Was sind konische Abschnitte?
Konische Abschnitte werden durch den Schnittpunkt der Oberfläche eines Kegels mit einer Ebene erhalten und weisen bestimmte Merkmale auf.,
Lernziele
Beschreiben Sie die Teile eines konischen Abschnitts und wie konische Abschnitte als Querschnitte eines Doppelkegels betrachtet werden können
Key Takeaways
Schlüsselpunkte
- Ein konischer Abschnitt (oder einfach konisch) ist eine Kurve, die als Schnittpunkt der Oberfläche eines Kegels mit einer Ebene erhalten wird.hyperbel.
- Ein Kegelschnitt kann auf einer Koordinatenebene dargestellt werden.
- Jeder konische Abschnitt verfügt über bestimmte Funktionen, einschließlich mindestens eines Fokus und Directrix., Parabeln haben einen Fokus und einen direkten Fokus, während Ellipsen und Hyperbeln jeweils zwei haben.
- Ein konischer Abschnitt ist die Menge von Punkten P, deren
Abstand zum Fokus ein konstantes Vielfaches des Abstands von P zum direkten Teil des Konischen ist.
Schlüsselbegriffe
- Scheitelpunkt: Ein Extrempunkt auf einem Kegelschnitt.
- asymptote: Eine gerade Linie, die eine Kurve beliebig nahe nähert, wie es ins Unendliche geht.
- locus: Die Menge aller Punkte, deren Koordinaten eine gegebene Gleichung oder Bedingung erfüllen.,
- Fokus: Ein Punkt zum Konstruieren und Definieren eines konischen Abschnitts, an dem von der Kurve reflektierte Strahlen konvergieren (Plural: foci).
- nappe: Eine Hälfte eines Doppelkegels.
- Kegelschnitt: Jede Kurve, die durch den Schnittpunkt einer Ebene mit einem Kegel aus zwei Windeln gebildet wird.
- directrix: Eine Linie, die zum Konstruieren und Definieren eines Kegelabschnitts verwendet wird; Eine Parabel hat eine Directrix; Ellipsen und Hyperbeln haben zwei (Plural: directrices).,
Definieren von konischen Abschnitten
Ein konischer Abschnitt (oder einfach konisch) ist eine Kurve, die als Schnittpunkt der Oberfläche eines Kegels mit einer Ebene erhalten wird. Die drei Arten von konischen Abschnitten sind die Hyperbel, die Parabel und die Ellipse. Der Kreis ist eine Art Ellipse und wird manchmal als eine vierte Art von Kegelschnitt angesehen.
Konische Abschnitte können durch Schneiden einer Ebene mit einem Kegel erzeugt werden. Ein Kegel hat zwei identisch geformte Teile, die als Windeln bezeichnet werden. Ein Windel ist das, was die meisten Leute mit „Kegel“ meinen, und hat die Form eines Partyhutes.,
Konische Abschnitte werden durch den Schnittpunkt einer Ebene mit einem Kegel erzeugt. Wenn die Ebene parallel zur Umdrehungsachse (der y-Achse) ist, ist der konische Abschnitt eine Hyperbel. Wenn die Ebene parallel zur Erzeugungslinie ist, ist der konische Abschnitt eine Parabel. Wenn die Ebene senkrecht zur Umdrehungsachse steht, ist der Kegelschnitt ein Kreis. Wenn die Ebene eine Windel in einem Winkel zur Achse schneidet (außer 90^{\circ}), ist der Kegelschnitt eine Ellipse.,
A Kegel-und Kegelabschnitte: Die Windeln und die vier Kegelabschnitte. Jeder Kegel wird durch den Winkel bestimmt, den die Ebene mit der Achse des Kegels macht.
Gemeinsame Teile von konischen Abschnitten
Während jede Art von konischen Abschnitten sehr unterschiedlich aussieht,haben sie einige Gemeinsamkeiten. Zum Beispiel hat jeder Typ mindestens einen Fokus und einen direkten Fokus.
