în matematică, simbolul pătrat (2) este un operator aritmetic care semnifică înmulțirea unui număr de la sine. „Pătratul” unui număr este produsul numărului și al acestuia. Înmulțirea unui număr de la sine se numește” pătrat ” numărul. Pătratul unui număr este o instanță mai specifică a operației generale de exponențiere, exponențiere atunci când exponentul este 2. Pătratul unui număr este același cu ridicarea acelui număr la puterea a doi. Funcția pătrată (ƒ(x) = x2) este inversul funcției rădăcinii pătrate (ƒ(x)=√x).,ridicarea unui număr n la puterea lui 2 se numește „pătrat”, deoarece numărul rezultat n2 corespunde zonei unui pătrat cu laturile lungimii n. funcția pătrată este o funcție extrem de utilă în algebră, trigonometrie și fizică. În algebră, funcția pătrată formează coloana vertebrală a unor tipuri simple de polinoame (quadratics). În trigonometrie, funcția pătrată este utilizată pentru a găsi unghiurile corespunzătoare și lungimile laterale ale triunghiurilor congruente, un concept util pentru modelarea fenomenelor periodice., În fizică, funcția pătrată poate fi utilizată pentru a calcula distanțele dintre două puncte (sub forma teoremei lui Pitagora), iar fenomenele modelate iau adesea forma matematică a unei funcții pătrate, în special ecuațiile care implică viteză și accelerație.
Cuadratura: elementele de bază
Cuadratura un număr este simplu: doar înmulțiți numărul de la sine: simbolul 32 înseamnă doar 3×3., În general, pentru orice număr n:
n2 = n × n
Mai mult, piața funcția are o proprietate interesantă că punerea în aditiv inversul lui n va oferi același număr: care este:
n2 = (−n)2
Strict vorbind, fiecare număr pozitiv este pătrat de exact două numere, un pozitiv și un număr negativ. 4 este pătratul ambelor 2 și -2. Un număr care este pătratul unui număr întreg se numește pătrat perfect., În general, cu cât mai jos linia de numere merge, cu atât mai departe și mai departe se răspândește distribuția pătratelor perfecte. Această tendință se datorează faptului că funcția pătrată crește exponențial; adică rata sa de creștere este proporțională cu valoarea sa actuală.inversul funcției pătrate este funcția rădăcină pătrată ƒ (x) = √x. rădăcina pătrată a unui număr n este orice astfel încât a2 = n.deoarece atât un număr cât și pătratul său aditiv invers pentru a obține același rezultat, fiecare număr real pozitiv are exact 2 rădăcini +√x și −√X, uneori exprimate ca ±√x., În majoritatea contextului, „rădăcina pătrată” a unui număr se referă doar la rădăcina sa pozitivă. Definiția particulară a funcției rădăcină pătrată face ca niciun număr real negativ să nu aibă o rădăcină pătrată, deoarece niciun număr înmulțit de el însuși nu va produce un număr negativ. Numerele Negative au rădăcini pătrate în sistemul de numere complexe, dar nu și în sistemul de numere reale.
Un grafic al funcției x2 arata ca:
Observați cum grafic este perfect reflectat de-a lungul verticală y-axis., Forma graficului corespunde faptului că fiecare număr real pozitiv este pătratul unui număr pozitiv și negativ (cu excepția zero). Ca atare, este posibil ca o funcție în forma generală a funcției pătrate să nu aibă rădăcini—nu există n astfel încât ƒ(n) = 0. Din punct de vedere vizual, aceasta înseamnă că unele funcții pătrate nu vor traversa niciodată axa X.
utilizarea funcției pătrate
algebră
funcția pătrată formează coloana vertebrală a unei clase speciale de ecuații polinomiale numite ecuații patratice., Un polinom patratic de gradul 2: adică orice polinom sub forma:
ax2 + bx + c
unde a, b și c sunt toate numere reale și a≠0. termenii a, b și c sunt numiți coeficientul patratic, liniar și, respectiv, constant. Ecuațiile pătratice pot fi luate în considerare pentru a găsi rădăcinile lor—valorile lui x pentru care întreaga ecuație este egală cu 0., Alternativ, se poate folosi ecuația pătratică pentru a rezolva rădăcinile unui polinom pătratic:
ecuația pătratică este utilă pentru modelarea mișcării, deoarece curba mișcării accelerate ia forma unei curbe pătrate. Dacă o mișcare are o rată constantă de accelerare, atunci un grafic al mișcării sale va fi o ecuație pătratică. Forma geometrică a funcției patratice se numește parabolă.
