un elemento de un líquido o gas que fluye sufrirá fuerzas del fluido circundante, incluidas las fuerzas de tensión viscosa que hacen que se deforme gradualmente con el tiempo. Estas fuerzas pueden ser matemáticamente aproximadas a primer orden por un tensor de tensión viscosa, que generalmente se denota por τ {\displaystyle \ tau } .
la deformación de ese elemento fluido, en relación con algún estado anterior, se puede aproximar a primer orden mediante un tensor de deformación que cambia con el tiempo., La derivada temporal de ese tensor es el tensor de velocidad de deformación, que expresa cómo la deformación del elemento está cambiando con el tiempo; y es también el gradiente del campo vectorial de velocidad v {\displaystyle v} en ese punto, a menudo denotado ∇ v {\displaystyle \Nabla v} .,para un fluido newtoniano incompresible e isotrópico, el esfuerzo viscoso está relacionado con la velocidad de deformación por la ecuación más simple
τ = μ D u d y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}
donde
τ {\displaystyle \tau } es el esfuerzo cortante («arrastre») en el fluido, μ {\displaystyle \mu } es una constante escalar de proporcionalidad, la viscosidad de cizallamiento del fluido D U D y {\displaystyle {\frac {du}{Dy}}} es la derivada de la componente de velocidad que es paralela a la dirección de cizallamiento, en relación con el desplazamiento en la dirección perpendicular.,, esta ecuación se puede escribir en términos de un sistema de coordenadas arbitrario como τ i j = μ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial V_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}
donde
x j {\displaystyle x_{j}} es la j {\displaystyle J} ésima coordenada espacial v i {\displaystyle V_{I}} es la velocidad del fluido en la dirección del eje i {\displaystyle i} τ i j {\displaystyle \tau _{IJ}} es la j {\displaystyle j} ésima componente de la tensión que actúa sobre las caras del elemento fluido perpendicular al eje i {\displaystyle I} .,
también se define un tensor de esfuerzo total σ {\displaystyle \ mathbf {\sigma}}, que combina el esfuerzo cortante con la presión convencional (termodinámica) p {\displaystyle P} ., El estrés de cizallamiento ecuación, entonces se convierte en
∑ i j = − p δ i j + µ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}
o por escrito en el más compacto del tensor de la notación
σ = − p I + μ ( ∇ v + ∇ v T ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } =-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\right)}
donde I {\displaystyle \mathbf {I} } es el tensor identidad.,
para fluidos anisotrópicoseditar
Más generalmente, en un fluido newtoniano no isotrópico, el coeficiente μ {\displaystyle \mu } que relaciona las tensiones de fricción internas con las derivadas espaciales del campo de velocidad es reemplazado por un tensor de tensión viscosa de nueve elementos μ i j {\displaystyle \mu _{ij}} .,
existe una fórmula general para la fuerza de fricción en un líquido: el diferencial vectorial de la fuerza de fricción es igual al tensor de viscosidad aumentado en el diferencial de producto vectorial del vector de área de capas adyacentes de un líquido y rotor de velocidad:
d F = μ i j d s × r o t u {\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }
donde μ i j {\displaystyle \mu _{IJ}} – tensor de viscosidad. Los componentes diagonales del tensor de viscosidad son la viscosidad molecular de un líquido, y no los componentes diagonales: la viscosidad del remolino de turbulencia.,
ley newtoniana de la viscosidadeditar
la siguiente ecuación ilustra la relación entre la velocidad de cizallamiento y el esfuerzo de cizallamiento:
τ = μ D U d y {\displaystyle \tau =\mu {du \over dy}} ,
donde:
- τ es el esfuerzo de cizallamiento;
- μ es la viscosidad, y
- d U d y {\textstyle {\frac {du}{Dy}}} es la velocidad de cizallamiento.
Si la viscosidad es constante, el fluido es Newtoniano.
Power law modelEdit
en azul un fluido newtoniano comparado con el dilatante y el pseudoplástico, el ángulo depende de la viscosidad.,
el modelo de la Ley de potencia se utiliza para mostrar el comportamiento de los fluidos newtonianos y no newtonianos y mide el esfuerzo cortante en función de la velocidad de deformación.,
la relación entre el esfuerzo cortante, la velocidad de deformación y el gradiente de velocidad para el modelo de ley de potencia son:
τ = − m | γ | n − 1 d V x D y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,
donde
- | γ | n − 1 {\displaystyle \left\vert {\dot {\gamma }}\Right\Vert ^{n-1}} es el valor absoluto de la velocidad de deformación a la potencia (n-1);
- d v x D y {\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}} es el gradiente de velocidad;
- n es el índice de la Ley de potencia.,
Si
- n < 1, a continuación, el líquido es una pseudoplástico.
- n = 1 entonces el líquido es un líquido newtoniano.
- n > 1 entonces el líquido es un dilatante.,
Fluid modelEdit
la relación entre el esfuerzo de cizallamiento y la velocidad de cizallamiento en un modelo de fluido de casson se define de la siguiente manera:
τ = τ 0 + S D V d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+s{\sqrt {dV \over dy}}}
donde τ0 es el esfuerzo de fluencia y
s = μ ( 1 − H ) α {\displaystyle S={\sqrt {\frac {\Mu }{(1-h)^{\Alpha }}}}} ,
donde α depende de la composición de la proteína y h es el número de hematocrito.