v matematice je čtvercový symbol (2) aritmetickým operátorem, který znamená vynásobení čísla sám. „Čtverec“ čísla je produktem čísla a samotného. Vynásobení čísla samo o sobě se nazývá „kvadratura“ čísla. Kvadratura a číslo je více konkrétní instanci obecné umocňování operace, umocňování, když exponent je 2. Kvadratura čísla je stejná jako zvýšení tohoto čísla na sílu dvou. Čtvercová funkce (ƒ (x)=x2) je inverzní funkce druhé odmocniny(ƒ (x)=√x).,
Zvyšování počtu n síle 2 se nazývá „srovnat“, protože výsledné číslo n2 odpovídá plochu čtverce s délkou strany n. Náměstí funkce je velmi užitečná funkce v algebře, trigonometrie, fyzika. V algebře tvoří čtvercová funkce páteř některých nejjednodušších druhů polynomů (quadratics). V trigonometrii se čtvercová funkce používá k nalezení odpovídajících úhlů a bočních délek shodných trojúhelníků, což je užitečný koncept pro modelování periodických jevů., Ve fyzice, náměstí funkce může být použita pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body (v podobě Pythagorova věta) a modelované jevy často trvá matematického tvaru čtverce funkce, rovnice zahrnující zejména rychlosti a zrychlení.
Kvadratura: Základy
Kvadratura a číslo je jednoduché: Stačí vynásobit počet sám o sobě: symbol 32 znamená 3×3., Obecně platí, že pro libovolné číslo n:
n2 = n × n,
Dále, náměstí funkce má zajímavou vlastnost, že uvedení doplňkové látky inverzní n ti dá stejné číslo: to je:
n2 = (−n)2
Přísně vzato, každé kladné číslo je čtverec přesně dvě čísla, kladné a záporné číslo. 4 je čtverec 2 i -2. Číslo, které je čtvercem celého čísla, se nazývá perfektní čtverec., Obecně platí, že čím dále je číslo jedna, tím dále a dále se rozšiřuje distribuce dokonalých čtverců. Tento trend je způsoben tím, že čtvercová funkce roste exponenciálně; tj. její rychlost růstu je úměrná její současné hodnotě.
inverzní náměstí je funkce odmocnina funkce ƒ(x) = √x. Odmocnina z čísla n je libovolné takové, že a2 = n. Protože obě čísla a jeho přídatné látky inverzní náměstí, aby si stejný výsledek, každé kladné reálné číslo má právě 2 kořeny +√x −a√x, někdy vyjádřená jako ±√x., Ve většině kontextu se „druhá odmocnina“ čísla týká pouze jeho pozitivního kořene. Zvláštní definice funkce druhé odmocniny je taková, že žádné záporné reálné číslo nemá druhou odmocninu, protože žádné číslo vynásobené samo o sobě nevytvoří záporné číslo. Záporná čísla mají čtvercové kořeny v komplexním číselném systému, ale ne v systému reálných čísel.
graf funkce x2 vypadá takto:
Všimněte si, jak graf je dokonale zrcadlí podél svislé osy y., Tvar grafu odpovídá skutečnosti, že každé kladné reálné číslo je čtverec kladného i záporného čísla (kromě nuly). Jako takové je možné, že funkce v obecné podobě čtvercové funkce nebude mít žádné kořeny—neexistuje n tak, že ƒ(n) = 0. Vizuálně to znamená, že některé čtvercové funkce nikdy nepřekročí osu x.
použití funkce čtverce
Algebra
funkce čtverce tvoří páteř speciální třídy polynomiálních rovnic nazývaných kvadratické rovnice., Každý polynom ve formě:
ax2 + bx + c
kde a, b A c jsou všechna reálná čísla a≠0. termíny a, b A c se nazývají kvadratický, lineární a konstantní koeficient. Kvadratické rovnice mohou být zohledněny, aby našly své kořeny-hodnoty x, pro které se celá rovnice rovná 0., Alternativně lze použít kvadratická rovnice vyřešit pro kořeny kvadratického polynomu:
Kvadratické rovnice jsou užitečné pro modelování pohybu, jako křivka zrychleného pohybu má podobu náměstí křivky. Pokud má nějaký pohyb konstantní rychlost zrychlení, pak graf jeho pohybu bude kvadratická rovnice. Geometrický tvar kvadratické funkce se nazývá parabola.
geometrie
čtvercová funkce má mnoho použití v geometrii. Nejzřetelněji lze čtvercovou funkci použít k nalezení oblasti čtverců., Je všeobecně známo, že plocha čtverce se stranami délky n se rovná n2. To vyplývá z rovnice pro výpočet plochy obdélníku (a rovnoběžníky více obecně), kde A = l×w. Náměstí je prostě obdélník, kde délka a šířka jsou stejné. Skutečnost, že plocha čtverce je čtvercová funkce, vysvětluje vlastnost o růstu čtvercové plochy: čtvercový čtverec, jehož délka je n krát delší, má větší plochu n2.