Ein Fokus ist ein Punkt, um den der Kegelschnitt aufgebaut ist. Mit anderen Worten, es ist ein Punkt, um den Strahlen, die von der Kurve reflektiert werden, konvergieren., Eine Parabel hat einen Fokus, über den die Form aufgebaut ist; eine Ellipse und Hyperbel haben zwei.
Eine Directrix ist eine Linie, die zum Erstellen und Definieren eines Kegelabschnitts verwendet wird. Der Abstand eines direkten Fokus von einem Punkt auf dem konischen Abschnitt hat ein konstantes Verhältnis zu dem Abstand von diesem Punkt zum Fokus. Wie beim Fokus hat eine Parabel eine direkte Richtung, während Ellipsen und Hyperbeln zwei haben.
Diese Eigenschaften, die die konischen Abschnitte teilen, werden häufig als die folgende Definition dargestellt, die im folgenden Abschnitt weiter entwickelt wird., Ein konischer Abschnitt ist der Ort der Punkte P, deren Abstand zum Fokus ein konstantes Vielfaches des Abstands von P zum direkten Teil des Konischen ist. Diese Abstände werden als orangefarbene Linien für jeden konischen Abschnitt im folgenden Diagramm angezeigt.
Teile von Kegelabschnitten: Die drei Kegelabschnitte mit Brennpunkten und Geraden beschriftet.
Jede Art von Kegelschnitt wird im Folgenden näher beschrieben.,
Parabel
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem festen Punkt, der als Fokus bezeichnet wird, gleich dem Abstand von einer festen Linie ist, der als Richtwert bezeichnet wird. Der Punkt auf halbem Weg zwischen Fokus und Richtwert wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet.
In der nächsten Abbildung werden vier Parabeln grafisch dargestellt, wie sie auf der Koordinatenebene erscheinen. Sie können sich nach oben, unten, links oder rechts öffnen.
Vier Parabeln, die sich in verschiedene Richtungen öffnen: Der Scheitelpunkt liegt im Mittelpunkt zwischen dem Directrix und dem Fokus.,
Ellipsen
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten (den Brennpunkten) konstant ist. Im Falle einer Ellipse gibt es zwei Brennpunkte und zwei Matrizen.
In der nächsten Abbildung wird eine typische Ellipse dargestellt, wie sie auf der Koordinatenebene erscheint.
Ellipse: Die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt auf der ellipse zu den Brennpunkten konstant ist.,
Hyperbeln
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, bei denen der Unterschied zwischen ihren Abständen von zwei festen Punkten (den Brennpunkten) konstant ist. Im Falle einer Hyperbel gibt es zwei Herde und zwei Matrizen. Hyperbeln haben auch zwei Asymptoten.
In der nächsten Abbildung erscheint ein Diagramm einer typischen Hyperbel.
Hyperbel Die Differenz der Abstände von einem beliebigen Punkt auf der ellipse zu den Brennpunkten konstant ist. Die Querachse wird auch als Hauptachse und die konjugierte Achse auch als Nebenachse bezeichnet.,
Anwendungen von konischen Abschnitten
Konische Abschnitte werden in vielen Studienbereichen verwendet, insbesondere zur Beschreibung von Formen. Zum Beispiel werden sie in der Astronomie verwendet, um die Formen der Umlaufbahnen von Objekten im Weltraum zu beschreiben. Zwei massive Objekte im Raum, die nach dem newtonschen Gesetz der universellen Gravitation interagieren, können sich in Bahnen bewegen, die die Form von konischen Abschnitten haben. Sie könnten Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln folgen, abhängig von ihren Eigenschaften.
Exzentrizität
Jeder konische Abschnitt hat eine konstante Exzentrizität, die Informationen über seine Form liefert.,
Lernziele
Diskutieren Sie, wie die Exzentrizität eines konischen Abschnitts sein Verhalten beschreibt
Key Takeaways
Key Points
- Exzentrizität ist ein Parameter, der jedem konischen Abschnitt zugeordnet ist, und kann als Maß dafür angesehen werden, wie stark der konische Abschnitt vom kreisförmigen abweicht.
