en matemáticas, el símbolo cuadrado (2) es un operador aritmético que significa multiplicar un número por sí mismo. El «cuadrado» de un número es el producto del número y de sí mismo. Multiplicar un número por sí mismo se llama «cuadrar» el número. La cuadratura de un número es una instancia más específica de la operación de exponenciación general, exponenciación cuando el exponente es 2. Cuadrar un número es lo mismo que elevar ese número a la potencia de dos. La función cuadrada (ƒ (x) = x2) es la inversa de la función raíz cuadrada (ƒ(x)=√x).,
elevar un número n a la potencia de 2 se denomina «cuadratura» porque el número resultante n2 corresponde al área de un cuadrado con lados de longitud n. La función cuadrada es una función extremadamente útil en álgebra, trigonometría y física. En álgebra, la función cuadrada forma la columna vertebral de algunos tipos más simples de polinomios (cuadráticos). En trigonometría, la función cuadrada se utiliza para encontrar los ángulos y longitudes laterales correspondientes de triángulos congruentes, un concepto útil para modelar fenómenos periódicos., En física, la función cuadrada se puede usar para calcular distancias entre dos puntos (en la forma del teorema de Pitágoras) y los fenómenos modelados a menudo toman la forma matemática de una función cuadrada, particularmente ecuaciones que involucran velocidad y aceleración.
cuadratura: lo básico
cuadratura de un número es simple: simplemente multiplique el número por sí mismo: el símbolo 32 solo significa 3×3., En general, para cualquier número n:
n2 = n × n
Además, la plaza de la función tiene la interesante propiedad de que al poner en el inverso aditivo de n le dará el mismo número: que es:
n2 = (−n)2
Estrictamente hablando, cada número positivo es la plaza de exactamente dos, un número positivo y un número negativo. 4 es el cuadrado de 2 y -2. Un número que es el cuadrado de un entero se llama un cuadrado perfecto., En general, cuanto más abajo va la recta numérica, más y más se extiende la distribución de cuadrados perfectos. Esta tendencia se debe a que la función cuadrada crece exponencialmente; es decir, su tasa de crecimiento es proporcional a su Valor Actual.
la inversa de la función cuadrada es la función raíz cuadrada ƒ (x) = √x. la raíz cuadrada de un número n es CUALQUIER a tal que a2 = n. Debido a que tanto un número como su cuadrado inverso aditivo para obtener el mismo resultado, cada número real positivo tiene exactamente 2 raíces +√x y −√X, a veces expresadas como ±√x., En la mayoría de los contextos, «la raíz cuadrada» de un número se refiere solo a su raíz positiva. La definición particular de la función raíz cuadrada hace que ningún número real negativo tenga una raíz cuadrada, ya que ningún número multiplicado por sí mismo producirá un número negativo. Los números negativos tienen raíces cuadradas en el sistema numérico complejo, pero no en el sistema numérico real.
Un gráfico de la función x2 se ve como:
observe cómo el gráfico se refleja perfectamente a lo largo del eje y vertical., La forma del gráfico corresponde al hecho de que cada número real positivo es el cuadrado de un número positivo y negativo (excepto cero). Como tal, es posible que una función en la forma general de la función cuadrada no tenga raíces-no hay n tal que ƒ ( n) = 0. Visualmente, esto significa que algunas funciones cuadradas nunca cruzarán el eje X.
uso de la función cuadrada
Álgebra
la función cuadrada forma la columna vertebral de una clase especial de ecuaciones polinómicas llamadas ecuaciones cuadráticas., Una ecuación cuadrática polinomio de grado 2, es decir, cualquier polinomio de la forma:
ax2 + bx + c
Donde a, b, y c son todos los números reales y a≠0. los Términos A, b y c se llaman coeficiente cuadrático, Lineal y constante, respectivamente. Las ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar para encontrar sus raíces-valores de x para los cuales la ecuación entera es igual a 0., Alternativamente, se puede usar la ecuación cuadrática para resolver las raíces de un polinomio cuadrático:
la ecuación cuadrática es útil para modelar el movimiento, ya que la curva de movimiento acelerado toma la forma de una curva cuadrada. Si algún movimiento tiene una velocidad constante de aceleración, entonces un gráfico de su movimiento será una ecuación cuadrática. La forma geométrica de la función cuadrática se llama parábola.
