Die grundlegenden arithmetischen Operationen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, obwohl dieses Thema auch fortgeschrittenere Operationen wie Manipulationen von Prozentsätzen, Quadratwurzeln, Exponentiationsfunktionen, logarithmische Funktionen und sogar trigonometrische Funktionen umfasst Logarithmen (Prothaphaerese). Arithmetische Ausdrücke müssen entsprechend der beabsichtigten Abfolge von Operationen ausgewertet werden., Es gibt verschiedene Methoden, um dies anzugeben, entweder—am häufigsten zusammen mit der Infix-Notation-explizit in Klammern und unter Berufung auf Prioritätsregeln oder unter Verwendung einer Präfix-oder Postfix-Notation, die die Ausführungsreihenfolge eindeutig selbst festlegen. Jede Menge von Objekten, auf denen alle vier arithmetischen Operationen (außer Division durch Null) ausgeführt werden können und bei denen diese vier Operationen den üblichen Gesetzen (einschließlich der Verteilung) gehorchen, wird als Feld bezeichnet.,
AdditionEdit
Das Hinzufügen endlos vieler Zahlen kann als wiederholte einfache Addition angesehen werden; Dieses Verfahren wird als Summation bezeichnet, ein Begriff, der auch verwendet wird, um die Definition für „Hinzufügen unendlich vieler Zahlen“ in einer unendlichen Reihe zu bezeichnen. Die wiederholte Addition der Zahl 1 ist die grundlegendste Form des Zählens; Das Ergebnis der Addition von 1 wird normalerweise als Nachfolger der ursprünglichen Zahl bezeichnet.
Die Addition ist kommutativ und assoziativ, daher spielt die Reihenfolge, in der endlich viele Begriffe hinzugefügt werden, keine Rolle.,
Die Zahl 0 hat die Eigenschaft, dass sie, wenn sie zu einer beliebigen Zahl hinzugefügt wird, dieselbe Zahl ergibt; Es ist also das Identitätselement der Addition oder die additive Identität.
Zusätzlich kann auch geometrisch interpretiert werden, wie im folgenden Beispiel.Wenn wir zwei Stöcke der Längen 2 und 5 haben, wird die Länge des kombinierten Stocks 7, wenn die Stöcke nacheinander ausgerichtet sind, da 2 + 5 = 7 ist.,
SubtraktionEdit
Subtraktion, bezeichnet durch das Symbol − {\displaystyle -} , ist die inverse Operation zum Addieren. Die Subtraktion findet die Differenz zwischen zwei Zahlen, dem Minuend minus dem Subtrahend: D = M-S. Wenn Sie auf die zuvor festgelegte Addition zurückgreifen, bedeutet dies, dass die Differenz die Zahl ist, die beim Addieren zum Subtrahend zum Minuend führt: D + S = M.,
Für positive Argumente M und S gilt:
Wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist, ist die Differenz D positiv. Wenn der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, ist die Differenz D negativ.
In jedem Fall, wenn minuend und subtrahend gleich sind, ist die Differenz D = 0.
Subtraktion ist weder kommutativ noch assoziativ., Aus diesem Grund wird die Konstruktion dieser inversen Operation in der modernen Algebra oft zugunsten der Einführung des Konzepts der inversen Elemente verworfen (wie unter § Addition skizziert), wobei Subtraktion als Addition der additiven Inverse des Subtrahends zum Minuend angesehen wird, dh a − b = a + (−b)., Der unmittelbare Preis für das Verwerfen der binären Operation der Subtraktion ist die Einführung der (trivialen) unären Operation, die die additive Inverse für eine bestimmte Zahl liefert und den sofortigen Zugriff auf den Begriff der Differenz verliert, was möglicherweise irreführend ist, wenn negative Argumente beteiligt sind.
Für jede Darstellung von Zahlen gibt es Methoden zur Berechnung der Ergebnisse, von denen einige besonders vorteilhaft bei der Ausnutzung von Verfahren sind, die für eine Operation existieren, durch kleine Änderungen auch für andere., Beispielsweise können digitale Computer vorhandene Additionsschaltkreise wiederverwenden und zusätzliche Schaltungen zum Implementieren einer Subtraktion speichern, indem sie die Methode des Zweierkomplements zur Darstellung der additiven Inversen verwenden, die in der Hardware extrem einfach zu implementieren ist (Negation). Der Kompromiss ist die Halbierung des Zahlenbereichs für eine feste Wortlänge.
Eine früher weit verbreitete Methode zur Erzielung eines korrekten Änderungsbetrags, bei der die fälligen und angegebenen Beträge bekannt sind, ist die Zählmethode, die den Wert der Differenz nicht explizit generiert., Angenommen, ein Betrag P wird angegeben, um den erforderlichen Betrag Q zu zahlen, wobei P größer als Q. Anstatt die Subtraktion P − Q = C explizit durchzuführen und diesen Betrag C in Änderung auszuzählen, wird Geld beginnend mit dem Nachfolger von Q ausgezählt und in den Schritten der Währung fortgesetzt, bis P erreicht ist. Obwohl der ausgezählte Betrag dem Ergebnis der Subtraktion P − Q entsprechen muss, wurde die Subtraktion nie wirklich durchgeführt und der Wert von P − Q wird durch diese Methode nicht geliefert.,
MultiplikationEdit
Multiplikation, bezeichnet durch die Symbole × {\displaystyle \times } oder ⋅ {\displaystyle \cdot }, ist die zweite grundlegende Operation der Arithmetik. Die Multiplikation kombiniert auch zwei Zahlen zu einer einzigen Zahl, dem Produkt. Die beiden ursprünglichen Zahlen werden Multiplikator und Multiplikand genannt, meistens werden beide einfach Faktoren genannt.
