¿cuáles Son las Secciones Cónicas?
las secciones cónicas se obtienen por la intersección de la superficie de un cono con un plano, y tienen ciertas características.,
objetivos de aprendizaje
describir las partes de una sección cónica y cómo las secciones cónicas pueden considerarse como secciones transversales de un doble cono
puntos clave
puntos clave
- Una sección cónica (o simplemente cónica) es una curva obtenida como la intersección de la superficie de un cono con un plano; los tres tipos son parábolas, elipses e hipérbolas.
- Una sección cónica se puede graficar en un plano de coordenadas.
- Cada sección cónica tiene ciertas características, incluyendo al menos un foco y directriz., Las parábolas tienen un foco y una directriz, mientras que las elipses y las hipérbolas tienen dos de cada una.
- Una sección cónica es el conjunto de puntos P cuya
distancia al foco es un múltiplo constante de la distancia desde P a la directriz de la cónica.
términos clave
- vértice: un punto extremo en una sección cónica.
- asíntota: una línea recta que una curva se acerca arbitrariamente de cerca a medida que va al infinito.
- locus: el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación o condición dada.,
- foco: punto utilizado para construir y definir una sección cónica, en la que convergen los rayos reflejados de la curva (plural: focos).
- nappe: la mitad de un cono doble.
- sección cónica: cualquier curva formada por la intersección de un plano con un cono de dos pañales.
- directriz: una línea utilizada para construir y definir una sección cónica; una parábola tiene una directriz; elipses e hipérbolas tienen dos (plural: directrices).,
definiendo secciones cónicas
una sección cónica (o simplemente cónica) es una curva obtenida como la intersección de la superficie de un cono con un plano. Los tres tipos de secciones cónicas son la hipérbola, la parábola y la elipse. El círculo es un tipo de elipse, y a veces se considera un cuarto tipo de sección cónica.
Las secciones cónicas se pueden generar intersectando un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica llamadas nappes. Un pañal es lo que la mayoría de la gente quiere decir con «cono», y tiene la forma de un sombrero de fiesta.,
Las secciones cónicas se generan por la intersección de un plano con un cono. Si el plano es paralelo al eje de revolución (eje y), entonces la sección cónica es una hipérbola. Si el plano es paralelo a la línea generadora, la sección cónica es una parábola. Si el plano es perpendicular al eje de la revolución, la sección cónica es un círculo. Si el plano interseca un nappe en un ángulo con el eje (que no sea 90^{\circ}), entonces la sección cónica es una elipse.,
a cone and conic sections: the nappes and the four conic sections. Cada cónica está determinada por el ángulo que el plano hace con el eje del cono.
partes comunes de secciones cónicas
Si bien cada tipo de sección cónica se ve muy diferente, tienen algunas características en común. Por ejemplo, cada tipo tiene al menos un foco y una directriz.
un foco es un punto sobre el cual se construye la sección cónica. En otras palabras, es un punto sobre el cual convergen los rayos reflejados de la curva., Una parábola tiene un foco sobre el cual se construye la forma; una elipse y una hipérbola tienen dos.
una directriz es una línea utilizada para construir y definir una sección cónica. La distancia de una directriz desde un punto en la sección cónica tiene una relación constante con la distancia desde ese punto hasta el foco. Al igual que con el foco, una parábola tiene una directriz, mientras que las elipses y las hipérbolas tienen dos.
estas propiedades que comparten las secciones cónicas a menudo se presentan como la siguiente definición, que se desarrollará más adelante en la siguiente sección., Una sección cónica es el locus de puntos P cuya distancia al foco es un múltiplo constante de la distancia desde P a la directriz de la cónica. Estas distancias se muestran como líneas naranjas para cada sección cónica en el siguiente diagrama.
Partes de las secciones cónicas: Las tres secciones cónicas con focos y directrices marcadas.
cada tipo de sección cónica se describe con mayor detalle a continuación.,
parábola
una parábola es el conjunto de todos los puntos cuya distancia desde un punto fijo, llamado foco, es igual a la distancia desde una línea fija, llamada directriz. El punto a medio camino entre el foco y la directriz se llama el vértice de la parábola.
en la siguiente figura, se representan cuatro parábolas tal como aparecen en el plano de coordenadas. Pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, a la izquierda o a la derecha.
Cuatro parábolas que se abre en varias direcciones: El vértice se encuentra en el punto medio entre la directriz y el foco.,
elipses
una elipse es el conjunto de todos los puntos para los cuales la suma de las distancias de dos puntos fijos (los focos) es constante. En el caso de una elipse, hay dos focos, y dos directrices.
en la siguiente figura, se representa una elipse típica tal como aparece en el plano de coordenadas.
Elipse: La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es constante.,
hipérbolas
una hipérbola es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia entre sus distancias de dos puntos fijos (los focos) es constante. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas.
un gráfico de una hipérbola típica aparece en la siguiente figura.
