Mitä Ovat Conic Jaksoissa?
– Conic pääluokat saadaan leikkauspiste pinta kartio kone, ja on tiettyjä ominaisuuksia.,
Oppimisen Tavoitteet
Kuvaile osat kartioleikkauksen ja miten conic pääluokat voidaan ajatella poikkileikkaus double-kartio
Key Takeaways
– Näppäintä Pistettä
- On kartioleikkauksen (tai yksinkertaisesti conic) on käyrä, joka saadaan, kun risteyksessä pinta kartio kone; kolme tyyppiä ovat paraabelit, ellipsi, ja hyperbolas.
- koordinaattitasolla voidaan piirtää kartiomainen osio.
- jokaisella conic-osiolla on tiettyjä ominaisuuksia, kuten ainakin yksi focus ja directrix., Parabolas on yksi painopiste ja johtosuoran, kun ellipsejä ja hyperbolas on kaksi kutakin.
- conic osa on asetettu pistettä P, jonka
etäisyys painopiste on jatkuvasti useita etäisyys P johtosuora conic.
Keskeisistä Ehdoista
- vertex: äärimmäinen pisteen conic-osiossa.
- asymptote: suora viiva, joka käyrä lähestyy mielivaltaisesti läheltä, kun se menee äärettömyyteen.
- locus: kaikkien pisteiden joukko, joiden koordinaatit täyttävät tietyn yhtälön tai ehdon.,
- painopiste: piste, käytetään rakentaa ja määritellä kartioleikkauksen, jossa säteet heijastuu käyrä lähentyvät (monikko: pesäkkeitä).
- nappe: tuplakartion puolikas.
- kartioleikkauksen: mikä Tahansa käyrä, joka muodostuu risteyksessä kone kartio kaksi nappes.
- johtosuoran: rivi käytetään rakentaa ja määritellä kartioleikkauksen; paraabeli on yksi johtosuoran; ellipsejä ja hyperbolas on kaksi (monikko: directrices).,
Määritellään Conic Pääluokat
kartioleikkauksen (tai yksinkertaisesti kartioleikkaus) on käyrä, joka saadaan, kun risteyksessä pinta kartio kone. Kolmenlaisia conic pääluokat ovat hyperbeli, paraabeli ja ellipsi. Ympyrä on tyypiltään ellipsi, ja sitä pidetään joskus neljäntenä kartiolohkotyyppinä.
Conic-osiot voidaan tuottaa risteyttämällä taso kartion kanssa. Kartiossa on kaksi samanmuotoista osaa, joita kutsutaan napeiksi. Yksi nappe on mitä useimmat ihmiset tarkoittavat ”kartio”, ja on muoto puolue hattu.,
– Conic pääluokat syntyvät risteyksessä kone kartio. Jos taso on yhdensuuntainen vallankumouksen akselin (y-akselin) kanssa, niin koninen osa on hyperbola. Jos kone on yhdensuuntainen generointilinjan kanssa, conic-osio on paraabeli. Jos taso on kohtisuorassa vallankumouksen akseliin nähden, conic-osio on ympyrä. Jos taso leikkaa yhden napen kulmassa akseliin nähden (muu kuin 90^{\circ}), niin conic-osa on ellipsi.,
kartio ja conic pääluokat: N nappes ja neljä conic jaksoissa. Jokainen conic määritetään kulmasta, jonka taso tekee kartion akselilla.
Yhteiset Osat Conic Pääluokat
Vaikka jokainen tyyppi kartioleikkauksen näyttää hyvin erilaisia, niillä on joitakin yhteisiä piirteitä. Esimerkiksi jokaisella tyypillä on vähintään yksi focus ja directrix.
fokus on kohta, josta koneellinen osa on rakennettu. Toisin sanoen se on piste, josta käyrästä heijastuvat säteet yhtyvät., Paraabelilla on yksi fokus, josta muoto on rakennettu; ellipsillä ja hyperbolalla on kaksi.
directrix on linja, jota käytetään konisen osan muodostamiseen ja määrittelyyn. Etäisyys johtosuoran pisteestä kartioleikkauksen on jatkuva suhde etäisyys, että pisteen painopiste. Kuten focus, paraabeli on yksi directrix, kun taas ellipsejä ja hyperboloja on kaksi.
Nämä ominaisuudet, että conic pääluokat osuus on usein esitetty seuraava määritelmä, jota kehitetään edelleen seuraavassa luvussa., Conic osa on lokus pisteiden P, jonka etäisyys painopiste on jatkuvasti useita etäisyys P johtosuora conic. Nämä etäisyydet esitetään oransseina viivoina kunkin kartioleikkauksen kohdalla seuraavassa kaaviossa.
Osat conic pääluokat: kolme conic pääluokat kanssa pesäkkeitä ja directrices merkitty.
Jokaisella kartioleikkauksen on kuvattu tarkemmin alla.,
Paraabeli
paraabeli on asetettu kaikki pisteet, joiden etäisyys a kiinteä piste, jota kutsutaan keskittyä, on yhtä suuri kuin etäisyys a kiinteä linja, jota kutsutaan johtosuoran. Pisteen puolivälissä painopiste ja directrix kutsutaan huippupiste paraabeli.
seuraavassa kuva, neljä paraabelit ovat piirretään kuin ne näkyvät koordinaattitasossa. Ne voivat avautua ylös, alas, vasemmalle tai oikealle.
Neljä parabolas, avaaminen eri suuntiin: vertex sijaitsee midpoint välillä johtosuoran ja keskittyä.,
ellipsit
ellipsi on kaikkien pisteiden joukko, joille kahden kiinteän pisteen (pesäkkeiden) etäisyyksien summa on vakio. Ellipsin tapauksessa on kaksi pesäkettä ja kaksi suuntausta.
seuraavassa kuvassa on kuvioitu tyypillinen ellipsi, koska se esiintyy koordinaatistossa.
Ellipsi: summa etäisyydet mistä tahansa pisteestä ellipsin pesäkkeitä on vakio.,
Hyperbolas
hyperbeli on asetettu kaikki kohdat, joissa ero niiden etäisyydet kaksi kiinteää pistettä (pesäkkeitä) on jatkuva. Hyperbolassa on kaksi pesäkettä ja kaksi suuntausta. Hyperboloissa on myös kaksi asymptoottia.
seuraavassa kuvassa on kuvaaja tyypillisestä hyperbolasta.
Hyperbeli: ero etäisyydet mistä tahansa pisteestä ellipsin pesäkkeitä on vakio. Poikittaisen akselin kutsutaan myös pääakseli, ja konjugaatti-akseli kutsutaan myös pieniä akselilla.,
Conic-osioiden sovelluksia
Conic-osioita käytetään monilla tutkimusaloilla, erityisesti muotojen kuvaamisessa. Niitä käytetään esimerkiksi tähtitieteessä kuvaamaan avaruudessa olevien kappaleiden kiertoratojen muotoja. Kaksi massiivinen esineitä avaruudessa, jotka ovat vuorovaikutuksessa mukaan Newtonin lain yleisen gravitaatio voi liikkua kiertoradat, jotka ovat muodoltaan conic jaksoissa. Ne saattoivat seurata ellipsejä, paraabeleita tai hyperboleja ominaisuuksiensa mukaan.
Eksentrisyys
Jokainen kartioleikkauksen on jatkuva eksentrisyys, joka tarjoaa tietoa sen muoto.,
Oppimisen Tavoitteet
Keskustelkaa siitä, kuinka eksentrisyys on kartioleikkauksen kuvaa sen käyttäytymistä
Key Takeaways
– Näppäintä Pistettä
- Eksentrisyys on parametri, joka liittyy jokaisen kartioleikkauksen, ja voidaan ajatella
yhtä mittaa, kuinka paljon kartioleikkauksen poikkeaa olla pyöreä. - eksentrisyys on kartioleikkauksen on määritelty etäisyys mistä tahansa kartioleikkauksen sen painopiste, jaettuna kohtisuora etäisyys tästä pisteestä lähimpään johtosuoran.,
- E: n arvoa voidaan käyttää konisen osion tyypin määrittämiseen. Jos e= 1, on paraabeli, jos e < 1 se on ellipsi, ja jos e > 1 kyseessä on hyperbeli.
Keskeisistä Ehdoista
- eksentrisyys: parametri conic osa, joka kuvaa, kuinka paljon kartioleikkauksen poikkeaa olla pyöreä.
Määritellään Eksentrisyys
eksentrisyys, merkitään e, on parametri, joka liittyy jokaisen kartioleikkauksen. Sen voidaan ajatella mittaavan sitä, kuinka paljon conic osa poikkeaa on pyöreä.,
eksentrisyys on kartioleikkauksen on määritelty etäisyys mistä tahansa kartioleikkauksen sen painopiste, jaettuna kohtisuora etäisyys tästä pisteestä lähimpään johtosuoran. E: n arvo on vakio mille tahansa conic-osiolle. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää yleisenä määritelmänä conic-osioille., Arvo e voidaan määrittää tyyppi kartioleikkauksen sekä:
- Jos e = 1, kartioleikkaus on paraabeli
- Jos e < 1, se on ellipsi
- Jos e > 1, se on hyperbeli
eksentrisyys ympyrä on nolla. Huomaa, että kaksi kartioleikkausta ovat samankaltaisia (identtisesti muotoiltuja), jos ja vain jos niillä on sama eksentrisyys.
Muista, että hyperbolas ja ei-pyöreä ellipsejä on kaksi pesäkkeitä ja kaksi liittyvät directrices, kun paraabelit ovat yksi painopiste ja yksi johtosuoran., Seuraava kuva kunkin kartioleikkauksen on piirretään painopiste ja johtosuoran. Oranssi linjat merkitsevät etäisyys keskittyä ja pisteitä kartioleikkauksen, sekä etäisyys sama pistettä ja johtosuoran. Näitä etäisyyksiä käytetään eksentrisyyden löytämiseen.
– Conic pääluokat ja niiden osat: Eksentrisyys on suhde etäisyys mistä tahansa kartioleikkauksen sen painopiste, ja kohtisuora etäisyys tästä pisteestä lähimpään johtosuoran.,
Käsitteellistää Eksentrisyys
määrittely paraabeli, ja etäisyys mistä tahansa paraabeli painopiste on yhtä suuri kuin etäisyys, että sama kohta johtosuoran. Siksi määritelmän mukaan paraabelin eksentrisyyden on oltava 1.
ellipsin eksentrisyys on alle 1. Tämä tarkoittaa, että suhde, joka määrittää, eksentrisyys, osoittaja on pienempi kuin nimittäjä. Toisin sanoen, välinen etäisyys pisteen conic osa ja sen painopiste on pienempi kuin etäisyys, että kohta, ja lähin johtosuoran.,
kääntäen hyperbolan eksentrisyys on suurempi kuin 1. Tämä osoittaa, että etäisyys pisteen conic osassa lähin johtosuoran on pienempi kuin etäisyys, että piste ja tarkennus.
Tyypit Conic Pääluokat
– Conic pääluokat on muodostettu risteyksessä kone kartio, ja niiden ominaisuudet riippuvat siitä, miten tässä risteyksessä tapahtuu.,
Oppimisen Tavoitteet
Keskustella ominaisuuksia eri tyyppisiä conic pääluokat,
Key Takeaways
– Näppäintä Pistettä
- Conic pääluokat ovat tietyn tyyppinen muoto, joka muodostuu risteyksessä kone ja oikea pyöreä kartio. Tason ja kartion välisestä kulmasta riippuen voidaan muodostaa neljä eri risteysmuotoa.
- eri conic pääluokat ovat ympyröitä, ellipsejä, hyperbolas, ja paraabelit.
- jokaisella conic-osiolla on myös degeneroitunut muoto; nämä ovat pisteiden ja viivojen muodossa.,
Keskeisistä Ehdoista
- rappeutua: conic osa, joka ei sovi standardin muodossa yhtälö.
- asymptote: viiva, jota kaareva funktio tai muoto lähestyy mutta ei koskaan kosketa.
- hyperbeli: kartioleikkauksen, joka muodostuu, että kone on kohtisuorassa pohjan kartion.
- focus: pisteen päässä kaarevasta viivasta, jonka ympäri käyrä kaartuu.
- ympyrä: kartioleikkauksen, joka muodostuu, että kone on yhdensuuntainen pohjan kartion.
- ellipsi: kartioleikkauksen, joka muodostuu, että kone on kulmassa pohjaan kartion.,
- eksentrisyys: dimensioton parametri, joka kuvaa muodon kartioleikkauksen.
- paraabeli: kartioleikkauksen suuntaisen tason muodostama kartioosa.
- huippupiste: kaarevan muodon käännekohta.
Conic-osiot ovat tietynlainen muoto, joka muodostuu tason ja oikean ympyräkartion risteyksestä. Tason ja kartion välisestä kulmasta riippuen voidaan muodostaa neljä eri risteysmuotoa. Jokaisella muodolla on myös rappeutunut muoto., Siellä on ominaisuus kaikki conic jaksoissa kutsutaan eksentrisyys, joka on muodoltaan numeerinen parametri e. Neljä kartioleikkauksen muotoja on erilaisia arvoja e.
Tyypit conic pääluokat: Tämä luku osoittaa, miten conic pääluokat, vaaleansininen, ovat seurausta koneen leikkaavat kartion. Kuvassa 1 näkyy paraabeli, kuvassa 2 ympyrä (alaosa) ja ellipsi (yläosa) ja Kuvassa 3 hyperbola.,
Paraabeli
paraabeli on muodostunut, kun kone on yhdensuuntainen pinnan kartio, jolloin U-muotoinen käyrä, joka sijaitsee koneessa. Jokainen paraabeli on tiettyjä ominaisuuksia:
- huippupiste, joka on kohta, jossa käyrä kääntyy ympäri
- painopiste, joka on piste ei ole käyrällä, jossa käyrä taipuu
- An symmetria-akselin, mikä on viiva, joka yhdistää kärki ja painopiste, joka jakaa paraabeli kahteen yhtä suureen osaan
Kaikki paraabelit hallussaan eksentrisyys arvo e=1., Suorana seurauksena, joilla on sama eksentrisyys, kaikki paraabelit ovat samanlaisia, mikä tarkoittaa, että tahansa paraabeli voidaan muuntaa minkä tahansa muiden kanssa muuttanut kantaansa ja skaalaus. Paraabelin degeneroitunut tapaus on, kun kone vain hädin tuskin koskettaa kartion ulkopintaa, eli se on tangentti kartion kanssa. Tämä luo suoran leikkauspisteen kartion lävistäjästä.
Ei-degeneroitunut paraabelien voidaan esittää toisen asteen toimintoja, kuten
f(x) = x^2,
Circle
ympyrä on muodostunut, kun kone on yhdensuuntainen pohjan kartion., Sen leikkauspiste kartion kanssa on siis joukko pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana yhteisestä pisteestä (kartion keskiakseli), joka täyttää ympyrän määritelmän. Kaikissa piireissä on tiettyjä ominaisuuksia:
- keskipiste
- säde, jonka etäisyys mistä tahansa pisteestä ympyrän keskipiste
Kaikissa piireissä on epäkeskisyys e=0. Näin ollen kaikki ympyrät ovat paraabelin tavoin samanlaisia ja ne voidaan muuntaa toisiinsa., Koordinaattitasoon, yleinen muoto yhtälö ympyrän on
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2,
jos (s,k) ovat koordinaatit ympyrän keskipiste ja r on säde.
ympyrän degeneroitunut muoto syntyy, kun taso leikkaa vain kartion kärjen. Tämä on yhden pisteen leikkauspiste, tai vastaavasti ympyrän nolla säde.
– Conic pääluokat, piirretään, jonka eksentrisyys: Tämä kaavio osoittaa, ellipsi punainen, esimerkki eksentrisyys arvo 0.,5, paraabeli vihreä kanssa tarvittava eksentrisyys 1, ja hyperbola sininen esimerkki eksentrisyys 2. Se osoittaa myös, yksi rappeutua hyperbeli tapauksissa, suora musta viiva, joka vastaa ääretön eksentrisyys. Ympyrä on paraabelin sisäpuolella, joka on hyperbolan toisen puolen sisäpuolella, jonka alapuolella on vaakasuora viiva. Näin kasvava eksentrisyys voidaan tunnistaa eräänlaisesta konisen osan avautumisesta tai avautumisesta.,
kolme pistettä
Kun kone on kulma suhteessa kartio on välillä ulkopuolella pinta kartion ja pohjan kartio, jolloin risteys on ellipsi. Ellipsin määritelmään kuuluu myös se, että se on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa, joten kaikki ympyrät ovat ellipsin erikoistapaus., Ellipsejä on nämä ominaisuudet:
- suuri-akseli, joka on pisin leveys koko ellipsin
- lyhyt akseli, joka on lyhin leveys koko ellipsin
- keskus, joka on risteyksessä kaksi akselia
- Kaksi focal points —minkä tahansa pisteen ellipsin, summa etäisyydet sekä yhteyspisteiden on jatkuvaa
Ellipsejä voi olla erilaisia eksentrisyys arvot: 0 \leq e < 1. Huomaa, että arvo 0 on mukana (ympyrä), mutta arvo 1 ei ole mukana (se olisi paraabeli)., Koska eksentrisyysarvoja on useita, kaikki ellipsit eivät ole samanlaisia. Yleinen muoto yhtälö ellipsin kanssa pääakselin suuntainen x-akseli on:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
degeneroitunut muoto ellipsi on kohta, tai ympyrä nolla säde, aivan kuten se oli ympyrä.
Hyperbola
hyperbola muodostuu, kun taso on yhdensuuntainen kartion keskiakselin kanssa, eli se leikkaa kaksoiskartion molemmat osat.,nches, sekä näitä ominaisuuksia:
- Asymptootti lines—nämä ovat kaksi lineaarinen kaavioita, että käyrä hyperbeli lähestyy, mutta ei koskaan koskettaa
- keskus, joka on risteyksessä asymptoottia
- Kaksi tietokeskusta, jonka ympärille kukin kaksi oksat mutka
- Kaksi vertices, yksi jokainen haara
yleinen yhtälö hyperbeli kanssa vertices on vaakasuora viiva on:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
eksentrisyys hyperbeli on rajoitettu e > 1, ja ei ole yläraja., Jos eksentrisyys sallitaan mennä raja +\infty (positiivinen äärettömyys), hyperbola tulee yksi sen degeneroitunut tapauksissa—suora viiva. Toinen rappioitunut tapaus hyperbolalle on tulla sen kaksi suoran asymptoottia. Tämä tapahtuu, kun kone leikkaa kaksoiskartion kärjen.