcinilor, precum și deplasările. Un exemplu este impactul unui craniu uman, cu sau fără cască.

Modal

Eigenfrecvențele și modurile proprii ale unei structuri datorate vibrațiilor pot fi simulate folosind analiza modală. Răspunsul de vârf al unei structuri sau sistem sub o sarcină dată poate fi simulat cu analiza armonică., Un exemplu este pornirea unui motor.după cum sa discutat mai devreme în secțiunea privind PDEs, tehnologia tradițională FEM a demonstrat deficiențe în modelarea problemelor legate de mecanica fluidelor, propagarea undelor etc. În ultimele două decenii au fost făcute mai multe îmbunătățiri pentru a îmbunătăți procesul de soluționare și a extinde aplicabilitatea analizei cu elemente finite la un gen larg de probleme., Unele dintre cele mai importante încă utilizate includ:

Extended Finite Element Method (Xfem)

metoda Bubnov-Galerkin necesită continuitatea deplasărilor între elemente. Cu toate acestea, probleme precum contactul, fractura și deteriorarea implică discontinuități și salturi care nu pot fi tratate direct prin metode cu elemente Finite. Pentru a depăși acest neajuns, XFEM s-a născut în 1990. XFEM funcționează prin extinderea formei funcții cu Heaviside pas funcții., Gradele suplimentare de libertate sunt atribuite nodurilor din jurul punctului de discontinuitate, astfel încât salturile să poată fi luate în considerare.

Generalizat Metoda Elementului Finit (GFEM)

GFEM a fost introdus în jurul același timp, ca XFEM în anii ’90. Acesta combină caracteristicile tradiționale FEM software și meshless metode. Funcțiile de formă sunt definite în principal în coordonatele globale și înmulțite în continuare prin partiție-de-unitate pentru a crea funcții locale de formă elementară. Unul dintre avantajele GFEM este prevenirea re-discretizării în jurul singularităților.,

metoda elementelor finite mixte

în mai multe probleme, cum ar fi contactul sau incompresibilitatea, constrângerile sunt impuse folosind multiplicatori Lagrange. Aceste grade suplimentare de libertate care decurg din multiplicatorii Lagrange sunt rezolvate independent. Ecuațiile sunt rezolvate ca un sistem cuplat.hp-FEM este o combinație de utilizare a rafinării automate a ochiurilor de plasă (rafinare h) și creștere în ordinea polinomului (rafinare p). Acest lucru nu este același lucru cu a face h – și p – rafinamente separat., Atunci când se utilizează automat hp-rafinament, și un element este împărțit în elemente mai mici (h-rafinament), fiecare element poate avea diferite ordine polinomiale, de asemenea.

metoda elementului finit Galerkin discontinuă (DG-FEM)

DG-FEM a arătat o promisiune semnificativă pentru utilizarea ideii elementelor Finite pentru rezolvarea ecuațiilor hiperbolice în care metodele tradiționale de elemente Finite au fost slabe. În plus, a arătat, de asemenea, promisiune în problemele de îndoire și incompresibile care sunt frecvent observate în majoritatea proceselor materiale., Aici se adaugă constrângeri suplimentare la forma slabă care include un parametru de penalizare (pentru a preveni întrepătrunderea) și termeni pentru alte echilibre ale tensiunilor dintre elemente.

Analiza cu Element Finit & SimScale

FEA componentă software de SimScale vă permite să vă testa practic și prezice comportamentul structurilor și, prin urmare, de a rezolva complexe inginerie structurală probleme supuse statice și dinamice în condiții de încărcare., Platforma de simulare FEA utilizează metode numerice scalabile care pot calcula expresii matematice care altfel ar fi foarte dificile datorită încărcării complexe, geometriilor sau proprietăților materialelor.

Ultima actualizare: 20 ianuarie 2021