- Die Exzentrizität eines konischen Abschnitts ist definiert als der Abstand von jedem Punkt des konischen Abschnitts zu seinem Fokus, geteilt durch den senkrechten Abstand von diesem Punkt zum nächsten Richtpunkt.,
- Der Wert von e kann verwendet werden, um die Art des konischen Abschnitts zu bestimmen. Wenn e= 1 es ist eine Parabel, wenn e < 1 es ist eine Ellipse, und wenn e > 1 es ist eine Hyperbel.
Schlüsselbegriffe
- Exzentrizität: Ein Parameter eines konischen Abschnitts, der beschreibt, wie stark der konische Abschnitt vom kreisförmigen abweicht.
Exzentrizität definieren
Die Exzentrizität, bezeichnet e, ist ein Parameter, der jedem konischen Abschnitt zugeordnet ist. Es kann als Maß dafür angesehen werden, wie stark der Kegelschnitt vom kreisförmigen abweicht.,
Die Exzentrizität eines konischen Abschnitts ist definiert als der Abstand von jedem Punkt des konischen Abschnitts zu seinem Fokus, geteilt durch den senkrechten Abstand von diesem Punkt zum nächsten Richtpunkt. Der Wert von e ist für jeden konischen Abschnitt konstant. Diese Eigenschaft kann als allgemeine Definition für konische Abschnitte verwendet werden., Der Wert von e kann auch verwendet werden, um den Typ des konischen Abschnitts zu bestimmen:
- Wenn e = 1 ist, ist der Konische eine Parabel
- Wenn e < 1 ist, ist es eine Ellipse
- Wenn e > 1 ist, ist es eine Hyperbel
Die Exzentrizität des ein Kreis ist Null. Beachten Sie, dass zwei konische Abschnitte sind ähnlich (identisch geformt), wenn und nur, wenn sie die gleiche Exzentrizität haben.
Denken Sie daran, dass Hyperbeln und nicht kreisförmige Ellipsen zwei Brennpunkte und zwei zugehörige Directrices haben, während Parabeln einen Fokus und eine Directrix haben., In der nächsten Abbildung wird jede Art von Kegelschnitt mit einem Fokus und einer direkten Linie dargestellt. Die orangefarbenen Linien bezeichnen den Abstand zwischen dem Fokus und den Punkten auf dem Kegelschnitt sowie den Abstand zwischen denselben Punkten und dem direkten Fokus. Dies sind die Entfernungen, die verwendet werden, um die Exzentrizität zu finden.
Konische Abschnitte und ihre Teile: Exzentrizität ist das Verhältnis zwischen dem Abstand von einem beliebigen Punkt auf dem konischen Abschnitt zu seinem Fokus und dem senkrechten Abstand von diesem Punkt zum nächsten Richtwert.,
Konzeptualisierung der Exzentrizität
Bei der Definition einer Parabel ist der Abstand von einem beliebigen Punkt auf der Parabel zum Fokus gleich dem Abstand von demselben Punkt zum direkten Fokus. Daher muss per Definition die Exzentrizität einer Parabel 1 sein.
Bei einer Ellipse beträgt die Exzentrizität weniger als 1. Dies bedeutet, dass der Zähler in dem Verhältnis, das die Exzentrizität definiert, kleiner als der Nenner ist. Mit anderen Worten, der Abstand zwischen einem Punkt auf einem konischen Abschnitt und seinem Fokus ist geringer als der Abstand zwischen diesem Punkt und dem nächsten direkten Fokus.,
Umgekehrt ist die Exzentrizität einer Hyperbel größer als 1. Dies zeigt an, dass der Abstand zwischen einem Punkt auf einem konischen Abschnitt der nächsten Richtlinie kleiner ist als der Abstand zwischen diesem Punkt und dem Fokus.
Arten von konischen Abschnitten
Konische Abschnitte werden durch den Schnittpunkt einer Ebene mit einem Kegel gebildet, und ihre Eigenschaften hängen davon ab, wie dieser Schnittpunkt auftritt.,
Lernziele
Diskutieren Sie die Eigenschaften verschiedener Arten von konischen Abschnitten
Key Takeaways
Schlüsselpunkte
- Konische Abschnitte sind eine bestimmte Art von Form, die durch den Schnittpunkt einer Ebene und eines rechten Kreiskegels gebildet wird. Abhängig vom Winkel zwischen der Ebene und dem Kegel können vier verschiedene Schnittformen gebildet werden.
