mi az FEA / végeselem elemzés?

a végeselem analízis (FEA) egy adott fizikai jelenség szimulációja a végeselem módszer (Fem) nevű numerikus technikával. A mérnökök FEA szoftver segítségével csökkentik a fizikai prototípusok és kísérletek számát, valamint optimalizálják az alkatrészeket a tervezési fázisban, hogy jobb termékeket fejlesszenek ki, gyorsabban, miközben megtakarítják a költségeket.,

a matematikát olyan fizikai jelenségek átfogó megértésére és számszerűsítésére kell használni, mint a szerkezeti vagy folyadék viselkedés, a termikus szállítás, a hullámterjedés, a biológiai sejtek növekedése stb. Ezeknek a folyamatoknak a többségét parciális differenciálegyenletek (PDEs) segítségével írják le. Ahhoz azonban, hogy egy számítógép megoldja ezeket a PD-ket, numerikus technikákat fejlesztettek ki az elmúlt néhány évtizedben, és az egyik kiemelkedő, ma, a végeselem elemzés.,

a differenciálegyenletek nemcsak a természeti jelenségeket, hanem a mérnöki mechanikában tapasztalt fizikai jelenségeket is leírják. Ezek a parciális differenciálegyenletek (PDEs) olyan bonyolult egyenletek, amelyeket meg kell oldani annak érdekében, hogy kiszámítsuk a szerkezet megfelelő mennyiségeit (például feszültségek (\(\epsilon\)), törzsek (\(\epsilon\)) stb.) annak érdekében, hogy megbecsüljük a szerkezeti viselkedést egy adott terhelés alatt. Fontos tudni, hogy a FEA csak közelítő megoldást ad a problémára, és egy numerikus megközelítés, hogy a valós eredmény ezen parciális differenciálegyenletek., Egyszerűsített, az FEA egy numerikus módszer annak előrejelzésére, hogy egy rész vagy szerelvény hogyan viselkedik adott körülmények között. A modern szimulációs szoftver alapjául szolgál, segít a mérnököknek megtalálni a gyenge pontokat, a feszültség területeit stb. a terveikben. Az FEA módszeren alapuló szimuláció eredményeit általában egy színskálán keresztül ábrázolják, amely például a nyomás eloszlását mutatja az objektum felett.

nézőpontjától függően az FEA már a 16.században is Euler munkájában ered., A végeselem-analízis legkorábbi matematikai dolgozatai azonban Schellbach és Courant műveiben találhatók .

a FEA-t a különböző iparágak mérnökei önállóan fejlesztették ki a repülőgépiparral és az építőmérnökséggel kapcsolatos szerkezeti mechanikai problémák kezelésére. A valós alkalmazások fejlesztése az 1950-es évek közepén kezdődött Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris és Babuska & Aziz show néven., Zienkiewicz és Strang & Fix könyvei megalapozták az FEA software jövőbeli fejlesztéseit is.

Divide and Conquer

szimulációk készítéséhez létre kell hozni egy olyan hálót, amely akár több millió apró elemből áll, amelyek együttesen alkotják a szerkezet alakját., A számításokat minden egyes elemre elvégzik. Az egyes eredmények kombinálása adja a szerkezet végeredményét. Az imént említett közelítések általában polinomok, sőt, interpolációk az elem(ek) felett. Ez azt jelenti, hogy az elem bizonyos pontjain ismerjük az értékeket, de nem minden ponton. Ezeket a “bizonyos pontokat” csomópontoknak nevezzük, amelyek gyakran az elem határán helyezkednek el. Az a pontosság, amellyel a változó megváltozik, bizonyos közelítéssel fejeződik ki pl. lineáris, kvadratikus, köbös stb., Annak érdekében, hogy jobban megértsük a közelítési technikákat, megnézzük az egydimenziós sávot. Tekintsük a valódi hőmérséklet-eloszlást T (x) a sáv mentén az alábbi képen:

