mik azok a Conic szakaszok?
a Kúpszelvényeket egy síkú kúp felületének metszéspontjával kapjuk meg, és bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek.,
tanulási célok
ismertesse a kúpos szakasz részeit, és hogy a kúpos szakaszok hogyan tekinthetők kettős kúp keresztmetszetének
Kulcsátvételek
kulcspontok
- a kúpos szakasz (vagy egyszerűen kúpos) egy görbe, amelyet egy kúp sík felületének metszéspontjaként kapunk; a három típus parabolák, ellipszisek és hiperbolák.
- egy kúpos szakasz egy koordinátasíkon ábrázolható.
- minden kúpos szakasz rendelkezik bizonyos funkciókkal, beleértve legalább egy fókuszt és a directrixet., A paraboláknak egy fókusz és directrix, míg az ellipsziseknek és a hiperboláknak kettő van.
- a kúpos szakasz a P pontok halmaza, amelynek
távolsága a fókusztól a P-től a kúp directrixjéig tartó távolság állandó többszöröse.
Key Terms
- vertex: an extreme point on a conic section.
- asimptote: egy egyenes vonal, amelyet egy görbe önkényesen közelít a végtelenhez.
- locus: az összes pont halmaza, amelynek koordinátái megfelelnek egy adott egyenletnek vagy feltételnek.,
- fókusz: egy kúpos szakasz felépítésére és meghatározására használt pont, amelynél a görbéből visszavert sugarak konvergálnak (többes szám: gócok).
- nappe: a kettős kúp egyik fele.
- kúpos szakasz: bármely görbe, amelyet egy sík metszéspontja képez két nappes kúppal.
- directrix: egy kúpos szakasz felépítésére és meghatározására használt vonal; a parabolának egy directrix; az ellipsziseknek és a hiperboláknak kettő (többes szám: directrices).,
a kúpos szakaszok meghatározása
a kúpos szakasz (vagy egyszerűen kúpos) egy görbe, amelyet egy kúp felületének metszéspontjaként kapunk egy síkkal. A kúpos szakaszok három típusa a hiperbola, a parabola és az ellipszis. A kör ellipszis típusú, néha a kúpos szakasz negyedik típusának tekintik.
kúpos szakaszok generálhatók egy kúpos sík metszésével. A kúpnak két azonos alakú része van, úgynevezett nappes. Egy nappe az, amit a legtöbb ember jelent a “kúp”, és az alakja egy fél kalap.,
A kúpos szakaszokat egy kúpos sík metszéspontja generálja. Ha a sík párhuzamos a forradalom tengelyével (az y tengely), akkor a kúpos rész hiperbola. Ha a sík párhuzamos a generáló vonallal, akkor a kúpos szakasz parabola. Ha a sík merőleges a forradalom tengelyére, akkor a kúpos rész egy kör. Ha a sík metszi egy nappe szögben a tengely (más, mint 90^{\circ}), akkor a kúpos rész egy ellipszis.,
a kúpos és kúpos szakaszok: a nappes és a négy kúpos szakasz. Minden kúp határozza meg a szög a sík teszi a tengelye a kúp.
a kúpos szakaszok közös részei
míg a kúpos szakaszok minden típusa nagyon másnak tűnik, vannak közös jellemzőik. Például minden típusnak legalább egy fókusz és directrix van.
a fókusz egy olyan pont, amelyről a kúpos szakasz épül. Más szavakkal, ez egy olyan pont, amelyről a görbéből visszavert sugarak konvergálnak., Egy parabolának van egy fókuszpontja, amelyről az alakzat épül; egy ellipszisnek és egy hiperbolának kettő van.
a directrix egy vonal, amelyet egy kúpos szakasz felépítésére és meghatározására használnak. A directrix távolsága a kúpos szakasz egyik pontjától állandó arányban van az adott ponttól a fókuszig terjedő távolsággal. Mint a fókusz esetében, a parabolának is van egy directrix, míg az ellipsziseknek és a hiperboláknak kettő.
ezeket a tulajdonságokat, amelyeket a kúpos szakaszok megosztanak, gyakran a következő definícióként mutatják be, amelyet a következő szakaszban tovább fejlesztünk., A kúpos szakasz a P pontok helye, amelynek távolsága a fókusztól a P-től a kúp directrixjéig tartó távolság állandó többszöröse. Ezek a távolságok narancssárga vonalakként jelennek meg az egyes kúpos szakaszokhoz az alábbi ábrán.