Hipérbola: La diferencia de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante. El eje transversal también se llama eje mayor, y el eje conjugado también se llama eje menor.,
las aplicaciones de secciones cónicas
las secciones cónicas se utilizan en muchos campos de estudio, particularmente para describir formas. Por ejemplo, se utilizan en astronomía para describir las formas de las órbitas de los objetos en el espacio. Dos objetos masivos en el espacio que interactúan de acuerdo con la Ley de Gravitación Universal de Newton pueden moverse en órbitas que tienen la forma de secciones cónicas. Podrían seguir elipses, parábolas o hipérbolas, dependiendo de sus propiedades.
excentricidad
cada sección cónica tiene una excentricidad constante que proporciona información sobre su forma.,
objetivos de aprendizaje
discuta cómo la excentricidad de una sección cónica describe su comportamiento
conclusiones clave
puntos clave
- la excentricidad es un parámetro asociado con cada sección cónica, y puede pensarse como una medida de cuánto se desvía la sección cónica de ser circular.
- la excentricidad de una sección cónica se define como la distancia desde cualquier punto de la sección cónica a su foco, dividida por la distancia perpendicular desde ese punto a la directriz más cercana.,
- El valor de e se puede utilizar para determinar el tipo de sección cónica. Si e= 1 es una parábola, si e < 1 es una elipse, y si e > 1 es una hipérbola.
términos clave
- excentricidad: un parámetro de una sección cónica que describe cuánto se desvía la sección cónica de ser circular.
definiendo excentricidad
la excentricidad, denotada e, es un parámetro asociado con cada sección cónica. Se puede considerar como una medida de cuánto se desvía la sección cónica de ser circular.,
la excentricidad de una sección cónica se define como la distancia desde cualquier punto de la sección cónica a su foco, dividida por la distancia perpendicular desde ese punto a la directriz más cercana. El valor de e es constante para cualquier sección cónica. Esta propiedad se puede utilizar como una definición general para las secciones cónicas., El valor de e puede ser utilizado para determinar el tipo de sección cónica así:
- Si e = 1, la cónica es una parábola
- Si e < 1, es una elipse
- Si e > 1, es una hipérbola
La excentricidad de un círculo es igual a cero. Tenga en cuenta que dos secciones cónicas son similares (de forma idéntica) si y solo si tienen la misma excentricidad.
recordemos que las hipérbolas y elipses no circulares tienen dos focos y dos directrices asociadas, mientras que las parábolas tienen un foco y una directriz., En la siguiente figura, cada tipo de sección cónica se representa gráficamente con un foco y una directriz. Las líneas naranjas denotan la distancia entre el foco y los puntos en la sección cónica, así como la distancia entre los mismos puntos y la directriz. Estas son las distancias utilizadas para encontrar la excentricidad.
secciones cónicas y sus partes: la excentricidad es la relación entre la distancia desde cualquier punto de la sección cónica a su foco, y la distancia perpendicular desde ese punto a la directriz más cercana.,
conceptualizando la excentricidad
de la definición de una parábola, la distancia desde cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia desde ese mismo punto a la directriz. Por lo tanto, por definición, la excentricidad de una parábola debe ser 1.
Para una elipse, la excentricidad es menor que 1. Esto significa que, en la relación que define la excentricidad, el numerador es menor que el denominador. En otras palabras, la distancia entre un punto en una sección cónica y su foco es menor que la distancia entre ese punto y la directriz más cercana.,
Por el contrario, la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. Esto indica que la distancia entre un punto en una sección cónica la directriz más cercana es menor que la distancia entre ese punto y el foco.
los tipos de secciones cónicas
las secciones cónicas están formadas por la intersección de un plano con un cono, y sus propiedades dependen de cómo se produce esta intersección.,
objetivos de aprendizaje
discutir las propiedades de diferentes tipos de secciones cónicas
conclusiones clave
puntos clave
- Las secciones cónicas son un tipo particular de forma formada por la intersección de un plano y un cono circular derecho. Dependiendo del ángulo entre el plano y el cono, se pueden formar cuatro formas de intersección diferentes.
- Los tipos de secciones cónicas son círculos, elipses, hipérbolas y parábolas.
- Cada sección cónica también tiene una forma degenerada; estos toman la forma de puntos y líneas.,
términos clave
- degenerado: una sección cónica que no se ajusta a la forma estándar de ecuación.
- asíntota: una línea que una función curva o forma se acerca pero nunca toca.
- hipérbola: sección cónica formada por el plano perpendicular a la base del cono.
- foco: un punto alejado de una línea curva, alrededor del cual la curva se dobla.
- círculo: la sección cónica formada por el plano paralelo a la base del cono.
- elipse: la sección cónica formada por el plano que está en un ángulo con la base del cono.,
- excentricidad: parámetro adimensional que caracteriza la forma de una sección cónica.
- parábola: la sección cónica formada por el plano paralelo al cono.