Die Multiplikation kann als Skalierungsvorgang angesehen werden., Wenn man sich vorstellt, dass die Zahlen in einer Linie liegen, ist die Multiplikation mit einer Zahl größer als 1, sagen wir x, dasselbe wie das gleichmäßige Dehnen von allem von 0 weg, so dass die Zahl 1 selbst dahin gedehnt wird, wo x war. In ähnlicher Weise kann man sich das Multiplizieren mit einer Zahl, die kleiner als 1 ist, als Quetschen in Richtung 0 vorstellen, so dass 1 zum Multiplikanden geht.
Eine andere Ansicht zur Multiplikation ganzzahliger Zahlen (erweiterbar auf rationale, aber für reelle Zahlen nicht sehr zugänglich) ist die Betrachtung als wiederholte Addition. Beispielsweise., 3 × 4 entspricht entweder dem Hinzufügen von 3 mal 4 oder 4 mal 3, was das gleiche Ergebnis ergibt. Es gibt unterschiedliche Meinungen über den Vorteil dieser Paradigmata im Mathematikunterricht.
Multiplikation ist kommutativ und assoziativ; ferner ist es distributiv über Addition und Subtraktion. Die multiplikative Identität ist 1, da das Multiplizieren einer beliebigen Zahl mit 1 dieselbe Zahl ergibt. Die multiplikative Inverse für eine beliebige Zahl außer 0 ist der Kehrwert dieser Zahl, da das Multiplizieren des Kehrwerts einer beliebigen Zahl mit der Zahl selbst die multiplikative Identität 1 ergibt., 0 ist die einzige Zahl ohne multiplikative Inverse, und das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Zahl und 0 ist wieder 0. Man sagt, dass 0 nicht in der multiplikativen Gruppe der Zahlen enthalten ist.
Das Produkt von a und b wird als a × b oder a·b. Wenn a oder b Ausdrücke sind, die nicht einfach mit Ziffern geschrieben sind, wird es auch durch einfaches Nebeneinander geschrieben: ab. In Computerprogrammiersprachen und Softwarepaketen (in denen man nur Zeichen verwenden kann, die normalerweise auf einer Tastatur zu finden sind) wird es oft mit einem Sternchen geschrieben: .,
Algorithmen, die die Multiplikationsoperation für verschiedene Darstellungen von Zahlen implementieren, sind bei weitem kostspieliger und mühsamer als solche für die Addition. Diejenigen, die für die manuelle Berechnung zugänglich sind, verlassen sich entweder darauf, die Faktoren auf einzelne Ortswerte aufzuteilen und wiederholte Additionen anzuwenden, oder auf die Verwendung von Tabellen oder Folienregeln, wodurch die Multiplikation der Addition zugeordnet wird und umgekehrt. Diese Methoden sind veraltet und werden nach und nach durch mobile Geräte ersetzt., Computer verwenden verschiedene hochentwickelte und hochoptimierte Algorithmen, um Multiplikation und Division für die verschiedenen in ihrem System unterstützten Zahlenformate zu implementieren.
DivisionEdit
Division, bezeichnet durch die Symbole ÷ {\displaystyle \div } oder / {\displaystyle /} , ist im Wesentlichen die inverse Operation zur Multiplikation. Division findet den Quotienten zweier Zahlen, die Dividende geteilt durch den Divisor. Jede Dividende geteilt durch Null ist undefiniert., Wenn bei eindeutigen positiven Zahlen die Dividende größer als der Divisor ist, ist der Quotient größer als 1, andernfalls kleiner als 1 (eine ähnliche Regel gilt für negative Zahlen). Der mit dem Divisor multiplizierte Quotient ergibt immer die Dividende.
Division ist weder kommutativ noch assoziativ. Wie in § Subtraktion erläutert, wird die Konstruktion der Division in der modernen Algebra zugunsten der Konstruktion der inversen Elemente in Bezug auf die Multiplikation verworfen, wie in § Multiplikation eingeführt., Die Division ist daher die Multiplikation der Dividende mit dem Kehrwert des Divisors als Faktoren, dh a ÷ b = a × 1/b.
Innerhalb der natürlichen Zahlen gibt es auch einen anderen, aber verwandten Begriff namens euklidische Division, der zwei Zahlen ausgibt, nachdem ein natürliches N (Zähler) durch einen natürlichen D (Nenner) „geteilt“ wurde: zuerst ein natürliches Q (Quotient) und zweitens ein natürliches R (Rest), so dass N = D×Q + R und 0 ≤ R < Q.