Bezmezné Algebry

Jaké Jsou kuželoseček?

kuželové úseky jsou získány průsečíkem povrchu kužele s rovinou a mají určité vlastnosti.,

Definuje Kuželosečky,

kuželosečka (nebo prostě conic), je křivka, která vznikne jako průsečnice povrchu kužele s rovinou. Tři typy kuželových sekcí jsou hyperbola, parabola a elipsa. Kruh je typ elipsy a někdy je považován za čtvrtý typ kuželové sekce.

kuželové sekce mohou být generovány protínáním roviny s kuželem. Kužel má dvě identicky tvarované části zvané Nappy. Jeden nappe je to, co většina lidí myslí „kuželem“ a má tvar klobouku strany.,

kuželové úseky jsou generovány průsečíkem roviny s kuželem. Pokud je rovina rovnoběžná s osou otáčky (osa y), pak je kuželová část hyperbola. Pokud je rovina rovnoběžná s generátorovou čarou, je kuželová část parabola. Pokud je rovina kolmá k ose otáčky, kuželový úsek je kruh. Pokud rovina protíná jeden nappe pod úhlem k ose (jiné než 90^{\circ}), pak je kuželová část elipsa.,

Společné Části kuželoseček

Zatímco každý typ kuželosečky vypadá velmi odlišné, mají některé vlastnosti společné. Například každý typ má alespoň jedno zaměření a directrix.

zaostření je bod, o kterém je konstruována kuželová část. Jinými slovy, je to bod, o kterém se paprsky odrážející se od křivky sbíhají., Parabola má jedno zaměření, o kterém je tvar konstruován; elipsa a hyperbola mají dva.

a directrix je řádek používaný pro konstrukci a definování kuželové sekce. Vzdálenost přímka z bodu na kuželosečka má konstantní poměr vzdáleností od bodu zaměření. Stejně jako u zaostření má parabola jeden directrix, zatímco elipsy a hyperboly mají dva.

tyto vlastnosti, které sdílejí kónické sekce, jsou často prezentovány jako následující definice, která bude dále rozvíjena v následující části., Kuželosečka je lokalizace bodů P, jejichž vzdálenost pro zaostření je konstantní násobek vzdálenosti od P, aby přímka o kuželovitý. Tyto vzdálenosti jsou zobrazeny jako oranžové čáry pro každou kuželovou sekci v následujícím diagramu.

každý typ kuželové sekce je podrobněji popsán níže.,

Parabola

parabola je množina všech bodů, jejichž vzdálenost od pevného bodu, se nazývá ohnisko, je rovna vzdálenosti z pevné linky, tzv. přímka. Bod na půli cesty mezi ohniskem a directrix se nazývá vrchol paraboly.

na dalším obrázku jsou grafovány čtyři paraboly, které se objevují v rovině souřadnic. Mohou se otevřít nahoru, dolů, doleva nebo doprava.

Elipsy

elipsa je množina všech bodů, pro které je součet vzdáleností od dvou pevných bodů (ohnisek) je konstantní. V případě elipsy existují dvě ohniska a dvě přímky.

na dalším obrázku je znázorněna typická elipsa, jak se objevuje v rovině souřadnic.

Hyperbolas

hyperbola je soubor všech bodů, kde je rozdíl mezi jejich vzdálenostmi od dvou pevných bodů (ohnisek) konstantní. V případě hyperboly existují dvě ohniska a dvě přímky. Hyperboly mají také dvě asymptoty.

na dalším obrázku se objeví graf typické hyperboly.

aplikace kuželových sekcí

kuželové sekce se používají v mnoha oblastech studia, zejména k popisu tvarů. Například se používají v astronomii k popisu tvarů oběžných drah objektů ve vesmíru. Dva hmotné objekty ve vesmíru, které interagují podle Newtonova zákona všeobecné gravitace se může pohybovat po drahách, které jsou ve tvaru kuželoseček. Mohli by sledovat elipsy, paraboly nebo hyperboly, v závislosti na jejich vlastnostech.

excentricita

každá kuželová sekce má konstantní excentricitu, která poskytuje informace o jejím tvaru.,

definující excentricitu

excentricita, označená e, je parametr spojený s každou kuželovou sekcí. Lze to považovat za měřítko toho, jak moc se kuželová část odchyluje od kruhové.,

výstřednosti kuželosečka je definován jako vzdálenost z jakéhokoliv místa na kuželosečka k jeho zaměření, děleno kolmá vzdálenost z bodu k nejbližšímu přímka. Hodnota e je konstantní pro každou kuželovou sekci. Tato vlastnost může být použita jako obecná definice pro kuželové sekce., Hodnota e může být použit pro určení typu kuželosečky jako:

• Pokud e = 1, kuželosečka je parabola
• Pokud e < 1, je elipsy
• Pokud e > 1, to je hyperbola

excentricity kruhu je nulová. Všimněte si, že dvě kuželové sekce jsou podobné (identicky tvarované), pokud a pouze pokud mají stejnou excentricitu.

připomeňme, že hyperboly a nekruhové elipsy mají dvě ohniska a dvě přidružené directrices, zatímco paraboly mají jedno zaostření a jednu directrix., Na dalším obrázku je každý typ kuželové sekce grafován se zaměřením a directrix. Oranžové čáry značí vzdálenost mezi ohniskem a body na kuželové části, stejně jako vzdálenost mezi stejnými body a přímka. Jedná se o vzdálenosti používané k nalezení excentricity.