részei conic szakaszok: a három kúpos szakaszok gócok és directrices jelölt.
a kúpos szakasz minden típusát az alábbiakban részletesebben ismertetjük.,
Parabola
a parabola az összes olyan pont halmaza,amelynek távolsága egy rögzített ponttól, az úgynevezett fókusz, megegyezik a rögzített vonaltól való távolsággal, az úgynevezett directrix. A fókusz és a directrix közötti félúton lévő pontot a parabola csúcsának nevezik.
a következő ábrán négy parabolát ábrázolunk, amint azok megjelennek a koordináta síkján. Lehet, hogy kinyílnak, lefelé, balra vagy jobbra.
négy parabola, különböző irányokban nyílva: a csúcs a directrix és a fókusz közötti középpontban helyezkedik el.,
ellipszis
az ellipszis az összes olyan pont halmaza, amelyre a két rögzített ponttól (a fókuszoktól) való távolságok összege állandó. Ellipszis esetén két Fókusz, két irányzat van.
a következő ábrán egy tipikus ellipszis van ábrázolva, ahogy a koordinátasíkon megjelenik.
ellipszis: az ellipszis bármely pontjától a fókuszig terjedő távolságok összege állandó.,
Hyperbolas
a hiperbola az összes pont halmaza, ahol a két rögzített ponttól (a fókuszoktól) való távolságuk közötti különbség állandó. Hiperbola esetén két Fókusz és két irányzat van. A hiperboláknak két aszimptotája is van.
a következő ábrán egy tipikus hiperbola grafikája jelenik meg.
Hyperbola: az ellipszis bármely pontjától a fókuszig terjedő távolságok különbsége állandó. A keresztirányú tengelyt fő tengelynek is nevezik, a konjugált tengelyt pedig kisebb tengelynek is nevezik.,
a kúpos szakaszok
kúpos szakaszok alkalmazásait számos tanulmányi területen használják, különösen az alakzatok leírására. Például a csillagászatban használják az űrben lévő tárgyak pályáinak alakjainak leírására. Két hatalmas tárgy az űrben, amelyek kölcsönhatásba lépnek Newton univerzális gravitáció törvénye szerint, kúp alakú pályákon mozoghat. Tulajdonságaiktól függően ellipsziseket, parabolákat vagy hiperbolákat követhetnek.
excentricitás
minden kúpos szakasz állandó excentricitással rendelkezik, amely információt nyújt az alakjáról.,
Tanulási Célok
beszéljétek meg, hogy a különcség, a conic szakasz leírja a viselkedését
Gombot Átvétel
főbb Pontok
- excentricitás egy paraméter kapcsolatos minden conic szakasz, lehet hittem,
ahogy azt méri, hogy mennyi a conic részben eltér, hogy kör alakú. - a kúpos szakasz excentricitása a kúpos szakasz bármely pontjától a fókuszig terjedő távolság, amelyet az adott ponttól a legközelebbi directrixig terjedő merőleges távolság oszt meg.,
- az e értéke felhasználható a kúpos szakasz típusának meghatározására. Ha e = 1 parabola, ha e < 1 ellipszis, és ha e > 1 Ez egy hiperbola.
Key Terms
- excentricity: egy kúpos szakasz paramétere, amely leírja, hogy a kúpos szakasz mennyire tér el a kör alakjától.
excentricitás meghatározása
az excentricitás, amelyet e jelöl, minden kúpos szakaszhoz társított paraméter. Meg lehet gondolni, mint egy intézkedés, hogy mennyi a kúpos rész eltér attól, hogy kör alakú.,
a kúpos szakasz excentricitása a kúpos szakasz bármely pontjától a fókuszig terjedő távolság, amelyet az adott ponttól a legközelebbi directrixig terjedő merőleges távolság oszt meg. Az e értéke minden kúpos résznél állandó. Ez a tulajdonság a kúpos szakaszok általános definíciójaként használható., Az érték az e meghatározásához használható a típusú conic szakasz is:
- Ha e = 1, a conic egy parabola
- Ha e < 1, ez egy ellipszis
- Ha e > 1, ez egy hiperbola
A különcség, kör nulla. Vegye figyelembe, hogy két kúpos szakasz hasonló (azonos alakú), ha csak akkor, ha ugyanaz az excentricitás.
emlékezzünk arra, hogy a hiperboláknak és a nem kör alakú ellipsziseknek két fókuszuk és két kapcsolódó irányzatuk van, míg a paraboláknak egy fókuszuk és egy directrix., A következő ábrán a kúpos szakaszok minden típusát egy fókusz és directrix ábrázolja. A narancssárga vonalak jelzik a fókusz és a kúpszelvény pontjai közötti távolságot, valamint az azonos pontok és a directrix közötti távolságot. Ezek az excentricitás megtalálásához használt távolságok.
