co je analýza prvků FEA | Finite?

analýza konečných prvků (FEA) je simulace jakéhokoli daného fyzikálního jevu pomocí numerické techniky zvané metoda konečných prvků (FEM). Inženýři pomocí MKP software ke snížení počtu fyzických prototypů a experimentů a optimalizovat součásti v jejich konstrukci fáze vyvíjet lepší výrobky, rychlejší a zároveň šetří náklady.,

je nutné používat matematiku komplexně pochopit a kvantifikovat nějaké fyzikální jevy, jako jsou strukturální nebo chování tekutin, tepelné dopravy, šíření vln, růst biologických buněk, atd. Většina těchto procesů je popsána pomocí parciálních diferenciálních rovnic (PDEs). Nicméně, pro počítač k vyřešení těchto PDEs, numerické techniky byly vyvinuty v posledních několika desetiletích a jeden z prominentních, dnes, je analýza konečných prvků.,

diferenciální rovnice nejen popisují přírodní jevy, ale také fyzikální jevy, se kterými se setkáváme ve strojírenské mechanice. Tyto parciálních diferenciálních rovnic (Pde) jsou složité rovnice, které je třeba řešit za účelem výpočtu příslušné množství a struktury (jako napětí (\(\epsilon\)), kmeny (\(\epsilon\)), atd.) za účelem odhadu strukturálního chování při daném zatížení. To je důležité vědět, že FEA poskytuje pouze přibližné řešení problému a je numerický přístup, aby se skutečný výsledek těchto parciálních diferenciálních rovnic., Zjednodušený, FEA je numerická metoda používaná pro predikci toho, jak se část nebo sestava chová za daných podmínek. Používá se jako základ pro moderní simulační software a pomáhá inženýrům najít slabá místa, oblasti napětí atd. ve svých návrzích. Výsledky simulace – založené na metodě FEA jsou obvykle zobrazeny pomocí barevné škály, která ukazuje například rozložení tlaku nad objektem.

v Závislosti na pohledu, FEA může být řekl, aby měl svůj původ v práci Euler, jak brzy jako 16.století., Nicméně, nejstarší matematické dokumenty o analýze konečných prvků lze nalézt v pracích Schellbach a Courant .

FEA byla nezávisle vyvinuta inženýry v různých průmyslových odvětvích k řešení problémů strukturální mechaniky souvisejících s leteckým a stavebním inženýrstvím. Vývoj pro real-život aplikace začala kolem poloviny-1950 jako dokumenty o Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris , a Babuska & Aziz show., Knihy Zienkiewicze a Strang & Fix také položily základy pro budoucí vývoj v softwaru FEA.

Rozděl a Panuj

být schopen provést simulace, sítě, skládající se z milionů malých prvků, které dohromady tvoří tvar konstrukce, musí být vytvořen., Výpočty se provádějí pro každý jednotlivý prvek. Kombinace jednotlivých výsledků nám dává konečný výsledek struktury. Aproximace, které jsme právě zmínili, jsou obvykle polynomiální a ve skutečnosti interpolace nad elementem (elementy). To znamená, že známe hodnoty v určitých bodech v prvku, ale ne v každém bodě. Tyto „určité body“ se nazývají uzlové body a často se nacházejí na hranici prvku. Přesnost, s jakou se proměnná mění, je vyjádřena určitou aproximací např. lineární, kvadratické, kubické atd., Abychom získali lepší pochopení aproximačních technik, podíváme se na jednorozměrný pruh. Zvážit skutečné rozložení teploty T(x) podél baru na obrázku níže:

předpokládejme, že známe teplotu z baru v 5 pozicích (Čísla 1-5 na obrázku)., Nyní je otázka: jak můžeme předpovědět teplotu mezi těmito body? Lineární aproximace je docela dobrá, ale existují lepší možnosti reprezentovat skutečné rozložení teploty. Pokud zvolíme čtvercovou aproximaci, rozložení teploty podél tyče je mnohem hladší. Nicméně vidíme, že bez ohledu na polynomiální stupeň je distribuce přes tyč známa, jakmile známe hodnoty v uzlových bodech. Kdybychom měli nekonečný pruh, měli bychom nekonečné množství neznámých (stupně svobody (DOF))., V tomto případě však máme problém s“ konečným “ počtem neznámých:

systém s konečným počtem neznámých se nazývá diskrétní systém. Systém s nekonečným počtem neznámých se nazývá kontinuální systém.