- Die Arten von konischen Abschnitten sind Kreise, Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.
- Jeder konische Abschnitt hat auch eine degenerierte Form; Diese haben die Form von Punkten und Linien.,
Schlüsselbegriffe
- degenerieren: Ein konischer Abschnitt, der nicht zur Standardform der Gleichung passt.
- asymptote: Eine Linie, die eine gekrümmte Funktion oder Form nähert, aber nie berührt.
- Hyperbel: Der konische Abschnitt, der durch die Ebene senkrecht zur Basis des Kegels gebildet wird.
- Fokus: Ein Punkt weg von einer gekrümmten Linie, um die sich die Kurve biegt.
- Kreis: Der konische Abschnitt, der durch die Ebene gebildet wird, die parallel zur Basis des Kegels ist.
- Ellipse: Der konische Abschnitt, der durch die Ebene in einem Winkel zur Basis des Kegels gebildet wird.,
- Exzentrizität: Ein dimensionsloser Parameter, der die Form eines Kegelabschnitts kennzeichnet.
- Parabel: Der konische Abschnitt, der durch die Ebene parallel zum Kegel gebildet wird.
- Scheitelpunkt: Der Wendepunkt einer gekrümmten Form.
Konische Abschnitte sind eine bestimmte Art von Form, die durch den Schnittpunkt einer Ebene und eines rechten Kreiskegels gebildet wird. Abhängig vom Winkel zwischen der Ebene und dem Kegel können vier verschiedene Schnittformen gebildet werden. Jede Form hat auch eine degenerierte Form., Es gibt eine Eigenschaft aller konischen Abschnitte, die als Exzentrizität bezeichnet wird und die Form eines numerischen Parameters annimmt e. Die vier konischen Schnittformen haben jeweils unterschiedliche Werte von e.
Arten von konischen Abschnitten: Diese Abbildung zeigt, wie die konischen Abschnitte in Hellblau das Ergebnis einer Ebene sind, die einen Kegel schneidet. Bild 1 zeigt eine Parabel, Bild 2 zeigt einen Kreis (unten) und eine Ellipse (oben) und Bild 3 eine Hyperbel.,
Parabel
Eine Parabel entsteht, wenn die Ebene parallel zur Oberfläche des Kegels verläuft, was zu einer U-förmigen Kurve führt, die auf der Ebene liegt. Jede Parabel hat bestimmte Merkmale:
- Ein Scheitelpunkt, der der Punkt ist, an dem sich die Kurve dreht
- Ein Fokus, der ein Punkt ist, der nicht auf der Kurve liegt, um die sich die Kurve biegt
- Eine Symmetrieachse, die eine Linie ist, die den Scheitelpunkt und den Fokus verbindet, die die Parabel in zwei gleiche Hälften teilt
Alle Parabeln besitzen einen Exzentrizitätswert e=1., Als direkte Folge der gleichen Exzentrizität sind alle Parabeln ähnlich, was bedeutet, dass jede Parabel mit einer Änderung der Position und Skalierung in jede andere umgewandelt werden kann. Der degenerierte Fall einer Parabel ist, wenn die Ebene die Außenfläche des Kegels kaum berührt, was bedeutet, dass sie tangential zum Kegel ist. Dies erzeugt einen geraden Schnittpunkt aus der Diagonale des Kegels.
Nicht degenerierte Parabeln können mit quadratischen Funktionen wie
dargestellt werden f (x) = x^2
Kreis
Ein Kreis wird gebildet, wenn die Ebene parallel zur Basis des Kegels ist., Sein Schnittpunkt mit dem Kegel ist daher eine Menge von Punkten, die von einem gemeinsamen Punkt (der Mittelachse des Kegels) gleich weit entfernt sind und der Definition eines Kreises entsprechen. Alle Kreise haben bestimmte Eigenschaften:
- Ein Mittelpunkt
- Ein Radius, der der Abstand von einem beliebigen Punkt auf dem Kreis zum Mittelpunkt
Alle Kreise haben eine Exzentrizität e=0. So sind wie die Parabel alle Kreise ähnlich und können ineinander umgewandelt werden., Auf einer Koordinatenebene ist die allgemeine Form der Kreisgleichung
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
wobei (h,k) die Koordinaten des Kreismittels und r der Radius sind.