Squaring se také používá k nalezení vzdáleností mezi dvěma body v kontextu Pythagorovy věty. Pythagorova věta říká, že čtverec stran pravého trojúhelníku (trojúhelník s úhlem 90°) se rovná čtverci hypotenze (a2+b2=c2). Tento vzorec lze použít k výpočtu vzdálenosti mezi bodem původu souřadnicové osy (0, 0) a libovolným bodem (x, y). Jeden může nakreslit čáru sahající od výchozího bodu x jednotek vodorovně, pak čára probíhající od tohoto bodu y jednotek svisle., Nakreslený tvar bude pravoúhlý trojúhelník, vzdálenost mezi počátkem (0, 0) a bodem (x, y) lze vypočítat jako přeponu pravoúhlého trojúhelníku o straně délky x a y.
Pythagorova věta je speciální případ více obecné rovnoběžník zákon, který se týká délky stran rovnoběžníku jeho úhlopříčky: rovnoběžník zákon stanoví, že součet čtverce délek délky čtyř stran je roven součtu náměstí úhlopříček. Řekněme, že máme rovnoběžník se stranami AB, BC, CD a DA a diagonály AC a BD., Rovnoběžník zákon nám říká, že:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
Vzhledem k tomu, v rovnoběžník, protilehlé strany jsou, podle definice, stejná v délkách tato rovnice může být přepsána jako:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
Pythagorova věta vypadne z rovnice v případě obdélníku, kde úhlopříčky jsou stejné délky.
Trigonometrie
Srovnat také se objeví v zákonech týkající se délky stran trojúhelníku k jeho úhlů, v podobě kosinová věta., Jednoduše řečeno, kosinová věta uvádí, že trojúhelník s délkami a, b, a, c a protilehlými úhly A, B, a C:
c2= a2 + b2 – 2ab×cos(C)
kosinus státu, může být přepsána řešit pro každou proměnnou dává rovnici s přesně stejné podobě, takže stejné rovnice bude pracovat pro žádnou stranu. Zákon kosinů umožňuje určit další složky trojúhelníku, pokud znáte délku alespoň dvou stran a jednoho úhlu. Rovnice také zjednodušuje dát Pythagorovu větu v případě pravoúhlých trojúhelníků. V případě pravoúhlých trojúhelníků ∠C = 90, takže cos (C) = 0., Zcela vpravo část rovnice se vykrátí, a my jsme vlevo s c2= a2 + b2.
Ve Fyzice
Ve fyzice, náměstí funkce často chová jeho hlavu v souvislosti rovnice popisují intenzitu některé fyzikální veličiny jako funkce vzdálenosti. Vzhledem k 3D geometrii prostoru je intenzita jakékoli fyzické veličiny, která vyzařuje ven ve sféře kolem zdroje, nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti od zdroje., Tato skutečnost vyplývá z geometrického zákona, že povrchová plocha koule (4nr2) je přímo úměrná poloměru na druhou (r2) koule.
například, gravitační síla je inverzní náměstí síla jako síla gravitační přitažlivost mezi dvěma tělesy je přímo úměrná hmotnosti těch těles a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti mezi těmito subjekty., To je evidentní v matematické formě Newtonova zákona gravitace
Fg= G(m1 x m2)/d2
kde m1 a m2 jsou hmotnosti těla a d je vzdálenost mezi jejich centry gravitace. Mimochodem, síla elektrostatické přitažlivosti mezi dvěma těly má také podobu inverzního čtvercového zákona, stejně jako měřená intenzita světla měřená od bodového zdroje.
čtvercová notace se také používá k definování měrných jednotek ve fyzice. Například zrychlení, rychlost změny rychlosti, se měří v jednotce m / s2., To lze číst “ metry za sekundu za sekundu.“Pokud je rychlost změnou vzdálenosti vzhledem k času, pak zrychlení je změna rychlosti vzhledem k času. Zrychlení je měřítkem toho, kolik rychlosti se mění v každém bodě pohybu. Pokud je moje zrychlení 6 m/s2, znamená to, že moje rychlost (m / s) se zvyšuje o 6 za každou sekundu pohybu, tedy metrů za sekundu za sekundu.