- vértice: el punto de inflexión de una forma curva.
las secciones cónicas son un tipo particular de forma formada por la intersección de un plano y un cono circular derecho. Dependiendo del ángulo entre el plano y el cono, se pueden formar cuatro formas de intersección diferentes. Cada forma también tiene una forma degenerada., Hay una propiedad de todas las secciones cónicas llamada excentricidad, que toma la forma de un parámetro numérico e. Las cuatro formas de sección cónica tienen valores diferentes de e.
tipos de secciones cónicas: esta figura muestra cómo las secciones cónicas, en azul claro, son el resultado de un plano que se cruza con un cono. La imagen 1 muestra una parábola, la imagen 2 muestra un círculo (abajo) y una elipse (arriba), y la imagen 3 muestra una hipérbola.,
parábola
una parábola se forma cuando el plano es paralelo a la superficie del cono, lo que resulta en una curva en forma de U que se encuentra en el plano. Cada parábola tiene ciertas características:
- un vértice, que es el punto en el que la curva gira alrededor
- Un foco, que es un punto no en la curva sobre el cual la curva se dobla
- Un eje de simetría, que es una línea que conecta el vértice y el foco que divide la parábola en dos mitades iguales
todas las parábolas poseen un valor de excentricidad e=1., Como resultado directo de tener la misma excentricidad, todas las parábolas son similares, lo que significa que cualquier parábola se puede transformar en cualquier otra con un cambio de posición y escala. El caso degenerado de una parábola es cuando el plano apenas toca la superficie exterior del cono, lo que significa que es tangente al cono. Esto crea una intersección de línea recta fuera de la diagonal del cono.
Las parábolas no degeneradas se pueden representar con funciones cuadráticas como
f(x) = x^2
círculo
se forma un círculo cuando el plano es paralelo a la base del cono., Su intersección con el cono es, por lo tanto, un conjunto de puntos equidistantes de un punto común (el eje central del cono), que cumple con la definición de un círculo. Todos los círculos tienen ciertas características:
- Un punto central
- un radio, que la distancia desde cualquier punto del círculo al punto central
todos los círculos tienen una excentricidad e = 0. Por lo tanto, como la parábola, todos los círculos son similares y pueden transformarse entre sí., En un plano de coordenadas, la forma general de la ecuación del círculo es
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
donde (h,k) son las coordenadas del centro del círculo, y r es el radio.
la forma degenerada del círculo ocurre cuando el plano solo interseca la punta del cono. Esta es una intersección de un solo punto, o equivalentemente un círculo de radio cero.
secciones cónicas gráficas por excentricidad: este gráfico muestra una elipse en rojo, con un valor de excentricidad de ejemplo de 0.,5, una parábola en verde con la excentricidad requerida de 1, y una hipérbola en azul con un ejemplo de excentricidad de 2. También muestra uno de los casos degenerados de hipérbola, la línea negra recta, correspondiente a la excentricidad infinita. El círculo está en el interior de la parábola, que está en el interior de un lado de la hipérbola, que tiene la línea horizontal debajo de ella. De esta manera, el aumento de la excentricidad puede identificarse con una especie de desdoblamiento o apertura de la sección cónica.,
elipse
Cuando el ángulo del plano relativo al cono está entre la superficie exterior del cono y la base del cono, la intersección resultante es una elipse. La definición de una elipse incluye ser paralela a la base del cono también, por lo que todos los círculos son un caso especial de la elipse., Las elipses tienen estas características:
- Un eje mayor, que es el ancho más largo a través de la elipse
- Un eje menor, que es el ancho más corto a través de la elipse
- Un centro, que es la intersección de los dos ejes
- Dos puntos focales —para cualquier punto en la elipse, la suma de las distancias a ambos puntos focales es una constante
las elipses pueden tener un rango de valores de excentricidad: 0 \leq e < 1. Observe que el valor 0 está incluido (un círculo), pero el valor 1 no está incluido (eso sería una parábola)., Dado que hay un rango de valores de excentricidad, no todas las elipses son similares. La forma general de la ecuación de una elipse con eje mayor paralelo al eje x es:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
La forma degenerada de una elipse es un punto, o un círculo de cero radio, como lo fue para el círculo.
hipérbola
una hipérbola se forma cuando el plano es paralelo al eje central del cono, lo que significa que interseca ambas partes del cono doble.,nches, así como estas características:
- líneas de asíntota—estos son dos gráficos lineales que la curva de la hipérbola se acerca, pero nunca toca
- un centro, que es la intersección de las asíntotas
- Dos puntos focales, alrededor de los cuales cada una de las dos ramas doblan
- dos vértices, uno para cada rama
la ecuación general para una hipérbola con vértices en una línea horizontal es:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-K)^2}{B^2} = 1 }
la excentricidad de una hipérbola está restringida a e > 1, y no tiene límite superior., Si se permite que la excentricidad vaya al límite de +\infty (infinito positivo), la hipérbola se convierte en uno de sus casos degenerados: una línea recta. El otro caso degenerado para una hipérbola es convertirse en sus dos asíntotas de línea recta. Esto sucede cuando el plano interseca el ápice del cono doble.