tegyük fel, hogy ismerjük ennek a sávnak a hőmérsékletét 5 meghatározott helyzetben (az ábrán 1-5 számok)., Most a kérdés: hogyan tudjuk megjósolni a hőmérsékletet ezen pontok között? A lineáris közelítés elég jó, de vannak jobb lehetőségek, hogy képviselje a valós hőmérséklet-eloszlás. Ha négyzet alakú közelítést választunk, akkor a rúd mentén a hőmérséklet-eloszlás sokkal simább. Mindazonáltal azt látjuk, hogy a polinom mértékétől függetlenül a rúd feletti Eloszlás akkor ismert, ha ismerjük az értékeket a csomópontokon. Ha végtelen sáv lenne, végtelen mennyiségű ismeretlen lenne (szabadságfok (DOF))., De ebben az esetben problémánk van egy “véges” ismeretlen számmal:

egy véges számú ismeretlen rendszert diszkrét rendszernek neveznek. A végtelen számú ismeretlen rendszert folyamatos rendszernek nevezik.

közelítések céljából a következő relációt találjuk egy \(u(x)\mezőmennyiséghez:

$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$

$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

a tetején látható sor ezt az elvet mutatja egy 1D probléma., \(u\) a hőmérsékletet egy rúd hossza mentén ábrázolhatja, amelyet nem egyenletes módon melegítenek. Esetünkben négy elem van az x tengely mentén, ahol a funkció meghatározza a vonal mentén pontok által ábrázolt hőmérséklet lineáris közelítését.

a végeselem analízis használatakor az egyik legnagyobb előny az, hogy elemenként változtathatjuk a diszkretizációt, vagy diszkretizálhatjuk a megfelelő alapfunkciókat. De facto, használhatnánk kisebb elemeket olyan régiókban, ahol \(u\) magas gradiensek várhatók., A függvény meredekségének modellezéséhez közelítéseket kell végezni.

parciális differenciálegyenletek

mielőtt folytatná az FEA-t, fontos megérteni a PD-k különböző típusait és azok FEA-re való alkalmasságát. Ennek megértése mindenki számára fontos, függetlenül attól, hogy valaki motiválja-e a végeselem-elemzést. Folyamatosan emlékeztetni kell arra, hogy a FEA szoftver egy eszköz, minden eszköz csak olyan jó, mint a felhasználó.,

a PDE-k besorolhatók elliptikus (meglehetősen sima), hiperbolikus (folytonossági támogatási megoldások) és parabolikus (időfüggő diffúziós problémák leírása). Ezeknek a differenciálegyenleteknek a megoldásakor meg kell adni a határ és/vagy a kezdeti feltételeket. A PDE típusa alapján a szükséges bemenetek értékelhetők. Az egyes kategóriákban a PDE-k példái közé tartozik a Poisson-egyenlet (elliptikus), a hullámegyenlet (hiperbolikus) és a Fourier-törvény (parabolikus).,

két fő megközelítés megoldása elliptikus PDE – a Véges differencia Elemzés (FDA) pedig Variációs (vagy Energia) Módszerek. A FEA a variációs módszerek második kategóriájába tartozik. A variációs megközelítések elsősorban az energia minimalizálásának filozófiáján alapulnak.

a hiperbolikus PDE-k általában a megoldások ugrásaihoz kapcsolódnak., A hullámegyenlet például egy hiperbolikus PDE. Mivel a létezését töréseket (vagy ugrás), a megoldásokat az eredeti FEA technológia (vagy Bubnov-Galerkin-Módszer) hitték, hogy alkalmatlan a megoldása hiperbolikus PDE van. Azonban az évek során, módosítások fejlesztettek ki, hogy meghosszabbítja a alkalmazhatósága FEA szoftver technológia.

fontos figyelembe venni a választott PDE típusra alkalmatlan numerikus keretrendszer használatának következményeit. Az ilyen használat olyan megoldásokhoz vezet, amelyeket “helytelenül pózolnak”., Ez azt jelentheti, hogy a tartományparaméterek kis változásai a megoldások nagy oszcillációihoz vezetnek, vagy a megoldások csak a domain vagy az idő egy bizonyos részén léteznek. Ezek nem megbízhatóak. A jól megfogalmazott megoldások egy egyedi megoldással vannak definiálva, amely folyamatosan létezik a megadott adatok számára. Ezért, figyelembe véve a megbízhatóságot, rendkívül fontos megszerezni őket.