Pro účely aproximace můžeme najít následující vztah pro pole množství \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

linka znázorněno v horní ukazuje tento princip pro 1D problém., \(u\) může představovat teplotu podél délky tyče, která se zahřívá nerovnoměrným způsobem. V našem případě existují čtyři prvky podél osy x, kde funkce definuje lineární aproximaci teploty ilustrované tečkami podél čáry.

Jednou z největších výhod máme, když pomocí Analýzy Konečných Prvků je, že buď můžeme měnit diskretizace na prvek nebo diskretizujeme odpovídající bázové funkce. De facto bychom mohli použít menší prvky v regionech, kde se očekávají vysoké gradienty \(u\)., Pro účely modelování strmosti funkce musíme provést aproximace.

Parciální diferenciální rovnice

před zahájením samotného FEA je důležité pochopit různé typy PDEs a jejich vhodnost pro FEA. Pochopení toho je důležité pro každého, bez ohledu na motivaci k použití analýzy konečných prvků. Člověk by si měl neustále připomínat, že FEA software je nástroj a jakýkoli nástroj je jen tak dobrý jako jeho uživatel.,

PDE lze rozdělit jako eliptické (jsou poměrně hladké), hyperbolické (podpůrná řešení s diskontinuitami) a parabolické (popisují difúzní problémy závislé na čase). Při řešení těchto diferenciálních rovnic je třeba zajistit hranice a/nebo počáteční podmínky. Na základě typu PDE lze vyhodnotit potřebné vstupy. Příklady PDE v každé kategorii zahrnují poissonovu rovnici (eliptickou), vlnovou rovnici (hyperbolickou) a Fourierův zákon (parabolickou).,

Existují dva hlavní přístupy k řešení eliptické PDR je – Konečných diferencí Analýza (FDA) a Variační (nebo Energie) Metody. FEA spadá do druhé kategorie variačních metod. Variační přístupy jsou primárně založeny na filozofii minimalizace energie.

hyperbolické PDE jsou běžně spojeny se skoky v řešeních., Vlnová rovnice je například hyperbolická PDE. Vzhledem k existenci diskontinuity (nebo skoky) v řešení, originál FEA technologie (nebo Bubnov-Galerkinova Metoda) byl věřil být nevhodné pro řešení hyperbolické PDE. Nicméně, v průběhu let, změny byly vyvinuty, aby použitelnost MKP software a technologie.

je důležité zvážit důsledek použití numerického rámce, který není vhodný pro zvolený typ PDE. Takové použití vede k řešením, která jsou známá jako „nesprávně položená“., To by mohlo znamenat, že malé změny parametrů domény vedou k velkým oscilacím v řešeních nebo řešení existují pouze na určité části domény nebo času. Ty nejsou spolehlivé. Dobře položená řešení jsou definována jedinečným řešením, které existuje nepřetržitě pro definovaná data. Vzhledem k spolehlivosti je proto nesmírně důležité je získat.

Silné a Slabé Formulaci

matematické modely vedení tepla a elastostatics něž se v této sérii se skládají z (parciálních) diferenciálních rovnic s počáteční i okrajové podmínky., To je také označováno jako takzvaná silná forma problému. Několik příkladů“ silných forem “ je uvedeno na obrázku níže:

parciální diferenciální rovnice druhého řádu vyžadují vysoký stupeň hladkosti pro řešení \(u(x)\). To znamená, že druhá derivace posunu musí existovat a musí být spojitá! To také znamená, požadavky na parametry, které nelze ovlivnit, jako je geometrie (ostré hrany) a materiálových parametrů (jiný modul v materiálu).,

pro vývoj formulace konečných prvků musí být parciální diferenciální rovnice přepracovány v integrální podobě zvané slabá forma. Slabá forma a silná forma jsou rovnocenné! Při analýze stresu se slabá forma nazývá princip virtuální práce.

$$\int^l_0\frac{dw}{dx}AE\frac{du}{dx}dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \forall w~s ~w(l)=0 \tag{3}$$

dané rovnice je tzv. slabá forma (v tomto případě slabé formulaci pro elastostatics)., Název uvádí, že řešení slabé formy nemusí být tak hladká jako řešení silné formy, což znamená slabší požadavky na kontinuitu.

musíte mít na paměti, že řešení uspokojující slabou formu je také řešením silného protějšku rovnice. Nezapomeňte také, že zkušební řešení \(u(x)\) musí splňovat podmínky hranice posunu. To je základní vlastnost zkušebních řešení, a proto nazýváme tyto hraniční podmínky základními okrajovými podmínkami.