Die degenerierte Form des Kreises tritt auf, wenn die Ebene nur die Spitze des Kegels schneidet. Dies ist ein einzelner Punktschnittpunkt oder äquivalent ein Kreis mit einem Radius von Null.
Konische Abschnitte, die durch Exzentrizität dargestellt werden: Dieses Diagramm zeigt eine Ellipse in Rot mit einem Beispielexzentrizitätswert von 0.,5, eine Parabel in Grün mit der erforderlichen Exzentrizität von 1 und eine Hyperbel in Blau mit einer Beispielexzentrizität von 2. Es zeigt auch einen der degenerierten Hyperbelfälle, die gerade schwarze Linie, die der unendlichen Exzentrizität entspricht. Der Kreis befindet sich auf der Innenseite der Parabel, die sich auf der Innenseite einer Seite der Hyperbel befindet, die die horizontale Linie darunter hat. Auf diese Weise kann eine zunehmende Exzentrizität mit einer Art Entfaltung oder Öffnung des konischen Abschnitts identifiziert werden.,
Ellipse
Wenn der Winkel der Ebene relativ zum Kegel zwischen der Außenfläche des Kegels und der Basis des Kegels liegt, ist der resultierende Schnittpunkt eine Ellipse. Die Definition einer Ellipse umfasst auch, parallel zur Basis des Kegels zu sein, so dass alle Kreise ein Sonderfall der Ellipse sind., Ellipsen haben diese Eigenschaften:
- Eine Hauptachse, die die längste Breite über die Ellipse ist
- Eine Nebenachse, die die kürzeste Breite über die Ellipse ist
- Ein Zentrum, das der Schnittpunkt der beiden Achsen ist
- Zwei Brennpunkte —für jeden Punkt auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu beiden Brennpunkten eine Konstante
Ellipsen können einen Bereich von Exzentrizitätswerten haben: 0 \leq e < 1. Beachten Sie, dass der Wert 0 enthalten ist (ein Kreis), aber der Wert 1 nicht enthalten ist (das wäre eine Parabel)., Da es einen Bereich von Exzentrizitätswerten gibt, sind nicht alle Ellipsen ähnlich. Die allgemeine Form der Gleichung einer Ellipse mit Hauptachse parallel zur x-Achse ist:
\displaystyle{ \frac {(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
Die degenerierte Form einer Ellipse ist ein Punkt oder Kreis mit einem Radius von Null, genau wie für den Kreis.
Hyperbel
Eine Hyperbel entsteht, wenn die Ebene parallel zur Mittelachse des Kegels verläuft, was bedeutet, dass sie beide Teile des Doppelkegels schneidet.,nches sowie diese Merkmale:
- Asymptotenlinien—dies sind zwei lineare Diagramme, denen sich die Kurve der Hyperbel nähert, aber niemals
- Ein Zentrum berührt, das der Schnittpunkt der Asymptoten ist
- Zwei Brennpunkte, um die sich jeder der beiden Zweige verbiegt
- Zwei Eckpunkte, einer für jeden Zweig
Die allgemeine Gleichung für eine Hyperbel mit Eckpunkten auf einer horizontalen Linie lautet:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1}
Die Exzentrizität einer Hyperbel ist auf e> 1 beschränkt und hat keine Obergrenze., Wenn die Exzentrizität bis zur Grenze von +\infty (positive Unendlichkeit) gehen darf, wird die Hyperbel zu einem ihrer degenerierten Fälle—einer geraden Linie. Der andere entartete Fall für eine Hyperbel besteht darin, ihre beiden geraden Asymptoten zu werden. Dies geschieht, wenn die Ebene die Spitze des Doppelkegels schneidet.