¿Qué es FEA / Finite Element Analysis?

El análisis de elementos finitos (FEA) es la simulación de cualquier fenómeno físico dado utilizando la técnica numérica llamada método de elementos finitos (FEM). Los ingenieros utilizan el software FEA para reducir el número de prototipos y experimentos físicos y optimizar los componentes en su fase de diseño para desarrollar mejores productos, más rápido y ahorrar en gastos.,

es necesario utilizar las matemáticas para comprender y cuantificar de manera integral cualquier fenómeno físico como el comportamiento estructural o de fluidos, el transporte térmico, la propagación de ondas, el crecimiento de células biológicas, etc. La mayoría de estos procesos se describen utilizando ecuaciones diferenciales parciales (PDEs). Sin embargo, para que una computadora resuelva estos eDP, las técnicas numéricas se han desarrollado en las últimas décadas y una de las más destacadas, hoy en día, es el análisis de elementos finitos.,

Las ecuaciones diferenciales no solo describen fenómenos naturales sino también fenómenos físicos encontrados en la mecánica de ingeniería. Estas ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) son ecuaciones complicadas que necesitan ser resueltas para calcular cantidades relevantes de una estructura (como tensiones (\(\epsilon\)), tensiones (\(\epsilon\)), etc.) para estimar el comportamiento estructural bajo una carga dada. Es importante saber que FEA solo da una solución aproximada al problema y es un enfoque numérico para obtener el resultado real de estas ecuaciones diferenciales parciales., Simplificado, FEA es un método numérico utilizado para la predicción de cómo se comporta una pieza o conjunto en determinadas condiciones. Se utiliza como base para un software de simulación moderno y ayuda a los ingenieros a encontrar puntos débiles, áreas de tensión, etc. en sus diseños. Los resultados de una simulación basada en el método FEA generalmente se representan a través de una escala de colores que muestra, por ejemplo, la distribución de presión sobre el objeto.

Dependiendo de la perspectiva, el FEA se puede decir que tiene su origen en la obra de Euler, tan temprano como en el siglo 16., Sin embargo, los primeros trabajos matemáticos sobre Análisis de elementos finitos se pueden encontrar en los trabajos de Schellbach y Courant .

FEA fue desarrollado de forma independiente por ingenieros en diferentes industrias para abordar problemas de mecánica estructural relacionados con la ingeniería aeroespacial y civil. El desarrollo para aplicaciones de la vida real comenzó a mediados de la década de 1950 como documentos de Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris , y Babuska & Aziz show., Los libros de Zienkiewicz y Strang & Fix también sentaron las bases para futuros desarrollos en software FEA.

Divide y vencerás

Para poder hacer simulaciones, se debe crear una malla, que consta de hasta millones de pequeños elementos que juntos forman la forma de la estructura., Se realizan cálculos para cada elemento. La combinación de los resultados individuales nos da el resultado final de la estructura. Las aproximaciones que acabamos de mencionar son generalmente polinomios y de hecho, interpolaciones sobre el elemento (s). Esto significa que conocemos valores en ciertos puntos dentro del elemento, pero no en todos los puntos. Estos ‘ciertos puntos’ se llaman puntos nodales y a menudo se encuentran en el límite del elemento. La precisión con la que la variable cambia se expresa por alguna aproximación para eg. lineal, cuadrática, cúbica, etc., Para obtener una mejor comprensión de las técnicas de aproximación, veremos una barra unidimensional. Considere la verdadera distribución de temperatura T (x) a lo largo de la barra en la siguiente imagen:

supongamos que conocemos la temperatura de esta barra en 5 posiciones específicas (números 1-5 en la ilustración)., Ahora la pregunta es: ¿Cómo podemos predecir la temperatura entre estos puntos? Una aproximación lineal es bastante buena, pero hay mejores posibilidades para representar la distribución real de la temperatura. Si elegimos una aproximación cuadrada, la distribución de la temperatura a lo largo de la barra es mucho más suave. Sin embargo, vemos que independientemente del grado polinómico, la distribución sobre la varilla se conoce una vez que conocemos los valores en los puntos nodales. Si tuviéramos una barra infinita, tendríamos una cantidad infinita de incógnitas (grados de libertad (DOF))., Pero en este caso, tenemos un problema con un número «finito» de incógnitas:

un sistema con un número finito de incógnitas se llama un sistema discreto. Un sistema con un número infinito de incógnitas se llama un sistema continuo.

Para el propósito de aproximaciones podemos encontrar la siguiente relación para una cantidad de campo \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \etiqueta{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \etiqueta{2}$$

La línea se ilustra en la parte superior muestra este principio para una 1D problema., \(u\) puede representar la temperatura a lo largo de la longitud de una varilla que se calienta de una manera no uniforme. En nuestro caso, hay cuatro elementos a lo largo del eje x, donde la función define la aproximación lineal de la temperatura ilustrada por puntos a lo largo de la línea.

una de las mayores ventajas que tenemos al usar el análisis de elementos finitos es que podemos variar la discretización por elemento o discretizar las funciones de base correspondientes. De hecho, podríamos usar elementos más pequeños en regiones donde se esperan gradientes altos de \(u\)., Para el propósito de modelar la pendiente de la función necesitamos hacer aproximaciones.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

antes de proceder con el FEA en sí, es importante entender los diferentes tipos de EDP y su idoneidad para el FEA. Entender esto es importante para todos, independientemente de la motivación para usar el análisis de elementos finitos. Uno debe recordarse constantemente que el software FEA es una herramienta y cualquier herramienta es tan buena como su usuario.,

Los PDE se pueden categorizar como elípticos (son bastante suaves), hiperbólicos (soluciones de soporte con discontinuidades) y parabólicos (describen problemas de difusión dependientes del tiempo). Al resolver estas ecuaciones diferenciales, se deben proporcionar condiciones iniciales y/o límites. En función del tipo de EDP, se pueden evaluar los insumos necesarios. Los ejemplos de PDE en cada categoría incluyen la ecuación de Poisson (elíptica), la ecuación de onda (hiperbólica) y la Ley de Fourier (parabólica).,

hay dos enfoques principales para resolver Eliptic pde’s – análisis de diferencias finitas (FDA) y métodos variacionales (o de energía). FEA cae en la segunda categoría de métodos variacionales. Los enfoques variacionales se basan principalmente en la filosofía de minimización de energía.

Los PDE hiperbólicos se asocian comúnmente con saltos en soluciones., La ecuación de onda, por ejemplo, es un PDE hiperbólico. Debido a la existencia de discontinuidades (o saltos) en las soluciones, se creía que la tecnología original de Fea (o método Bubnov-Galerkin) no era adecuada para resolver PDE hiperbólicos.

es importante considerar la consecuencia de utilizar un marco numérico que no es adecuado para el tipo de PDE que se elige. Tal uso conduce a soluciones que se conocen como»impropiamente planteadas»., Esto podría significar que pequeños cambios en los parámetros del dominio conducen a grandes oscilaciones en las soluciones o las soluciones existen solo en una cierta parte del dominio o tiempo. Estos no son confiables. Las soluciones bien planteadas se definen con una única, que existe continuamente para los datos definidos. Por lo tanto, teniendo en cuenta la fiabilidad, es extremadamente importante obtenerlos.

La formulación débil y fuerte

los modelos matemáticos de conducción de calor y elastostáticos cubiertos en esta serie consisten en ecuaciones diferenciales (parciales) con condiciones iniciales y de contorno., Esto también se conoce como la llamada forma fuerte del problema. Algunos ejemplos de «formas fuertes» se dan en la siguiente ilustración:

Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden exigen un alto grado de suavidad para la solución \(u(x)\). Eso significa que la segunda derivada del desplazamiento tiene que existir y tiene que ser continua! Esto también implica requisitos para parámetros que no pueden ser influenciados como la geometría (bordes afilados) y los parámetros del material (módulo diferente en un material).,

para desarrollar la formulación de elementos finitos, las ecuaciones diferenciales parciales deben ser reformuladas en una forma integral llamada forma débil. La forma débil y la forma fuerte son equivalentes! En el análisis de estrés, la forma débil se llama el principio del trabajo virtual.

int ^ l_0 \ frac {DW} {DX} AE \ frac {du} {dx}dx = (wa\overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \forall w~with ~w(L)=0 \TAG{3}

la ecuación dada es la llamada forma débil (en este caso la formulación débil para elastostáticos)., El nombre indica que las soluciones a la forma débil no necesitan ser tan suaves como las soluciones de la forma fuerte, lo que implica requisitos de continuidad más débiles.

Hay que tener en cuenta que la solución que satisface la forma débil es también la solución de la contraparte fuerte de la ecuación. Además, recuerde que las soluciones de prueba \(u (x)\) deben satisfacer las condiciones de contorno de desplazamiento. Esta es una propiedad esencial de las soluciones de prueba y es por eso que llamamos a esas condiciones de frontera condiciones de frontera esenciales.