Konceptualizace Výstřednost

Z definice parabola, vzdálenost od libovolného bodu na parabole a k zaměření se rovná vzdálenost od téhož bodu přímka. Proto podle definice musí být excentricita paraboly 1.

pro elipsu je excentricita menší než 1. To znamená, že v poměru, který definuje excentricitu, je čitatel menší než jmenovatel. Jinými slovy, vzdálenost mezi bodem na kuželosečka a její zaměření je méně než vzdálenost mezi tímto bodem a nejbližším přímka.,

naopak excentricita hyperboly je větší než 1. To znamená, že vzdálenost mezi bodem na kuželosečka nejbližší přímka je méně než vzdálenost mezi tímto bodem a středem.

Druhy kuželoseček

Kuželovitý oddíly jsou tvořeny průsečíkem roviny s kuželem a jejich vlastnosti závisí na tom, jak této křižovatce dochází.,

kuželové úseky jsou určitým typem tvaru tvořeného průsečíkem roviny a pravého kruhového kužele. V závislosti na úhlu mezi rovinou a kuželem mohou být vytvořeny čtyři různé průsečíky. Každý tvar má také degenerovanou formu., Tam je vlastnost všech kuželoseček nazývá excentricita, který má podobu číselného parametru e. Čtyři kuželosečky tvary mají různé hodnoty e.

Parabola

parabola se vytvoří, když je rovina rovnoběžná s povrchem kužele, což vede k křivce ve tvaru písmene U, která leží v rovině. Každá parabola má určité vlastnosti:

• vrchol, což je bod, ve kterém křivka otočí
• zaměření, což je bod, ne na křivce o které se křivka ohýbá
• osa symetrie, což je úsečka spojující vrchol a zaměření, které rozděluje parabola na dvě stejné poloviny

Všechny paraboly mají hodnotu excentricity e=1., V přímém důsledku stejné excentricity jsou všechny paraboly podobné, což znamená, že jakákoli parabola může být přeměněna na jakoukoli jinou se změnou polohy a měřítka. Degenerovaný případ paraboly je, když se rovina sotva dotýká vnějšího povrchu kužele, což znamená, že je tečna ke kuželu. Tím se vytvoří přímka průsečík z úhlopříčky kužele.

Non-degenerovaný paraboly mohou být zastoupeny s kvadratickou funkcí, jako jsou

f(x) = x^2,

Kruh

kruh je tvořen, když je letadlo rovnoběžně k základně kužele., Jeho průsečík s kuželem je tedy soubor bodů, které jsou stejně vzdálené od společného bodu (centrální osa kužele), který splňuje definici kruhu. Všechny kruhy mají určité vlastnosti:

• Na střed
• poloměr, což je vzdálenost z kteréhokoli bodu na kruh na střed

Všechny kruhy mají excentricita e=0. Tak, stejně jako parabola, všechny kruhy jsou podobné a mohou být transformovány do sebe., Na souřadnicové rovině, obecný tvar rovnice kružnice,

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.

, kde (h,k) jsou souřadnice středu kružnice a r je poloměr.

degenerovaná forma kruhu nastává, když rovina protíná pouze špičku kužele. Jedná se o průsečík s jedním bodem nebo ekvivalentně kruh s nulovým poloměrem.

elipsa

když je úhel roviny vzhledem k kuželu mezi vnějším povrchem kužele a základnou kužele, výsledný průsečík je elipsa. Definice elipsy zahrnuje také rovnoběžnost se základnou kužele, takže všechny kruhy jsou zvláštním případem elipsy., Elipsy mají tyto funkce:

• hlavní osu, která je nejdelší šířka přes elipsy
• vedlejší osy, která je nejkratší šířka přes elipsy
• centrum, což je průsečík obou os
• Dva ústřední body —pro libovolný bod na elipse, součet vzdálenosti obou kontaktních místech je konstantní

Elipsy může mít rozsah excentricity hodnoty: 0 \leq e < 1. Všimněte si, že hodnota 0 je zahrnuta (kruh), ale hodnota 1 není zahrnuta (to by byla parabola)., Vzhledem k tomu, že existuje řada hodnot excentricity, ne všechny elipsy jsou podobné. Obecný tvar rovnice elipsy s hlavní osou rovnoběžnou s osou x je:

\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }

degenerované podobě elipsy je bod nebo kruh nulový poloměr, stejně jako to bylo pro kruh.

Hyperbola

hyperbola se vytvoří, když je rovina rovnoběžná s centrální osou kužele, což znamená, že protíná obě části dvojitého kužele.,nches, stejně jako tyto funkce:

• Asymptotu linie—to jsou dvě lineární grafy, že křivka hyperbola přibližuje, ale nikdy se dotýká
• centrum, což je průsečík asymptoty
• Dva ústřední body, kolem nichž každé dvě větve ohýbat
• Dva vrcholy, jeden pro každou pobočku

obecnou rovnici hyperboly s vrcholy na vodorovné linii je:

\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }

excentricitu hyperboly je omezeno e > 1, a nemá žádnou horní mez., Pokud je excentricita povolena na hranici + \ infty (pozitivní nekonečno), hyperbola se stává jedním z jejích degenerovaných případů—přímkou. Dalším degenerovaným případem hyperboly je stát se dvěma přímými asymptoty. K tomu dochází, když rovina protíná vrchol dvojitého kužele.