mikä on FEA / Finite Element Analysis?

Finite Element Analysis (FEA) on simulaatio tahansa fyysinen ilmiö käyttäen numeerista tekniikkaa kutsutaan Finite Element Method (FEM). Insinöörit käyttävät FEA-ohjelmisto vähentää fyysisiä prototyyppejä ja kokeiluja ja optimoida osia niiden suunnitteluvaiheessa kehittää parempia tuotteita, nopeammin ja säästää kuluja.,

– Se on tarpeen käyttää matematiikan kattavasti ymmärtää ja mitata kaikki fysikaaliset ilmiöt, kuten rakenteellinen tai nesteen käyttäytyminen, lämpö-ja liikenne -, aalto lisääminen, kasvu biologiset solut, jne. Useimmat näistä prosesseista kuvataan Osittaisdifferentiaaliyhtälöillä (PDEs). Kuitenkin, tietokone ratkaisemaan näitä PDEs, numeerisia tekniikoita on kehitetty viime vuosikymmeninä ja yksi merkittävimmistä niistä, tänään, on Äärellinen Elementti Analyysi.,

Differentiaaliyhtälöt paitsi kuvaavat luonnonilmiöitä, myös tekniikan mekaniikassa kohdattuja fysikaalisia ilmiöitä. Nämä osittainen differential equations (PDEs) ovat monimutkaisia yhtälöitä, jotka on ratkaistava, jotta voidaan laskea tarvittavat suureet rakenteen (kuten korostetaan (\(\epsilon\)), kantoja (\(\epsilon\)), jne.) arvioidakseen rakennekäyttäytymistä tietyssä kuormituksessa. On tärkeää tietää, että FEA vain antaa likimääräisen ratkaisun ongelmaan ja on numeerinen lähestymistapa saada todellinen tulos näiden osittaisten differential equations., Yksinkertaistettu, FEA on numeerinen menetelmä, jota käytetään ennustamiseen, miten osa tai kokoonpano käyttäytyy tietyissä olosuhteissa. Sitä käytetään nykyaikaisen simulointiohjelmiston perustana ja se auttaa insinöörejä löytämään heikkoja kohtia, jännitteitä jne. suunnitelmissaan. FEA-menetelmään perustuvan simulaation tulokset kuvataan yleensä väriasteikolla, joka näyttää esimerkiksi painejakauman kohteen yli.

Riippuen näkökulmasta, FEA voidaan sanoa, että sen alkuperä työssä Euler, jo 16-luvulla., Kuitenkin aikaisintaan matemaattisia papereita, elementtimenetelmällä Analyysi löytyy teoksia Schellbach ja Courant .

FEA oli itsenäisesti kehittänyt insinöörit eri toimialoilla käsitellä rakenteiden mekaniikan ongelmia, jotka liittyvät ilmailu-ja vesirakentaminen. Kehityksen tosielämän sovelluksia alkoi noin 1950-luvun puolivälissä, kuten papereita, joita Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris , ja Babuska & Aziz ssa., Kirjoja Zienkiewicz ja Strang & Korjata myös loi perustan tulevalle kehitykselle FEA-ohjelmisto.

Divide and Conquer

voidakseen tehdä simulaatioita, mesh, joka koostuu jopa miljoonia pieniä elementtejä, jotka yhdessä muodostavat muodon rakenne, pitää olla luotu., Laskelmat tehdään jokaisesta elementistä. Yksittäisten tulosten yhdistäminen antaa meille rakenteen lopputuloksen. Lähennetään me juuri mainitsi, ovat yleensä polynomi ja itse asiassa, interpolointi yli-elementti(s). Tämä tarkoittaa, että tunnemme arvot tietyissä kohdissa elementin sisällä, mutta emme joka kohdassa. Näitä ”tiettyjä kohtia” kutsutaan nodaalipisteiksi ja ne sijaitsevat usein elementin rajalla. Tarkkuus, jolla muuttuja muuttuu, ilmaistaan jollakin approksimaatiolla esim. lineaarinen, nelikulmainen, kuutiollinen jne., Jotta saisimme paremman käsityksen lähentämistekniikoista, tarkastelemme yksiulotteista palkkia. Harkitse todellinen lämpötila jakelu-T(x) pitkin bar kuva alla:

oletetaan, että tiedämme lämpötila bar 5 erityisiä kantoja (Numerot 1-5.kuva)., Nyt kysymys kuuluu: miten voimme ennustaa lämpötilan näiden pisteiden välissä? Lineaarinen approksimaatio on melko hyvä, mutta on olemassa parempia mahdollisuuksia edustaa todellista lämpötilan jakautuminen. Jos valitsemme neliön approksimaation, lämpötilan jakauma tankoa pitkin on paljon sileämpi. Kuitenkin näemme, että polynomiasteesta riippumatta jakautuminen tangon yli tiedetään, kun tiedämme arvot nodaalipisteissä. Jos meillä olisi ääretön baari, meillä olisi ääretön määrä tuntemattomia (vapausasteet (DOF))., Mutta tässä tapauksessa, meillä on ongelma ”rajallinen” määrä tuntemattomia:

– järjestelmä, jossa on äärellinen määrä tuntemattomia kutsutaan diskreetti järjestelmä. Järjestelmää, jossa on ääretön määrä tuntemattomia, kutsutaan jatkuvaksi järjestelmäksi.

Varten likiarvoja voimme löytää seuraavia suhteessa alan määrä \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

linja kuvitettu yläosassa näkyy tämä periaate 1D ongelma., \(u\) voi edustaa lämpötilaa sauvan pituudella, jota kuumennetaan epäyhtenäisesti. Meidän tapauksessamme X-akselin varrella on neljä elementtiä, joissa funktio määrittelee lineaarisen likiarvon lämpötilasta, joka on kuvattu pisteillä viivaa pitkin.

Yksi suurimmista eduista joita meillä on, kun käyttää Äärellinen Elementti Analyysi on, että me voi joko vaihdella diskretointi per elementti tai discretize vastaava pohjalta toimintoja. De facto voisimme käyttää pienempiä elementtejä alueilla, joilla odotetaan korkeita kaltevuuksia \(u\)., Funktion jyrkkyyden mallintamiseksi meidän on tehtävä likiarvoja.

Osittainen Differential Equations

Ennen kuin jatkat FEA itse, se on tärkeää ymmärtää erilaisia PDEs, ja niiden soveltuvuus FEA. Tämän ymmärtäminen on tärkeää kaikille, riippumatta siitä, yksi on motivaatio käyttää äärellinen elementti analyysi. Pitää jatkuvasti muistuttaa, että FEA-ohjelmisto on työkalu ja mikä tahansa työkalu on vain yhtä hyvä kuin sen käyttäjä.,

PDE on voidaan luokitella ellipsinmuotoinen (ovat aivan sileä), hyperbolinen (tuki ratkaisuja epäjatkuvuuskohtia), ja parabolinen (kuvaavat aika-riippuvainen diffuusio ongelmia). Ratkaistaessa näitä differential equations raja ja / tai alkuperäiset ehdot on annettava. PDE-tyypin perusteella voidaan arvioida tarvittavat panokset. Esimerkkejä PDE: n kussakin kategoriassa ovat Poisson-yhtälö (ellipsinmuotoinen), Aaltoyhtälö (hyperbolinen) ja Fourier-laki (parabolinen).,

On olemassa kaksi pääasiallista lähestymistapaa ratkaista ellipsinmuotoinen PDE on – Rajallinen Ero-Analyysi (FDA) ja Variational (tai Energia) Menetelmiä. FEA kuuluu variaatiomenetelmien toiseen luokkaan. Variaatiomenetelmät perustuvat ensisijaisesti energian minimoinnin filosofiaan.

hyperboliset PDE: t liittyvät yleisesti ratkaisuissa tapahtuviin hyppyihin., Aaltoyhtälö on esimerkiksi hyperbolinen PDE. Koska olemassaolo epäjatkuvuuskohtia (tai hyppyjä) ratkaisuja, alkuperäinen FEA-tekniikka (tai Bubnov-Galerkin-Menetelmä) uskottiin olevan sopimaton ratkaisemaan hyperbolinen PDE on. Kuitenkin vuosien varrella, muutoksia on kehitetty laajentamaan sovellettavuus FEA-ohjelmisto ja teknologia.

on tärkeää ottaa huomioon, mitä seuraa, kun käytetään numeerista kehystä, joka ei sovellu valitulle PDE-tyypille. Tällainen käyttö johtaa ratkaisuihin, jotka tunnetaan nimellä ”väärin esitetty”., Tämä voi tarkoittaa, että pienet muutokset domain parametrit johtavat suuret heilahtelut ratkaisuja tai ratkaisuja olemassa vain tietyllä osa-alueella tai aikaa. Nämä eivät ole luotettavia. Hyvin poseeratut ratkaisut on määritelty ainutlaatuisella, joka on olemassa jatkuvasti määritellyille tiedoille. Siksi, kun otetaan huomioon luotettavuus, on erittäin tärkeää saada ne.