¿te interesan estas formulaciones?, En caso afirmativo, por favor lea más en el tema del foro sobre la equivalencia entre la formulación débil y fuerte del SEEP para el AEF.

energía potencial mínima

El análisis de elementos finitos también se puede ejecutar con el principio de variación. En el caso de los elastostáticos unidimensionales, el mínimo de energía potencial es resistente para los sistemas conservadores. La posición de equilibrio es estable si la energía potencial del sistema \(\Pi\) es mínima. Cada perturbación infinitesimal de la posición estable conduce a un estado energético desfavorable e implica una reacción restauradora., Un ejemplo fácil es una botella de vidrio normal que está de pie en el suelo, donde tiene una energía potencial mínima. Si se cae, no va a pasar nada, excepto un ruido fuerte. Si está de pie en la esquina de una mesa y cae al suelo, es bastante probable que se rompa, ya que lleva más energía hacia el suelo. Para el principio de variación, hacemos uso de este hecho. Cuanto menor sea el nivel de energía, menor será la probabilidad de obtener la solución equivocada., El potencial total de energía \(\Pi\) de un sistema consiste en el trabajo de las fuerzas internas (energía de deformación)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)a(x) \left(\frac{du}{dx} \derecho)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon Una(x)} dx \etiqueta{4}$$

y el trabajo de las fuerzas externas

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \etiqueta{5}$$

La energía total es:

$$\Pi = A_i – A_a \etiqueta{6}$$

Encontrar más información sobre el mínimo de la energía potencial en nuestro relacionadas con el tema del foro.,

convergencia de malla

uno de los problemas más pasados por alto en la mecánica computacional que afectan la precisión es la convergencia de malla. Esto está relacionado con lo pequeños que deben ser los elementos para garantizar que los resultados de un análisis no se vean afectados por el cambio del tamaño de la malla.

La figura anterior muestra la convergencia de una cantidad con un aumento en los grados de libertad. Como se muestra en la figura, es importante identificar primero la cantidad de interés. Al menos tres puntos deben ser considerados y a medida que aumenta la densidad de la malla, la cantidad de interés comienza a converger a un valor particular. Si dos refinamientos de malla posteriores no cambian el resultado sustancialmente, entonces uno puede asumir que el resultado ha convergido.,

entrando en la cuestión del refinamiento de la malla, no siempre es necesario que se Refine la malla en todo el modelo. El principio de San venante hace cumplir que las tensiones locales en una región no afectan las tensiones en otros lugares. Por lo tanto, desde un punto de vista físico, el modelo puede ser refinado solo en regiones particulares de interés y además tener una zona de transición de malla gruesa a fina., Hay dos tipos de refinamientos (h-y P-refinamiento) como se muestra en la figura anterior. h-refinamiento se refiere a la reducción en los tamaños de los elementos, mientras que p-refinamiento se refiere a aumentar el orden del elemento.

aquí es importante distinguir entre efecto geométrico y convergencia de malla, especialmente cuando el mallado de una superficie curva usando elementos rectos (o lineales) requerirá más elementos (o refinamiento de malla) para capturar el límite exactamente., El refinamiento de la malla conduce a una reducción significativa en los errores:

un refinamiento como este puede permitir un aumento en la convergencia de soluciones sin aumentar el tamaño del Problema general que se está resolviendo.

¿Cómo medir la convergencia?,

así que ahora que se ha discutido la importancia de la convergencia, ¿cómo se puede medir la convergencia? ¿Qué es una medida cuantitativa de convergencia? La primera forma sería comparar con soluciones analíticas o resultados experimentales.

Error de los desplazamientos:

$ $ E_U = u-u ^ h \Tag {7}

donde \(u\) es la solución analítica para el campo de desplazamiento.

Error de las cepas:

$ $ e_\epsilon = \ Epsilon – \epsilon ^ h \tag {8}

donde \(\EPSILON\) es la solución analítica para el campo de deformación.,

Error de las tensiones:

$ $ e_\sigma = \sigma – \sigma ^ h \tag {9}

donde \(\Sigma\) es la solución analítica para el campo de tensiones.

como se muestra en las ecuaciones anteriores, se pueden definir varios errores para desplazamientos, deformaciones y tensiones. Estos errores podrían utilizarse para la comparación y tendrían que reducirse con el refinamiento de la malla. Obtenga más información sobre cómo se calculan estos errores con las normas respectivas para estas cantidades aquí.,