zajímají vás tyto formulace?, Pokud ano, přečtěte si více v tématu fóra o rovnocennosti mezi slabou a silnou formulací PDEs pro FEA.

minimální potenciální energie

analýza konečných prvků může být také provedena s variačním principem. V případě jednorozměrné elastostatiky je minimum potenciální energie odolné vůči konzervativním systémům. Rovnovážná poloha je stabilní, pokud je potenciální energie systému \(\Pi\) minimální. Každé infinitezimální narušení stabilní polohy vede k energetickému nepříznivému stavu a znamená obnovující reakci., Snadným příkladem je normální skleněná láhev, která stojí na zemi, kde má minimální potenciální energii. Pokud to spadne, nic se nestane, s výjimkou hlasitého hluku. Pokud stojí na rohu stolu a spadne na zem, je spíše pravděpodobné, že se zlomí, protože nese více energie směrem k zemi. Pro variační princip tuto skutečnost využíváme. Čím nižší je energetická hladina, tím méně je pravděpodobné, že se dostane nesprávného řešení., Celková potenciální energie \(\Pi\) systém se skládá z práce vnitřních sil (deformační energie)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon A(x)} dx \tag{4}$$

a práce vnější síly

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \tag{5}$$

celková energie je:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

Zjistěte více o minimální potenciální energii v našem související téma fórum.,

Mesh Convergence

jedním z nejvíce přehlížených problémů ve výpočetní mechanice, které ovlivňují přesnost, je konvergence mesh. To souvisí s tím, jak malé prvky musí být, aby se zajistilo, že výsledky analýzy nebudou ovlivněny změnou velikosti oka.

výše uvedený obrázek ukazuje konvergenci množství, s nárůstem stupně volnosti. Jak je znázorněno na obrázku, je důležité nejprve určit množství zájmu. Je třeba vzít v úvahu alespoň tři body a jak se hustota OK zvyšuje, množství úroků se začíná sbližovat s určitou hodnotou. Pokud dvě následující vylepšení sítě nezmění výsledek podstatně, pak lze předpokládat, že výsledek se sblížil.,

Chystáte se do otázku, zjemnění, to není vždy nutné, aby síť na celém modelu je rafinovaný. Princip St. Venant prosazuje, aby místní stresy v jednom regionu neovlivňovaly stresy jinde. Z fyzického hlediska lze tedy model vylepšit pouze v určitých oblastech zájmu a dále mít přechodovou zónu z hrubé na jemnou síť., Existují dva typy vylepšení (h-a p-refinement), jak je znázorněno na obrázku výše. h-upřesnění se týká snížení velikosti prvků, zatímco p-upřesnění se týká zvýšení pořadí prvku.

Zde je důležité rozlišovat mezi geometrickými efekt a ok konvergence, zejména při tvorbě sítě zakřivený povrch pomocí rovné (nebo lineární) prvky bude vyžadovat více prvků (nebo zjemnění) pro zachycení hranice přesně., Zjemnění vede k výraznému snížení chyb:

Upřesnění, jako to může umožnit zvýšení konvergence řešení bez zvýšení velikosti celkového řešeného problému.

jak měřit konvergenci?,

takže nyní, když byl diskutován význam konvergence, jak lze měřit konvergenci? Co je kvantitativní opatření pro konvergenci? Prvním způsobem by bylo srovnání s analytickými řešeními nebo experimentálními výsledky.

Chyba Posuny:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

, kde \(u\) je analytické řešení pro pole posunutí.

Chyba Kmenů:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8}$$

, kde \(\epsilon\) je analytické řešení pro kmen pole.,

Chyba Zdůrazňuje:

$$e_\sigma = \sigma \sigma^h \tag{9}$$

, kde \(\sigma\) je analytické řešení pole napětí.

jak je uvedeno ve výše uvedených rovnicích, lze definovat několik chyb pro posuny, kmeny a napětí. Tyto chyby by mohly být použity pro srovnání a budou muset snížit s zjemnění. Další informace o tom, jak jsou tyto chyby vypočteny s příslušnými normami pro tato množství, naleznete zde.,

Analýza metodou Konečných Prvků Software

Analýza metodou Konečných Prvků začala s významnými slib v modelování několik mechanické aplikace týkající se letectví a stavebnictví. Aplikace metody konečných prvků právě začínají dosahovat svého potenciálu., Jedním z nejvíce vzrušující vyhlídky je jeho použití spojeno s problémy, jako tekutina-struktura interakce; termo-mechanické, tepelně-chemické, termo-chemo-mechanické problémy piezoelektrických, feroelektrických, elektromagnetické pole a další relevantní oblasti:

Statická

S statické analýzy, můžete analyzovat lineární statické a nelineární kvazi-statické struktury. V lineárním případě s aplikovaným statickým zatížením je pro stanovení strukturální odezvy nutný pouze jeden krok. Geometrická, kontaktní a materiálová nelinearita může být vzata v úvahu. Příkladem je nosná podložka mostu.,

dynamická

dynamická analýza vám pomůže analyzovat dynamickou odezvu struktury, která zažila dynamické zatížení v určitém časovém rámci. Chcete-li realisticky modelovat strukturální problémy, můžete také analyzovat dopady zatížení i posuny. Příkladem je dopad lidské lebky s přilbou nebo bez ní.

Modální

Eigenfrekvence a eigenmody struktury způsobené vibracemi lze simulovat pomocí modální analýzy. Špičková odezva struktury nebo systému pod daným zatížením může být simulována harmonickou analýzou., Příkladem je start motoru.

Různé Typy Konečných Prvků, Metoda

Jak již bylo uvedeno dříve v kapitole o Pde, tradiční FEM technologie prokázala nedostatky v modelování problémů týkajících se mechaniky tekutin, šíření vln, atd. Několik vylepšení byly provedeny v posledních dvou desetiletích, jak zlepšit proces řešení a rozšířit použitelnost analýzy konečných prvků pro široké spektrum žánrů problémy., Některé z důležitých, které se stále používají, zahrnují:

Extended Finite Element Method (XFEM)

metoda Bubnov-Galerkin vyžaduje kontinuitu posunů napříč prvky. Problémy, jako je kontakt, zlomenina a poškození, však zahrnují diskontinuity a skoky, které nelze přímo řešit metodami konečných prvků. K překonání tohoto nedostatku, XFEM se narodil v roce 1990. XFEM funguje prostřednictvím rozšíření tvar funkce s Heavisideovy funkce krok., Extra stupně volnosti jsou přiřazeny k uzlům kolem bodu diskontinuity, takže lze uvažovat o skocích.

Zobecněná Metoda Konečných Prvků (GFEM)

GFEM byl představen kolem stejného času jako XFEM v 90. letech. To kombinuje funkce tradiční FEM software a meshless methods. Funkce tvaru jsou primárně definovány v globálních souřadnicích a dále vynásobeny rozdělením jednoty pro vytvoření místních funkcí elementárního tvaru. Jednou z výhod GFEM je prevence opětovného záběru kolem singularit.,

metoda smíšených konečných prvků

v několika problémech, jako je kontakt nebo nestlačitelnost, jsou omezení uložena pomocí Lagrangeových multiplikátorů. Tyto další stupně volnosti vyplývající z Lagrangeových multiplikátorů jsou řešeny nezávisle. Rovnice jsou řešeny jako spřažený systém.

hp-Metoda Konečných Prvků

hp-FEM je kombinace pomocí automatické zjemnění (h-zjemnění) a zvýšení řádu polynomu (p-upřesnění). To není totéž jako dělat h – a p-vylepšení odděleně., Když se používá automatické zdokonalování hp a prvek je rozdělen na menší prvky (h-refinement), každý prvek může mít také různé polynomiální příkazy.

Nespojitá Galerkinova Metoda Konečných Prvků (DG-FEM)

DG-FEM ukázaly významný příslib pro použití nápad Konečných Prvků pro řešení hyperbolické rovnice, kde tradiční Metody Konečných Prvků byly slabé. Kromě toho také prokázala příslib v ohybu a nestlačitelných problémech, které se běžně vyskytují ve většině materiálových procesů., Zde se do slabé formy přidávají další omezení, která zahrnují parametr penalizace (aby se zabránilo interpenetraci) a podmínky pro další rovnováhu napětí mezi prvky.

Analýza metodou Konečných Prvků & SimScale

FEA software součástí SimScale umožňuje prakticky vyzkoušet a předvídat chování struktur, a proto řešit složité konstrukční inženýrství problémy podrobeny statických a dynamických podmínek zatížení., FEA simulace platforma používá škálovatelných numerických metod, které lze vypočítat matematické výrazy, které by jinak byly velmi náročné, vzhledem k složité zatížení, geometrie, nebo vlastnosti materiálu.

Poslední aktualizace: 20. ledna 2021