Geometrie
funcția pătrată are multe utilizări în geometrie. Cel mai evident, funcția pătrat poate fi folosit pentru a găsi zona de pătrate., Este cunoscut faptul că suprafața unui pătrat cu laturile de lungime n este egală cu n2. Acest lucru rezultă din ecuația pentru aria unui dreptunghi (și paralelograme mai general) unde A = L×w. un pătrat este pur și simplu un dreptunghi în care lungimea și lățimea sunt aceleași. Faptul că suprafața unui pătrat este o funcție pătrată explică o proprietate despre creșterea suprafeței pătrate: zona pătrată a cărei lungime este de N ori mai lungă are o suprafață mai mare de n2.
Cuadratura, de asemenea, este folosit pentru a găsi distanțele dintre două puncte în contextul teorema lui Pitagora. Teorema pitagoreană spune că pătratul laturilor unui triunghi drept (un triunghi cu un unghi de 90°) este egal cu pătratul hipotenuzei (a2+b2=c2). Această formulă poate fi utilizată pentru a calcula distanța dintre punctul de origine al unei axe de coordonate (0, 0) și orice punct arbitrar (x, y). Se poate desena o linie care se extinde de la punctul de origine unități x orizontal, apoi o linie care se extinde de la acel punct unități y vertical., Forma trase va fi un triunghi dreptunghic, iar distanța între originea (0, 0) și punctul (x, y) poate fi calculată ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu lungimi de partea x și y.
teorema lui Pitagora este un caz special al procesului mai general de paralelogram lege care se referă la lungimea laturilor unui paralelogram cu diagonalele sale: paralelogram legea prevede că suma patratelor lungimilor de lungimi de cele patru laturi este egal cu suma patratelor diagonalelor. Să zicem că avem un paralelogram cu laturile AB, BC, CD și DA și diagonalele AC și BD., Paralelogram legea ne spune că:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
Deoarece într-un paralelogram laturile opuse sunt, prin definiție, egală în lungimi de această ecuație poate fi rescrisă ca:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
teorema lui Pitagora cade din această ecuație în cazul unui dreptunghi, în cazul în care diagonalele sunt de lungimi egale.
Trigonometrie
pătratul apare, de asemenea, în legi referitoare la lungimile laturilor unui triunghi la unghiurile sale, sub forma legii cosinusurilor., Mai simplu spus, Legea cosinusurilor afirmă că pentru un triunghi cu lungimile a, b și c și unghiurile opuse A, B și C:
c2= a2 + b2 – 2AB×cos(C)
legea cosinusului poate fi rescrisă pentru a rezolva pentru fiecare variabilă dând o ecuație cu aceeași formă exactă, deci aceeași ecuație va funcționa pentru orice parte. Legea cosinusurilor vă permite să determinați celelalte componente ale unui triunghi dacă cunoașteți lungimea a cel puțin două laturi și un unghi. Ecuația simplifică, de asemenea, pentru a da teorema lui Pitagora în cazul triunghiurilor drepte. În cazul triunghiurilor drepte, ∠C = 90, deci cos (C) = 0., Partea din dreapta a ecuației se anulează și rămânem cu c2 = A2 + b2
în fizică
în fizică, funcția pătrată își ridică adesea capul în contextul ecuațiilor descrie intensitatea unei cantități fizice în funcție de distanță. Datorită geometriei 3-D a spațiului, intensitatea oricărei cantități fizice care radiază spre exterior într-o sferă în jurul sursei este invers proporțională cu pătratul distanței față de sursă., Acest fapt rezultă din Legea geometrică că suprafața unei sfere (4nr2) este direct proporțională cu raza pătrată (r2) a sferei.de exemplu, forța gravitațională este o forță pătrată inversă, deoarece forța atracției gravitaționale dintre două corpuri este direct proporțională cu masa acestor corpuri și invers proporțională cu pătratul distanței dintre aceste corpuri., Acest lucru este evident în forma matematică a legii gravitației lui Newton
Fg= G(M1×m2)/d2
unde m1 și m2 sunt masele corpurilor și d este distanța dintre centrele lor de greutate. De altfel, forța de atracție electrostatică între două corpuri ia și forma unei legi pătrate inverse, precum și intensitatea măsurată a luminii măsurată de la o sursă punctuală.notația pătrată este, de asemenea, utilizată pentru a defini unitățile de măsură în fizică. De exemplu, accelerația, viteza de schimbare a vitezei, este măsurată în unitatea m/s2., Acest lucru poate fi citit „metri pe secundă pe secundă.”Dacă viteza este schimbarea distanței în raport cu timpul, atunci accelerația este schimbarea vitezei în raport cu timpul. Accelerația este o măsură a vitezei care se schimbă în fiecare punct de mișcare. Dacă accelerația mea este de 6 m/s2, aceasta înseamnă că viteza mea (m / s) crește cu 6 pentru fiecare secundă de mișcare, deci metri pe secundă pe secundă.