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Gauss-Jordan Elimination ist ein Algorithmus, der verwendet werden kann, um lineare Gleichungssysteme zu lösen und die Umkehrung einer invertierbaren Matrix zu finden. Es basiert auf drei elementaren Zeilenoperationen, die man für eine Matrix verwenden kann:

1. Tauschen Sie die Positionen von zwei der Zeilen
2. Multiplizieren Sie eine der Zeilen mit einem Skalar ungleich Null.
3. Addieren oder subtrahieren Sie das skalare Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile.,

Echelonform mit reduzierter Zeile

Der Zweck der Gauss-Jordan-Eliminierung besteht darin, die drei elementaren Zeilenoperationen zu verwenden, um eine Matrix in eine Echelonform mit reduzierter Zeile umzuwandeln. Eine Matrix befindet sich in Form von Zeilen mit reduzierter Zeile, auch als Zeilen-kanonische Form bezeichnet, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Alle Zeilen mit nur Null Einträgen befinden sich am unteren Rand der Matrix
2. Der erste Eintrag ungleich Null in einer Zeile, der als führender Eintrag oder Drehpunkt bezeichnet wird, jeder Zeile ungleich Null, befindet sich rechts neben dem führenden Eintrag der Zeile darüber.,
3. Der führende Eintrag, auch Pivot genannt, in jeder Zeile ungleich Null ist 1.
4. Alle anderen Einträge in der Spalte mit einer führenden 1 sind Nullen.

Die Matrizen A und B sind in Form von Staffeln mit reduzierter Reihe, die Matrizen C und D jedoch nicht. C ist nicht in Form von Staffeln mit reduzierter Reihe, da es gegen die Bedingungen zwei und drei verstößt. D ist nicht in Form von Staffeln mit reduzierter Reihe, da es die Bedingung vier verletzt. Zusätzlich können die elementaren Zeilenoperationen verwendet werden, um Matrix D in Matrix B zu reduzieren.,

Schritte zur Gauss-Jordan Elimination

Zur Gauss-Jordan Elimination:

1. Tauschen Sie die Zeilen so aus, dass sich alle Zeilen mit allen Nulleinträgen unten befinden
2. Tauschen Sie die Zeilen so aus, dass sich die Zeile mit dem größten Eintrag ganz links ungleich Null oben befindet.
3. Multiplizieren Sie die oberste Zeile mit einem Skalar, sodass der führende Eintrag der obersten Zeile zu 1 wird.
4. Addieren / subtrahieren Sie ein Vielfaches der obersten Zeile zu den anderen Zeilen, sodass alle anderen Einträge in der Spalte, die den führenden Eintrag der obersten Zeile enthält, alle Null sind.,
5. Wiederholen Sie die Schritte 2-4 für den nächsten Eintrag ganz links ungleich Null, bis alle führenden Einträge 1 sind.
6. Tauschen Sie die Zeilen so aus, dass sich der führende Eintrag jeder Zeile ungleich Null rechts neben dem führenden Eintrag der Zeile darüber befindet.,

Ausgewählte Videobeispiele sind unten dargestellt:

• Gauss-Jordan Elimination – Jonathan Mitchell (YouTube)
• Mit Gauss-Jordan ein System von drei linearen Gleichungen zu lösen – Beispiel 1 – patrickJMT (YouTube)
• Algebra – Matrizen – Gauss Jordan Methode Teil 1 Augmented Matrix – IntuitiveMath (YouTube)
• Gaußsche Elimination – patrickJMT (YouTube)

Um die Umkehrung einer n × n Matrix A zu erhalten :