Análisis de elementos Finitos Software

El análisis de elementos finitos comenzó con una promesa significativa en el modelado de varias aplicaciones mecánicas relacionadas con la ingeniería aeroespacial y civil. Las aplicaciones del método de elementos finitos están empezando a alcanzar su potencial., Una de las perspectivas más interesantes es su aplicación a problemas acoplados como la interacción fluido-estructura; problemas Termomecánicos, termoquímicos, Termomecánicos piezoeléctricos, ferroeléctricos, electromagnéticos y otras áreas relevantes:

estático

con el análisis estático, puede analizar estructuras estáticas lineales y cuasiestáticas no lineales. En un caso lineal con una carga estática aplicada, solo se necesita un solo paso para determinar la respuesta estructural. Se puede tener en cuenta la no linealidad geométrica, de contacto y material. Un ejemplo es una almohadilla de cojinete de un puente.,

Dynamic

El análisis dinámico le ayuda a analizar la respuesta dinámica de una estructura que experimentó cargas dinámicas durante un período de tiempo específico. Para modelar los problemas estructurales de una manera realista, también puede analizar los impactos de las cargas, así como los desplazamientos. Un ejemplo es el impacto de un cráneo humano, con o sin casco.

Modal

Las frecuencias propias y los modos propios de una estructura debido a la vibración se pueden simular mediante el análisis modal. La respuesta de pico de una estructura o sistema bajo una carga dada se puede simular con el análisis armónico., Un ejemplo es el arranque de un motor.

diferentes tipos de método de elementos finitos

como se discutió anteriormente en la sección Sobre eDP, la tecnología tradicional FEM ha demostrado deficiencias en los problemas de modelado relacionados con la mecánica de fluidos, la propagación de ondas, etc. Se han realizado varias mejoras en las últimas dos décadas para mejorar el proceso de solución y ampliar la aplicabilidad del análisis de elementos finitos a un amplio género de problemas., Algunos de los más importantes que todavía se utilizan incluyen:

Extended Finite Element Method (Xfem)

El método Bubnov-Galerkin requiere la continuidad de los desplazamientos a través de los elementos. Problemas como contacto, fractura y daño, sin embargo, involucran discontinuidades y saltos que no pueden ser manejados directamente por métodos de elementos finitos. Para superar esta deficiencia, XFEM nació en la década de 1990. XFEM funciona a través de la expansión de la forma de las funciones con las funciones escalón unitario., Se asignan grados de libertad adicionales a los nodos alrededor del punto de discontinuidad para que se puedan considerar los saltos.

método de elementos finitos generalizados (Gfem)

GFEM se introdujo al mismo tiempo que XFEM en los años 90. combina las características del software FEM tradicional y los métodos sin malla. Las funciones de forma se definen principalmente en las coordenadas globales y se multiplican por partición de unidad para crear funciones de forma elemental locales. Una de las ventajas de GFEM es la prevención del Re-mallado alrededor de singularidades.,

método de elementos finitos mixtos

en varios problemas, como el contacto o la incompresibilidad, se imponen restricciones utilizando multiplicadores de Lagrange. Estos grados adicionales de libertad que surgen de los multiplicadores de Lagrange se resuelven de forma independiente. Las ecuaciones se resuelven como un sistema acoplado.

hp-método de elementos finitos

hp-FEM es una combinación de utilizar el refinamiento automático de malla (h-refinamiento) y el aumento en el orden de polinomios (P-refinamiento). Esto no es lo mismo que hacer refinamientos h y p por separado., Cuando se utiliza hp-refinamiento automático, y un elemento se divide en elementos más pequeños (h-refinamiento), cada elemento puede tener diferentes órdenes polinómicos también.

El método discontinuo de elementos finitos de Galerkin (DG-FEM)

DG-FEM ha mostrado una promesa significativa para el uso de la idea de elementos finitos para resolver ecuaciones hiperbólicas donde los métodos tradicionales de elementos finitos han sido débiles. Además, también se ha mostrado prometedor en problemas de flexión e incompresibles que se observan comúnmente en la mayoría de los procesos materiales., Aquí se agregan restricciones adicionales a la forma débil que incluyen un parámetro de penalización (para evitar la interpenetración) y términos para otro equilibrio de tensiones entre los elementos.

análisis de elementos finitos& SimScale

El componente de software FEA de SimScale le permite probar y predecir virtualmente el comportamiento de estructuras y, por lo tanto, resolver problemas complejos de ingeniería estructural sujetos a condiciones de carga estáticas y dinámicas., La plataforma de simulación FEA utiliza métodos numéricos escalables que pueden calcular expresiones matemáticas que de otro modo serían muy difíciles debido a cargas complejas, geometrías o propiedades del material.

última actualización: 20 de enero de 2021