Heikko ja Vahva Muotoilu

matemaattisia malleja lämmön johtuminen ja elastostatics peitossa tämä sarja muodostuu (osittainen) differential equations perus-sekä reunaehdot., Tätä kutsutaan myös ongelman niin sanotuksi vahvaksi muodoksi. Seuraavassa kuvituksessa esitetään muutamia esimerkkejä ”vahvoista muodoista”:

toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöt vaativat ratkaisulle suurta tasaisuutta \(u(X)\). Tämä tarkoittaa, että siirtymän toisen derivaatan on oltava olemassa ja sen on oltava jatkuvaa! Tämä merkitsee myös sitä, vaatimukset parametrit, joita ei voida vaikuttaa, kuten geometria (teräviä kulmia) ja materiaalin parametrit (eri kimmokerroin materiaali).,

kehittää finite element muotoilu, osittainen differential equations on oikaistu olennainen muotoa kutsutaan heikko muodossa. Heikko muoto ja vahva muoto ovat samanarvoisia! Stressianalyysissä heikkoa muotoa kutsutaan virtuaalityön periaatteeksi.

$$\int^l_0\frac{dx}{dx}AE\frac{du}{dx}dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \saatkaikki w~kanssa ~w(l)=0 \tag{3}$$

koska yhtälö on ns. heikko muoto (tässä tapauksessa heikko muotoilu elastostatics)., Nimen mukaan heikon muodon ratkaisujen ei tarvitse olla yhtä sujuvia kuin vahvan muodon ratkaisujen, mikä tarkoittaa heikompia jatkuvuusvaatimuksia.

pitää muistaa, että heikkoa muotoa täyttävä ratkaisu on myös yhtälön vahvan vastineen ratkaisu. Muista myös, että oikeudenkäynti ratkaisut \(u(x)\) on täytettävä siirtymä reunaehdot. Tämä on olennainen ominaisuus oikeudenkäynnin ratkaisuja ja tämä on miksi me kutsumme niitä reunaehdot olennaiset reunaehdot.

kiinnostavatko nämä muotoilut sinua?, Jos kyllä, lue lisää foorumin aiheesta vastaavuudesta heikko ja vahva muotoilu PDEs FEA.

Minimipotentiaalienergia

Finiittielementtianalyysi voidaan suorittaa myös Variaatioperiaatteella. Yksiulotteisissa elastostaateissa potentiaalienergian vähimmäismäärä kestää konservatiivisia järjestelmiä. Tasapainotila on vakaa, jos järjestelmän potentiaalienergia \(\pi\) on minimissä. Jokainen äärettömän pieni häiriö vakaa asema johtaa energinen epäsuotuisa valtion ja merkitsee palauttaa reaktio., Helppo esimerkki on maassa seisova normaali lasipullo, jossa on mahdollisimman vähän potentiaalienergiaa. Jos se kaatuu, mitään ei tapahdu, paitsi kova ääni. Jos se seisoo nurkassa pöydän ja putoaa maahan, se on melko todennäköisesti rikkoa, koska se kuljettaa enemmän energiaa kohti maata. Variaatioperiaatteen osalta hyödynnämme tätä tosiasiaa. Alempi energiataso, sitä epätodennäköisempää on saada väärä ratkaisu., Yhteensä potentiaalienergia \(\Pi\) järjestelmä koostuu työn sisäinen voimat (strain energy)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon(x)} dx \tag{4}$$

ja työn ulkoiset voimat

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma se} \tag{5}$$

koko energia on:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

Löytää lisää pienin mahdollinen energia meidän liittyvän aiheen.,

Mesh Lähentyminen

Yksi kaikkein unohtaa asioita laskennallinen mekaniikka, jotka vaikuttavat tarkkuus on mesh lähentymistä. Tämä liittyy siihen, kuinka pieniä osatekijöiden on oltava, jotta voidaan varmistaa, että verkon koon muuttaminen ei vaikuta analyysin tuloksiin.

– yllä Oleva kuva näyttää lähentymistä määrä kasvaa vapausasteita. Kuten kuvassa on kuvattu, on tärkeää ensin tunnistaa kiinnostuksen määrä. Vähintään kolme pistettä on otettava huomioon ja mesh tiheys kasvaa, määrä kiinnostusta alkaa lähentyä tiettyä arvoa. Jos kaksi myöhempää silmäkokoa ei muuta tulosta merkittävästi, voidaan olettaa, että tulos on lähentynyt.,

Menossa osaksi kysymys mesh hienostuneisuus, se ei ole aina välttämätöntä, että mesh koko malli on hienostunut. St. Venantin periaate edellyttää, että yhden alueen paikalliset paineet eivät vaikuta muualla vallitseviin rasituksiin. Näin ollen, fyysisestä näkökulmasta, malli voi olla hienostunut vain erityisesti alueet kiinnostavat ja edelleen on siirtyminen vyöhyke karkeasta hieno mesh., On olemassa kahdenlaisia tarkennuksia (h-ja p-hienosäätö) kuten yllä olevassa kuvassa. h-hienosäätö liittyy elementtikokojen pienenemiseen, kun taas p-hienosäätö liittyy elementin järjestyksen lisäämiseen.

Tässä on tärkeää erottaa toisistaan geometrinen vaikutus ja mesh lähentymistä, varsinkin kun meshing kaareva pinta käyttäen suoraan (tai lineaarinen) elementit vaativat enemmän elementtejä (tai mesh hienostuneisuus) kaapata raja tarkalleen., Mesh hienostuneisuus johtaa huomattavaan vähenemiseen virheitä:

Hienostuneisuus, kuten tämä voi salli lisätä lähentymistä ratkaisuja lisäämättä kokoa yleinen ongelma on ratkaistu.

miten konvergenssia mitataan?,

joten nyt kun lähentymisen tärkeydestä on keskusteltu, miten lähentymistä voidaan mitata? Mikä on lähentymisen määrällinen toimenpide? Ensimmäinen tapa olisi verrata analyyttisiin ratkaisuihin tai kokeellisiin tuloksiin.

Virhe Siirtymät:

$$e_u = u – u^s \tag{7}$$

missä \(u\) on analyyttisen ratkaisun siirtymä-kenttään.

Virhe Kannat:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^s \tag{8}$$

missä \(\epsilon\) on analyyttinen ratkaisu kanta-kenttään.,

Virhe Korostaa:

$$e_\sigma = \sigma \sigma^s \tag{9}$$

missä \(\sigma\) on analyyttinen ratkaisu stressiä alalla.

Kuten on esitetty yhtälöt edellä, on useita virheitä voidaan määrittää siirtymät, kantoja, ja korostaa. Näitä virheitä voitaisiin käyttää vertailuun, ja niitä olisi vähennettävä mesh-hienosäädöllä. Lue lisää siitä, miten nämä virheet lasketaan näiden määrien vastaavilla normeilla täällä.,

Finite Element Analysis Software

Äärellinen Elementti Analyysi alkoi merkittävä lupaus mallinnus useita mekaanisia sovelluksia, jotka liittyvät ilmailu-ja vesirakentaminen. Äärellisen elementtimenetelmän sovellukset ovat vasta pääsemässä potentiaaliinsa., Yksi mielenkiintoisimmista näkymät on sen soveltaminen yhdistettynä ongelmia, kuten neste-rakenne vuorovaikutus; thermo-mekaaninen, lämpö-kemialliset, lämpö-chemo-mekaanisia ongelmia, pietsosähköiset, ferroelectric, sähkömagnetiikan ja muut asiaan liittyvät alueet:

Static

staattinen analyysi, voit analysoida lineaarinen staattinen ja epälineaarinen kvasistaattinen rakenteita. Lineaarisessa tapauksessa, jossa käytetään staattista kuormitusta, tarvitaan vain yksi vaihe rakenteellisen vasteen määrittämiseksi. Geometrinen, kontakti ja materiaalin epälineaarisuus voidaan ottaa huomioon. Esimerkkinä voidaan mainita sillan laakeripesä.,

dynaaminen

dynaaminen analyysi auttaa analysoimaan dynaamisen kuormituksen kokeneen rakenteen dynaamista vastetta tietyssä ajassa. Voit mallintaa rakenteelliset ongelmat realistisella tavalla, voit myös analysoida kuormien vaikutuksia sekä siirtymiä. Esimerkkinä voidaan mainita ihmisen kallon isku kypärän kanssa tai ilman.

Modaalinen

Eigenfrequencies ja eigenmodes rakenteen tärinästä, voidaan simuloida käyttämällä modaalinen analyysi. Tietyn kuormituksen alaisen rakenteen tai järjestelmän huippuvastetta voidaan simuloida harmonisella analyysillä., Esimerkkinä voidaan mainita moottorin käynnistäminen.

Erilaisia Finite Element Method

Kuten aiemmin jaksossa PDEs, perinteinen FEM-teknologia on osoittanut puutteita mallintamiseen liittyviä ongelmia virtausmekaniikka, aalto lisääminen, jne. Useita parannuksia on tehty kahden viime vuosikymmenen aikana parantaa ratkaisu prosessi ja laajentaa sovellettavuus elementtimenetelmällä analyysi laaja genre ongelmia., Joitakin tärkeitä asioita yhä olla käytetty ovat:

Laajennettu Finite Element Method (XFEM)

Bubnov-Galerkin menetelmä vaatii jatkuvuutta siirtymät eri elementtejä. Ongelmia, kuten yhteystiedot, murtuma, ja vahingosta, kuitenkin, liittyy epäjatkuvuuksia ja hyppyjä, joita ei voi suoraan hoitaa elementtimenetelmät. Voittaa tämän puutteen, XFEM oli syntynyt 1990-luvulla. XFEM toimii laajentamalla muoto toimintoja Heaviside step toiminnot., Ylimääräiset vapausasteet osoitetaan epäjatkuvuuden pisteen ympärillä oleviin solmuihin, jotta hyppyjä voidaan harkita.

Yleistynyt Finite Element Method (GFEM)

GFEM otettiin käyttöön samoihin aikoihin kuin XFEM 90-luvulla. Siinä yhdistyvät ominaisuudet perinteisen FEM-ohjelmisto ja meshless menetelmiä. Muotofunktiot määritellään ensisijaisesti maailmanlaajuisissa koordinaateissa ja kerrotaan edelleen yhtenäisyyden jakamisella paikallisten elementtimuotofunktioiden luomiseksi. Yksi GFEM: n eduista on singulariteettien uudelleenmuotoilun estäminen.,

Sekafiniittielementtimenetelmä

useissa ongelmissa, kuten kosketuksessa tai keskeneräisyydessä, asetetaan rajoituksia Lagrangen kertoimilla. Nämä Lagrangen kertoimista johtuvat ylimääräiset vapausasteet ratkaistaan itsenäisesti. Yhtälöt ratkaistaan kuin kytketty järjestelmä.

hp-Finite Element Method

hp-FEM on yhdistelmä käyttäen automaattista mesh hienostuneisuus (s-jalostus) ja lisätä järjestyksessä polynomi (p-jalostus). Tämä ei ole sama asia kuin h – ja p – tarkennusten tekeminen erikseen., Kun käytetään automaattista hp-hienostuneisuutta ja elementti jaetaan pienempiin alkuaineisiin (h-hienostuneisuus), jokaisella alkuaineella voi olla myös erilaiset polynomitilaukset.

Epäjatkuva Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM on osoittanut merkittäviä lupaa käyttää ajatusta elementtisuunnittelun ratkaisemiseksi hyperbolic yhtälöt, joissa perinteinen elementtimenetelmät on ollut heikko. Lisäksi, se on myös osoittanut lupaus taivutus ja incompressible ongelmia, jotka ovat yleisesti todettu useimmissa materiaali prosesseja., Täällä lisärajoituksia lisätään heikko muodossa, jotka sisältävät rangaistus parametri (estää vuorovaikutusta) ja muut ehdot tasapainon korostaa elementtien välillä.

elementtimenetelmällä Analyysi & SimScale

FEA-ohjelmisto osa SimScale avulla voit käytännössä testata ja ennustaa käyttäytymistä rakenteita ja siten ratkaista monimutkaisia rakennesuunnittelu ongelmia kohdistuu staattinen ja dynaaminen lastaus ehtoja., FEA simulointi alustan käyttää skaalautuva numeerisia menetelmiä, joilla voidaan laskea matemaattisia lausekkeita, joka muuten olisi erittäin haastavaa, koska monimutkainen lastaus, geometriat, tai materiaalin ominaisuuksia.

Viimeksi päivitetty: tammikuu 20, 2021