A gyenge és erős megfogalmazás

Az ebben a sorozatban szereplő hővezetés és elasztosztatika matematikai modelljei (parciális) differenciálegyenletekből állnak, kezdeti és határfeltételekkel., Ezt a probléma úgynevezett erős formájának is nevezik. Az alábbi ábrán néhány példa található az “erős formákra”:

másodrendű parciális differenciálegyenletek nagyfokú simaságot igényelnek a \(u(x)\) megoldáshoz. Ez azt jelenti, hogy az elmozdulás második származékának léteznie kell, és folyamatosnak kell lennie! Ez olyan paraméterekre vonatkozó követelményeket is magában foglal, amelyeket nem lehet befolyásolni, mint például a geometria (éles élek) és az anyagparaméterek (az anyag különböző modulusai).,

a végeselem-összetétel kialakításához a parciális differenciálegyenleteket a gyenge formának nevezett integrált formában kell újra létrehozni. A gyenge forma és az erős forma egyenértékűek! A stresszelemzésben a gyenge formát a virtuális munka elvének nevezik.

$\int^l_0\frac{dw}{DX}ae \ frac{du}{DX}DX=(wa \ overline{t}) _ {x=0} + \ int^l _0wbdx ~ ~ \ forall w ~with ~ w(l)=0 \tag{3}$

az adott egyenlet az úgynevezett gyenge forma (ebben az esetben az elasztosztatikumok gyenge formulációja)., A név azt állítja, hogy a gyenge forma megoldásainak nem kell olyan simanak lenniük, mint az erős forma megoldásai, ami gyengébb folytonossági követelményeket jelent.

szem előtt kell tartani, hogy a gyenge formát kielégítő megoldás az egyenlet erős megfelelőjének megoldása is. Ne feledje továbbá, hogy a \(u(x)\) próbaoldatoknak meg kell felelniük az elmozdulási határfeltételeknek. Ez a próbamegoldások alapvető tulajdonsága, ezért nevezzük ezeket a határfeltételeket alapvető határfeltételeknek.

ezek a készítmények érdeklik Önt?, Ha igen, kérjük, olvassa el többet a fórum témájában a PDES gyenge és erős megfogalmazása közötti egyenértékűségről az FEA számára.

minimális potenciális energia

a végeselem analízis a variáció elvével is végrehajtható. Az egydimenziós elasztosztatika esetében a minimális potenciális energia ellenáll a konzervatív rendszereknek. Az egyensúlyi helyzet stabil, ha a \(\Pi\) rendszer potenciális energiája minimális. A stabil helyzet minden végtelen zavara energikus kedvezőtlen állapothoz vezet, ami helyreállító reakciót jelent., Egy egyszerű példa egy normál üvegpalack, amely a földön áll, ahol minimális potenciális energiával rendelkezik. Ha leesik, semmi sem fog történni, kivéve a hangos zajt. Ha egy asztal sarkán áll, és a földre esik, akkor valószínűleg eltörik, mivel több energiát hordoz a föld felé. A variáció elve, használjuk ezt a tényt. Minél alacsonyabb az energiaszint, annál kevésbé valószínű, hogy rossz megoldást kap., A teljes potenciális energia \(\Pi\) egy rendszer áll a munka, a belső erők (alakváltozási energia)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon Egy(x)} dx \tag{4}$$

a munka, a külső erők

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma-_t} \tag{5}$$

A teljes energia:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

meg többet a minimális potenciális energiát, a kapcsolódó fórum téma.,

Mesh konvergencia

a számítási mechanika egyik leginkább figyelmen kívül hagyott kérdése, amely befolyásolja a pontosságot, a háló konvergenciája. Ez azzal kapcsolatos, hogy az elemeknek milyen kicsinek kell lenniük annak biztosítása érdekében, hogy az elemzés eredményeit ne befolyásolja a háló méretének megváltoztatása.