Kúpszelvények és azok részei: az excentricitás a kúpszelvény bármely pontjától a középpontig terjedő távolság és a ponttól a legközelebbi directrixig terjedő merőleges távolság aránya.,
az excentricitás fogalmának meghatározása
a parabola definíciójától a parabola bármely pontjától a fókuszig terjedő távolság megegyezik a directrix-től ugyanattól a ponttól való távolsággal. Ezért definíció szerint a parabola excentricitásának 1-nek kell lennie.
egy ellipszis esetében az excentricitás kevesebb, mint 1. Ez azt jelenti, hogy az excentricitást meghatározó arányban a számláló kisebb, mint a nevező. Más szóval, a kúpszakaszon lévő pont és a fókusz közötti távolság kisebb, mint az adott pont és a legközelebbi directrix közötti távolság.,
fordítva, a hiperbola excentricitása nagyobb, mint 1. Ez azt jelzi, hogy a legközelebbi directrix kúpszakaszon lévő pont közötti távolság kisebb, mint az adott pont és a fókusz közötti távolság.
A kúpos szakaszok típusai
a kúpos szakaszok egy kúpos sík metszéspontjával alakulnak ki, tulajdonságaik attól függnek, hogy ez a metszéspont hogyan történik.,
Tanulási Célok
Megvitassák a tulajdonságok különböző típusú kúpszeletek
Gombot Átvétel
főbb Pontok
- kúpszeletek egy adott típusú forma által alkotott metszéspontja egy gépet, majd jobbra, kör alakú tölcsér. A sík és a kúp közötti szögtől függően négy különböző metszésforma alakítható ki.
- a kúpos szakaszok típusai körök, ellipszisek, hiperbolák és parabolák.
- minden kúpos szakasznak degenerált alakja is van; ezek pontok és vonalak formájában jelennek meg.,
Key Terms
- degenerate: a conic section which does not fit the standard form of equation.
- asimptote: egy vonal, amelyet egy ívelt funkció vagy alak közelít, de soha nem érinti.
- hyperbola: a kúpos szakasz, amelyet a sík képez, merőleges a kúp alapjára.
- fókusz: egy görbe vonaltól távol eső pont, amely körül a görbe meghajlik.
- kör: a kúpos szakasz, amelyet a sík képez, párhuzamos a kúp alapjával.
- ellipszis: a kúpos szakasz, amelyet a sík a kúp alapjához képest szögben képez.,
- excentricitás: egy kúpos szakasz alakját jellemző dimenzió nélküli paraméter.
- Parabola: a kúpos szakasz, amelyet a sík képez, párhuzamos a kúppal.
- vertex: egy ívelt alak fordulópontja.
a kúpos szakaszok egy adott forma, amelyet egy sík és egy jobb kör alakú kúp metszéspontja képez. A sík és a kúp közötti szögtől függően négy különböző metszésforma alakítható ki. Mindegyik alaknak degenerált formája is van., Van egy tulajdonság az összes kúpos szakaszok úgynevezett excentricitás, amely formájában egy numerikus paraméter e. a négy kúpos szakasz formák mindegyik különböző értékei e.
típusú kúpos szakaszok: ez a szám azt mutatja, hogy a kúpos szakaszok, Világoskék, az eredménye egy síkban metsző kúp. Az 1. kép egy parabolát, a 2.kép egy kört (alját) és egy ellipszist (tetejét), a 3. kép pedig egy hiperbolát mutat.,
Parabola
parabola akkor keletkezik, amikor a sík párhuzamos a kúp felületével, ami egy U alakú görbét eredményez, amely a síkon fekszik. Minden parabola vannak bizonyos tulajdonságok:
- Egy vertex, melyik az a pont, ahol a görbe megfordul
- A hangsúly, ami pont nem az a görbe, amely a görbe hajlik
- Egy tengelyes szimmetria, ami egy összekötő vonal a csúcs pedig a fókusz, amely megosztja a parabola két egyenlő részre
Minden parabolas rendelkezik egy különcség értéke e=1., Az azonos excentricitás közvetlen eredményeként minden parabola hasonló, ami azt jelenti, hogy bármely parabola átalakítható bármely más pozícióváltozással és méretezéssel. A parabola degenerált esete az, amikor a sík alig érinti a kúp külső felületét, ami azt jelenti, hogy érintő a kúphoz. Ez egyenes vonalú metszést hoz létre a kúp átlójából.