Geometría
la función cuadrada tiene muchos usos en Geometría. Lo más obvio es que la función square se puede utilizar para encontrar el área de los cuadrados., Es un hecho comúnmente conocido que el área de un cuadrado con lados de longitud n es igual a n2. Esto se desprende de la ecuación para el área de un rectángulo (y paralelogramos más generalmente) donde A = l×w. un cuadrado es simplemente un rectángulo donde la longitud y el ancho son los mismos. El hecho de que el área de un cuadrado es una función cuadrada explica una propiedad sobre el crecimiento del área cuadrada: el área cuadrada cuya longitud es n veces más larga tiene n2 más área.
La cuadratura también se usa para encontrar distancias entre dos puntos en el contexto del teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de los lados de un triángulo rectángulo (un triángulo con un ángulo de 90°) es igual al cuadrado de la hipotenusa (a2+b2=c2). Esta fórmula se puede utilizar para calcular la distancia entre el punto de origen de un eje de coordenadas (0, 0) y cualquier punto arbitrario (x, y). Se puede dibujar una línea que se extiende desde el punto de origen x unidades horizontalmente, luego una línea que se extiende desde ese punto y unidades verticalmente., La forma dibujada será un triángulo rectángulo, y la distancia entre el origen (0, 0) y el punto (x, y) se puede calcular como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con longitudes laterales x e Y.
el teorema de Pitágoras es un caso especial de la Ley de paralelogramo más general que relaciona la longitud de los lados de un paralelogramo con sus diagonales: la Ley de paralelogramo establece que la suma del cuadrado de las longitudes de las longitudes de los cuatro lados es igual a la suma del cuadrado de las diagonales. Digamos que tenemos un paralelogramo con lados AB, BC, CD y DA y diagonales AC y BD., La ley del paralelogramo nos dice que:
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2
dado que en un paralelogramo, los lados opuestos son, por definición, iguales en longitudes, esta ecuación puede ser reescrita como:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
el teorema de Pitágoras cae fuera de esta ecuación en el caso de un rectángulo, donde las diagonales son iguales en longitud.
Trigonometría
La cuadratura también aparece en las leyes que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo con sus ángulos, en la forma de la Ley de cosenos., En pocas palabras, la Ley de cosenos establece que para un triángulo con longitudes a, b y c y ángulos opuestos A, B y C:
c2= a2 + b2 – 2ab×cos(C)
la ley del coseno se puede reescribir para resolver para cada variable dando una ecuación con la misma forma exacta, por lo que la misma ecuación funcionará para cualquier lado. La Ley de cosenos le permite determinar los otros componentes de un triángulo si conoce la longitud de al menos dos lados y un ángulo. La ecuación también se simplifica para dar el teorema de Pitágoras en el caso de triángulos rectángulos. En el caso de triángulos rectángulos ,C C = 90, entonces cos (C) = 0., La parte más a la derecha de la ecuación se cancela, y nos quedamos con c2= a2 + b2
en Física
en física, la función cuadrada a menudo levanta su cabeza en el contexto de ecuaciones que describen la intensidad de alguna cantidad física en función de la distancia. Debido a la geometría 3D del espacio, la intensidad de cualquier cantidad física que irradia hacia afuera en una esfera alrededor de la fuente es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente., Este hecho se desprende de la ley geométrica que el área de superficie de una esfera (4nr2) es directamente proporcional al radio cuadrado (r2) de la esfera.
por ejemplo, la fuerza de gravedad es una fuerza cuadrada inversa ya que la fuerza de la atracción gravitacional entre dos cuerpos es directamente proporcional a la masa de esos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre esos cuerpos., Esto es evidente en la forma matemática de la Ley de gravitación de Newton
Fg= G (M1×m2) /D2
donde m1 y m2 son las masas de los cuerpos y d es la distancia entre sus centros de gravedad. Por cierto, la fuerza de atracción electrostática entre dos cuerpos también toma la forma de una ley de cuadrados inversos, así como la intensidad medida de la luz medida desde una fuente puntual.
la notación cuadrada también se usa para definir unidades de medida en física. Por ejemplo, la aceleración, la tasa de cambio de velocidad, se mide en la unidad m / s2., Esto se puede leer «metros por segundo por segundo.»Si la velocidad es el cambio en la distancia con respecto al tiempo, entonces la aceleración es el cambio en la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es una medida de cuánta velocidad está cambiando en cada punto de movimiento. Si mi aceleración es 6 m/s2, esto significa que mi velocidad (m / s) está aumentando en 6 por cada segundo de movimiento, por lo tanto metros por segundo por segundo.