a fenti ábra egy mennyiség konvergenciáját mutatja a szabadságfok növekedésével. Amint az ábrán látható, fontos először azonosítani az érdeklődés mennyiségét. Legalább három pontot kell figyelembe venni, és ahogy a hálósűrűség növekszik, a kamat mennyisége egy adott értékhez kezd közeledni. Ha két későbbi finomítás nem változtatja meg jelentősen az eredményt, akkor feltételezhető, hogy az eredmény konvergált.,

a háló finomításának kérdésében nem mindig szükséges a háló finomítása az egész modellben. A St. Venant elve azt állítja, hogy az egyik régióban a helyi feszültségek nem befolyásolják máshol a stresszt. Ezért fizikai szempontból a modell csak bizonyos érdekes régiókban finomítható, továbbá átmeneti zónával rendelkezik a durva hálótól a finom hálóig., Kétféle finomítás létezik (h – és P-finomítás) a fenti ábrán látható módon. a H-finomítás az elemméretek csökkenéséhez kapcsolódik, míg a p-finomítás az elem sorrendjének növeléséhez kapcsolódik.

Itt fontos különbséget tenni a geometriai hatás háló konvergencia, különösen, ha összekeveredtek ívelt felület segítségével egyenes (vagy lineáris) elemek lesz szükség több elem (vagy háló finomítás), hogy elfog a határ pontosan., A háló finomítása a hibák jelentős csökkenéséhez vezet:

Az ilyen finomítás lehetővé teszi a megoldások konvergenciájának növekedését anélkül, hogy növelné a megoldandó általános probléma méretét.

hogyan mérjük a konvergenciát?,

tehát most, hogy megvitatták a konvergencia fontosságát, hogyan lehet mérni a konvergenciát? Mi a kvantitatív intézkedés a konvergenciához? Az első módszer az analitikai megoldásokkal vagy kísérleti eredményekkel való összehasonlítás.

az elmozdulások hibája:

$ $e_u = u-u^h \ tag{7}$

ahol \(u\) az elmozdulási mező analitikai megoldása.

A törzsek hibája:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8}$

ahol \(\epsilon\) a törzsmező analitikai megoldása.,

a feszültségek hibája:

$$e_ \ sigma = \ sigma – \ sigma^h \ tag{9}$

ahol \(\sigma\) a stressz mező analitikai megoldása.

amint az a fenti egyenletekben is látható, több hiba is meghatározható az elmozdulások, törzsek és feszültségek tekintetében. Ezeket a hibákat összehasonlításra lehet használni, és a háló finomításával csökkenteni kell őket. Tudjon meg többet arról, hogy ezeket a hibákat hogyan számítják ki az e mennyiségekre vonatkozó megfelelő normákkal.,

végeselem analízis szoftver

a végeselem analízis jelentős ígérettel kezdődött a repülőgép-és építőiparhoz kapcsolódó számos mechanikai alkalmazás modellezésében. A végeselemes módszer alkalmazása csak most kezdődik el a potenciál elérésében., Az egyik legizgalmasabb kilátások alkalmazása kapcsolt problémák, mint a folyadék-szerkezet interakció; termo-mechanikus, termo-kémiai, termo-kemo-mechanikai problémák piezoelektromos, ferroelektromos, elektromágnesesség és egyéb releváns területeken:

statikus

statikus analízis, akkor elemezze a lineáris statikus és nemlineáris kvázi-statikus szerkezetek. Egy alkalmazott statikus terhelésű lineáris esetben csak egy lépésre van szükség a szerkezeti válasz meghatározásához. Geometriai, érintkező és anyagi nemlinearitást is figyelembe lehet venni. Példa erre egy híd csapágypárnája.,

Dynamic

a dinamikus elemzés segít elemezni egy olyan struktúra dinamikus válaszát, amely dinamikus terheléseket tapasztalt egy adott időkereten keresztül. A szerkezeti problémák reális modellezéséhez elemezheti a terhelések hatásait, valamint az elmozdulásokat is. Példa erre az emberi koponya hatása, sisakkal vagy anélkül.

Modal

egy szerkezet rezgés miatti Eigenfrequenciái és eigenmódjai szimulálhatók modális analízissel. Egy adott terhelés alatt álló szerkezet vagy rendszer csúcsválaszát harmonikus elemzéssel lehet szimulálni., Példa erre a motor indítása.

a Különböző Típusú Véges Elem Módszer

Mint azt korábban a részben a PDEs, hagyományos FEM technológia bebizonyította, hiányosságai modellezés kapcsolatos problémák folyadék mechanika, hullámterjedési, stb. Az elmúlt két évtizedben számos fejlesztés történt a megoldási folyamat javítása, valamint a végeselem-analízis alkalmazhatóságának kiterjesztése a problémák széles műfajára., Néhány fontos még mindig használatban van:

kiterjesztett végeselem módszer (XFEM)

a Bubnov-Galerkin módszer az elemek közötti elmozdulások folytonosságát igényli. Az olyan problémák, mint a kontaktus, a törés és a sérülés, azonban olyan megszakításokat és ugrásokat is magukban foglalnak, amelyeket végeselemes módszerekkel nem lehet közvetlenül kezelni. Ennek a hiányosságnak a leküzdése érdekében az XFEM az 1990-es években született. az XFEM az Alakfüggvények Heaviside step funkciókkal történő bővítésén keresztül működik., Extra szabadságfokokat rendelnek a folytonossági pont körüli csomópontokhoz, hogy az ugrások figyelembe vehetők legyenek.

generalizált végeselem módszer (Gfem)

a GFEM a 90-es években az XFEM-Mel nagyjából egy időben került bevezetésre. egyesíti a hagyományos fem szoftver és a meshless methods jellemzőit. Az alakfüggvényeket elsősorban a globális koordinátákban definiálják, majd az egység partíciójával szorozzák meg a helyi elemi alakfüggvények létrehozásához. A GFEM egyik előnye a szingularitások körüli Újraegyesítés megelőzése.,

vegyes végeselem módszer

Több probléma esetén, mint például a kontaktus vagy az érthetetlenség, a korlátokat Lagrange multiplikátorok segítségével szabják meg. Ezek a Lagrange multiplikátorokból eredő extra szabadságfokok önállóan oldódnak meg. Az egyenleteket úgy oldják meg, mint egy kapcsolt rendszert.

hp-végeselem módszer

hp-FEM kombinációja az automatikus háló finomítás (h-finomítás) és növeli a sorrendben polinom (p-finomítás). Ez nem ugyanaz, mint a h – és P – finomítások külön-külön., Ha automatikus hp-finomítást használunk, és egy elemet kisebb elemekre osztunk (h-finomítás), akkor minden elemnek különböző polinomrendjei is lehetnek.

A nem folytonos Galerkin végeselemes módszer (DG-FEM)

A DG-FEM jelentős ígéretet mutatott a véges elemek ötletének a hiperbolikus egyenletek megoldására, ahol a hagyományos végeselemes módszerek gyengék voltak. Emellett ígéretet tett a hajlítási és összenyomhatatlan problémákra is, amelyeket a legtöbb anyagi folyamatban gyakran megfigyelnek., Itt további korlátok kerülnek hozzáadásra a gyenge formához, amely magában foglalja a büntetőparamétert (az interpenetráció megakadályozása érdekében), valamint az elemek közötti feszültségek egyéb egyensúlyának feltételeit.

végeselem-analízis & SimScale

a SimScale FEA szoftverkomponense lehetővé teszi, hogy gyakorlatilag tesztelje és megjósolja a szerkezetek viselkedését, és ezáltal megoldja a statikus és dinamikus terhelési feltételeknek kitett komplex szerkezeti mérnöki problémákat., Az FEA szimulációs platform skálázható numerikus módszereket használ, amelyek kiszámíthatják azokat a matematikai kifejezéseket, amelyek egyébként nagyon kihívást jelentenek a komplex terhelés, geometriák vagy anyagi tulajdonságok miatt.

• Jacob Fish és Ted Belytschko, “a First Course in finest Elements by Jacob Fish and Ted Belytschko”, Wiley, 2007
• R ., Courant, “variációs módszerek az egyensúlyi és rezgési problémák megoldására”, 1943
• k . Schellbach, “Probleme der Variationsrechnung”, 1851, Berlin

Utoljára frissítve: 2021. január 20.