a nem degenerált parabolák kvadratikus függvényekkel ábrázolhatók, például
f (x) = x^2
kör
egy kör alakul ki, amikor a sík párhuzamos a kúp alapjával., A kúppal való metszéspontja tehát egy olyan pontkészlet, amely egyenlő távolságra van egy közös ponttól (a kúp központi tengelye), amely megfelel a kör meghatározásának. Minden körnek vannak bizonyos jellemzői:
- a középpontja
- sugara, amely a kör bármely pontjától a középpontig terjedő távolság
minden körnek excentricitása van e = 0. Így, mint a parabola, minden kör hasonló, és átalakítható egymásba., Egy koordináta síkon a kör egyenletének általános formája
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
ahol (h,k) a kör középpontjának koordinátái, r pedig a sugár.
a kör degenerált formája akkor fordul elő, amikor a sík csak a kúp csúcsát metszi. Ez egy egypontos metszéspont, vagy egyenértékűen egy nulla sugarú kör.
az excentricitással ábrázolt kúpos szakaszok: ez a grafikon piros ellipszist mutat, 0 excentricitási értékkel.,5, zöld parabola, a szükséges excentricitással 1, Kék hiperbola, példa excentricitással 2. Azt is mutatja, hogy az egyik degenerált hiperbola eset, az egyenes fekete vonal, amely a végtelen excentricitásnak felel meg. A kör a parabola belsejében található, amely a hiperbola egyik oldalának belsejében van, amelynek vízszintes vonala alatta van. Ily módon a növekvő excentricitás azonosítható a kúpos szakasz egyfajta kibontakozásával vagy megnyitásával.,
ellipszis
amikor a sík kúphoz viszonyított szöge a kúp külső felülete és a kúp alja között van, a kapott metszéspont ellipszis. Az ellipszis meghatározása magában foglalja, hogy párhuzamos a kúp alapjával is, így minden kör az ellipszis különleges esete., Ellipszisek ezek a jellemzők:
- A fő tengelye, amely a leghosszabb szélesség át az ellipszis
- Egy kisebb tengely, amely a legrövidebb szélesség át az ellipszis
- A központ, amely a metszéspontja a két tengely
- Két fókuszpontok —bármely pontjára, az ellipszis, a távolságok összege mindkét kapcsolattartási pont egy állandó
három pontra van egy sor, a különcség értékek: 0 \leq e < 1. Vegye figyelembe, hogy a 0 értéket tartalmazza (egy kör), de az 1 értéket nem tartalmazza (ez parabola lenne)., Mivel van egy sor excentricitási érték, nem minden ellipszis hasonló. Az X-tengellyel párhuzamos főtengelyű ellipszis egyenletének általános formája:
\displaystyle {\frac {(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
az ellipszis degenerált formája egy nulla sugarú pont vagy kör, ugyanúgy, mint a kör esetében.
Hyperbola
hiperbola keletkezik, amikor a sík párhuzamos a kúp központi tengelyével, ami azt jelenti, hogy metszi a kettős kúp mindkét részét.,nches, valamint e jellemzők:
- clip: kivág egy darabot vonalak—két lineáris grafikonok, hogy a görbe a hiperbola megközelítések, de soha nem érinti meg
- A központ, amely a kereszteződés a pl.
- Két kapcsolattartási pont, mely körül minden ága hajlik
- Két csúcsot, minden ág
Az általános egyenlet egy hiperbola csúcsai egy vízszintes vonal:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
A különcség, a hiperbola korlátozódik e > 1, akkor pedig nincs felső határa., Ha az excentricitás megengedett a +\infty (pozitív végtelenség) határáig, akkor a hiperbola az egyik degenerált esetévé válik—egyenes vonal. A hiperbola másik degenerált esete az, hogy két egyenes aszimptotává válik. Ez akkor történik, amikor a sík keresztezi a kettős kúp csúcsát.