Geometrické sekvence a součty

sekvence

sekvence je sada věcí (obvykle čísel), které jsou v pořádku.

geometrické sekvence

v geometrické sekvenci se každý termín nachází vynásobením předchozího výrazu konstantou.

obecně píšeme geometrickou sekvenci takto:

{a, ar, ar2, ar3,…, }

kde:

první termín
r je faktor mezi podmínkami (tzv. „společného poměru“)

Ale pozor, r nesmí být 0.

, Kdy r=0, dostaneme posloupnost {a,0,0,…}, která není geometrická

Pravidlo

můžeme také vypočítat libovolný výraz pomocí Pravidlo:

xn = ar(n-1)

(používáme „n-1“, protože ar0 je pro 1. termín)

Geometrické Posloupnosti mohou mít také menší a menší hodnoty:

Příklad:

4, 2, 1, 0.5, 0.25, …,

tato sekvence má faktor 0,5 (a půl) mezi každým číslem.

jeho pravidlem je xn = 4 × (0,5)n-1

proč“ geometrická “ sekvence?,

Protože to je, jako zvýšení rozměrů v geometrii:

	čára je 1-dimenzionální a má délku r
	v 2 rozměry čtverce má rozlohu r2
	ve 3 rozměrech krychle má objem r3
	atd (ano, můžeme mít 4 a více rozměry v matematice).,

Geometrické Posloupnosti jsou někdy nazývána Geometrické Posloupnosti (G. P.)

Součet Geometrické Řady

součet těchto:

a + ar + ar2 + … + ar(n-1)

(Každý termín je archa, kde k začíná na 0 a jde do n-1)

můžeme použít tento šikovný vzorec:

první termín
r je společné „poměr“ mezi pojmy
n je počet termínů,

Co je na tom vtipného Σ symbol?, To se nazývá Sigma Notace

(tzv. Sigma) znamená „shrnul“

A pod a nad ním jsou zobrazeny počáteční a koncové hodnoty:

To říká, „shrnul n kde n jde od 1 do 4. Odpověď=10

vzorec se snadno používá …, „plug in“ hodnoty a, r a n.

je Použití Vzorce

podívejme se na vzorec v akci:

Příklad: Zrna Rýže na šachovnici

Na stránce Binární Číslice, jsme dát příklad zrnek rýže na šachovnici. Je položena otázka:

Když jsme místo rýže na šachovnici:

1 obilí na první políčko,
2 zrna na druhý čtverec,
4 zrnka, na třetí a tak dále,
…

… zdvojnásobení zrn rýže na každém čtverci …

…, kolik zrn rýže celkem?

Takže máme:

a = 1 (první termín)
r = 2 (čtyřhry pokaždé)
n = 64 (64 čtverců na šachovnici)

to se Stane:

= 1-264-1 = 264 − 1

= 18,446,744,073,709,551,615

Což byl přesně ten výsledek, který jsme dostali na Binární Číslice stránku (díky bohu!)

a další příklad, tentokrát s r méně než 1:

proč vzorec funguje?,

podívejme se, proč vzorec funguje, protože používáme zajímavý „trik“, který stojí za to vědět.

nejprve zavolejte celý součet „s“: s = a + ar + ar2 + … + ar(n−2)+ ar (n−1)

další, vynásobte S r:S·r = ar + ar2 + ar3 + … + ar (n−1) + arn

Všimněte si, že S A S·r jsou podobné?

nyní je odečtěte!

Wow! Všechny podmínky uprostřed úhledně vyruší.,
(Což je pěkný trik)

odečtením S·r z Y dostaneme jednoduchý výsledek:

S − S·r = a − arn

Pojďme uspořádat ji najít S:

Faktor S a:S(1−r) = a(1−rn)

Vydělíme (1−r):S = a(1−rn)(1−r)

Což je náš vzorec (ta-da!):

nekonečná Geometrická řada

co se stane, když n přejde do nekonečna?,

můžeme použít tento vzorec:

Ale pozor:

r musí být mezi (ale ne včetně) -1 a 1,

a r by neměly být 0, protože posloupnost {a,0,0,…} není geometrický

naše infnite geometrická řada má konečný součet, když je poměr menší než 1 (a větší než -1)

vraťme se k naší předchozí příklad, a uvidíme, co se stane:

nevěříte mi? Stačí se podívat na tento čtverec:

přidáním 12 + 14 + 18 + …

skončíme s celou věcí!,

Opakující se Desetinná

Na další stránce jsme se ptali, „Má 0.999… rovno 1?“, no, uvidíme, jestli to dokážeme vypočítat: