Les opérations arithmétiques de base sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division, bien que ce sujet comprenne également des opérations plus avancées, telles que les manipulations de pourcentages, de racines carrées, l’exponentiation, les fonctions logarithmiques et même les fonctions trigonométriques, dans la même veine que les logarithmes (prothaphaérèse). Les expressions arithmétiques doivent être évaluées en fonction de la séquence d’opérations prévue., Il existe plusieurs méthodes pour spécifier cela, soit—la plus courante, avec la notation infixe—explicitement en utilisant des parenthèses et en s’appuyant sur des règles de priorité, soit en utilisant une notation préfixe ou postfixe, qui fixe de manière unique l’ordre d’exécution par eux-mêmes. Tout ensemble d’objets sur lequel les quatre opérations arithmétiques (sauf la division par zéro) peuvent être effectuées, et où ces quatre opérations obéissent aux lois habituelles (y compris la distributivité), est appelé un champ.,
AdditionEdit
L’ajout fini de nombres peut être considéré comme une addition simple répétée; cette procédure est connue sous le nom de sommation, un terme également utilisé pour désigner la définition d ‘ « ajouter infiniment de nombres » dans une série infinie. L’addition répétée du nombre 1 est la forme de comptage la plus élémentaire; le résultat de l’ajout de 1 est généralement appelé le successeur du nombre d’origine.
L’Addition est commutative et associative, donc l’ordre dans lequel de nombreux termes sont ajoutés n’a pas d’importance.,
le nombre 0 a la propriété que, lorsqu’il est ajouté à n’importe quel nombre, il donne ce même nombre; c’est donc l’élément d’identité de l’addition, ou l’identité additive.
L’Addition peut également être interprétée géométriquement, comme dans l’exemple suivant.Si nous avons deux bâtons de longueurs 2 et 5, alors, si les bâtons sont alignés l’un après l’autre, la longueur du bâton combiné devient 7, puisque 2 + 5 = 7.,
SubtractionEdit
la Soustraction, notée par le symbole {\displaystyle -} , est l’opération inverse de l’addition. La soustraction trouve la différence entre deux nombres, le minuend moins le subtrahend: D = M-S. en recourant à L’addition précédemment établie, c’est-à-dire que la différence est le nombre qui, lorsqu’il est ajouté au subtrahend, entraîne le minuend: D + S = M.,
pour les arguments positifs M et S:
Si le minuend est plus grand que le subtrahend, la différence D est positive. Si le minuend est plus petit que le subtrahend, la différence D est négative.
dans tous les cas, si minuend et subtrahend sont égaux, la différence D = 0.
la Soustraction n’est ni commutative, ni associatif., Pour cette raison, la construction de cette opération inverse dans l’algèbre moderne est souvent écartée en faveur de l’introduction du concept d’éléments inverses (tel qu’esquissé sous § Addition), où la soustraction est considérée comme ajoutant l’inverse additif du subtrahend au minuend, c’est − à−dire a-b = a + (- b)., Le prix immédiat de l’élimination de l’opération binaire de soustraction est l’introduction de l’opération unaire (triviale), délivrant l’inverse additif pour un nombre donné, et perdant l’accès immédiat à la notion de différence, ce qui est potentiellement trompeur lorsque des arguments négatifs sont impliqués.
pour toute représentation de nombres, il existe des méthodes de calcul des résultats, dont certaines sont particulièrement avantageuses pour exploiter des procédures, existantes pour une opération, par de petites altérations également pour d’autres., Par exemple, les ordinateurs numériques peuvent réutiliser des circuits d’ajout existants et enregistrer des circuits supplémentaires pour mettre en œuvre une soustraction, en utilisant la méthode du complément de deux pour représenter les inverses additives, qui est extrêmement facile à mettre en œuvre dans le matériel (négation). Le compromis est la réduction de moitié de la plage de nombres pour une longueur de mot fixe.
une méthode autrefois largement répandue pour obtenir un montant de changement correct, connaissant les montants dus et donnés, est la méthode de comptage, qui ne génère pas explicitement la valeur de la différence., Supposons Qu’un montant P soit donné pour payer le montant requis Q, Avec P supérieur à Q. plutôt que d’effectuer explicitement la soustraction P − Q = C et de compter ce montant C en changement, l’argent est compté en commençant par le successeur de Q, et en continuant dans les étapes de la monnaie, jusqu’à ce que P soit atteint. Bien que le montant compté doit être égal au résultat de la soustraction P − Q, la soustraction n’a jamais vraiment été faite et la valeur de P − Q n’est pas fournie par cette méthode.,
MultiplicationEdit
La Multiplication, désignée par les symboles × {\displaystyle \times } ou ⋅ {\displaystyle \cdot } , est la deuxième opération de base de l’arithmétique. La Multiplication combine également deux nombres en un seul nombre, le produit. Les deux nombres originaux sont appelés le multiplicateur et le multiplicande, la plupart du temps les deux sont simplement appelés facteurs.
la Multiplication peut être considérée comme une opération de mise à l’échelle., Si les nombres sont imaginés comme se trouvant dans une ligne, la multiplication par un nombre supérieur à 1, disons x, revient à tout étirer uniformément de 0, de telle sorte que le nombre 1 lui-même est étiré à l’endroit où x était. De même, la multiplication par un nombre inférieur à 1 peut être imaginée comme une compression vers 0, de telle sorte que 1 va au multiplicande.
Une autre vue sur la multiplication des nombres entiers (extensible aux rationnels mais pas très accessible pour les nombres réels) consiste à la considérer comme une addition répétée. Exemple., 3 × 4 correspond à l’ajout de 3 fois 4 ou 4 fois 3, donnant le même résultat. Il existe différentes opinions sur l’avantage de ces paradigmes dans l’enseignement des mathématiques.
la Multiplication est commutative et associative; de plus, elle est distributive sur l’addition et la soustraction. L’identité multiplicative est 1, puisque multiplier n’importe quel nombre par 1 donne ce même nombre. L’inverse multiplicatif pour tout nombre sauf 0 est la réciproque de ce nombre, car la multiplication de la réciproque de tout nombre par le nombre lui-même donne l’identité multiplicative 1., 0 est le seul nombre sans inverse multiplicatif, et le résultat de la multiplication d’un nombre quelconque et 0 est à nouveau 0. On dit que 0 n’est pas contenu dans le groupe multiplicatif des nombres.
Le produit de a et b s’écrit a × B ou a·B. Lorsque a ou b sont des expressions qui ne sont pas écrites simplement avec des chiffres, il s’écrit aussi par simple juxtaposition: ab. Dans les langages de programmation informatique et les progiciels (dans lesquels on ne peut utiliser que les caractères normalement présents sur un clavier), il est souvent écrit avec un astérisque: a * b.,
Les algorithmes implémentant l’opération de multiplication pour diverses représentations de nombres sont de loin plus coûteux et laborieux que ceux pour l’addition. Ceux qui sont accessibles pour le calcul manuel reposent soit sur la décomposition des facteurs en valeurs de lieu unique et l’application d’additions répétées, soit sur l’utilisation de tableaux ou de règles à diapositives, mappant ainsi la multiplication à l’addition et vice versa. Ces méthodes sont obsolètes et sont progressivement remplacées par des appareils mobiles., Les ordinateurs utilisent divers algorithmes sophistiqués et hautement optimisés, pour implémenter la multiplication et la division pour les différents formats de nombres pris en charge dans leur système.
DivisionEdit
Division, indiqué par les symboles ÷ {\displaystyle \div } / ou {\displaystyle /} , est essentiellement l’opération inverse de la multiplication. Division trouve le quotient de deux nombres, le dividende divisé par le diviseur. Tout dividende divisé par zéro n’est pas défini., Pour les nombres positifs distincts, si le dividende est supérieur au diviseur, le quotient est supérieur à 1, sinon il est inférieur à 1 (une règle similaire s’applique pour les nombres négatifs). Le quotient multiplié par le diviseur donne toujours le dividende.
la Division n’est ni commutative, ni associatif. Ainsi, comme expliqué dans § soustraction, la construction de la division en algèbre moderne est abandonnée au profit de la construction des éléments inverses par rapport à la multiplication, comme introduit dans § Multiplication., Par conséquent, la division est la multiplication du dividende avec la réciproque du diviseur comme facteurs, c’est-à-dire a ÷ b = a × 1/B.
dans les nombres naturels, il existe également une notion différente mais connexe appelée division euclidienne, qui produit deux nombres après avoir « divisé » un n naturel (numérateur) par un d naturel (dénominateur): d’abord un Q naturel (quotient), et ensuite un r naturel (reste) tel que N = D×Q + R et 0 ≤ r < q.