Le operazioni aritmetiche di base sono addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, sebbene questo argomento includa anche operazioni più avanzate, come manipolazioni di percentuali, radici quadrate, esponenziazione, funzioni logaritmiche e persino funzioni trigonometriche, allo stesso modo dei logaritmi (protesofaeresi). Le espressioni aritmetiche devono essere valutate in base alla sequenza di operazioni prevista., Esistono diversi metodi per specificarlo, il più comune, insieme alla notazione infissa, utilizzando esplicitamente parentesi e basandosi su regole di precedenza, o utilizzando un prefisso o una notazione postfix, che fissano in modo univoco l’ordine di esecuzione da soli. Qualsiasi insieme di oggetti su cui possono essere eseguite tutte e quattro le operazioni aritmetiche (ad eccezione della divisione per zero) e in cui queste quattro operazioni obbediscono alle solite leggi (inclusa la distributività), è chiamato campo.,
AdditionEdit
L’aggiunta di molti numeri finitamente può essere vista come aggiunta semplice ripetuta; questa procedura è nota come sommatoria, un termine usato anche per indicare la definizione di “aggiunta di infiniti numeri” in una serie infinita. L’aggiunta ripetuta del numero 1 è la forma più basilare di conteggio; il risultato dell’aggiunta di 1 è solitamente chiamato il successore del numero originale.
L’aggiunta è commutativa e associativa, quindi l’ordine in cui vengono aggiunti finitamente molti termini non ha importanza.,
Il numero 0 ha la proprietà che, quando aggiunto a qualsiasi numero, produce lo stesso numero; quindi, è l’elemento identity di addition o l’identità additiva.
L’aggiunta può anche essere interpretata geometricamente, come nell’esempio seguente.Se abbiamo due bastoncini di lunghezze 2 e 5, quindi, se i bastoncini sono allineati uno dopo l’altro, la lunghezza del bastone combinato diventa 7, poiché 2 + 5 = 7.,
SottrazioneEdit
La sottrazione, indicata dal simbolo − {\displaystyle -} , è l’operazione inversa all’addizione. La sottrazione trova la differenza tra due numeri, il minuendo meno il subtrahend: D = M-S. Ricorrendo all’aggiunta precedentemente stabilita, questo per dire che la differenza è il numero che, quando aggiunto al subtrahend, risulta nel minuendo: D + S = M.,
Per gli argomenti positivi M e S contiene:
Se il minuend è maggiore del subtrahend, la differenza D è positiva. Se il minuend è più piccolo del subtrahend, la differenza D è negativa.
In ogni caso, se minuend e subtrahend sono uguali, la differenza D = 0.
La sottrazione non è né commutativa né associativa., Per questo motivo, la costruzione di questa operazione inversa nell’algebra moderna viene spesso scartata a favore dell’introduzione del concetto di elementi inversi (come abbozzato sotto § Addizione), dove la sottrazione è considerata come aggiunta dell’inverso additivo del subtrahend al minuend, cioè a − b = a + (−b)., Il prezzo immediato di scartare l’operazione binaria di sottrazione è l’introduzione dell’operazione unaria (banale), fornendo l’inverso additivo per un dato numero e perdendo l’accesso immediato alla nozione di differenza, che è potenzialmente fuorviante quando sono coinvolti argomenti negativi.
Per qualsiasi rappresentazione di numeri, esistono metodi di calcolo dei risultati, alcuni dei quali sono particolarmente vantaggiosi nello sfruttare procedure, esistenti per un’operazione, da piccole alterazioni anche per altre., Ad esempio, i computer digitali possono riutilizzare i circuiti di aggiunta esistenti e salvare circuiti aggiuntivi per implementare una sottrazione, utilizzando il metodo del complemento a due per rappresentare gli inversi additivi, che è estremamente facile da implementare in hardware (negazione). Il trade-off è il dimezzamento dell’intervallo di numeri per una lunghezza di parola fissa.
Un metodo precedentemente diffuso per ottenere un importo di modifica corretto, conoscendo gli importi dovuti e dati, è il metodo di conteggio, che non genera esplicitamente il valore della differenza., Supponiamo che un importo P sia dato per pagare l’importo Q richiesto, con P maggiore di Q. Piuttosto che eseguire esplicitamente la sottrazione P − Q = C e contando quell’importo C in cambio, il denaro viene conteggiato a partire dal successore di Q e continuando nei passaggi della valuta, fino a raggiungere P. Anche se l’importo conteggiato deve essere uguale al risultato della sottrazione P − Q, la sottrazione non è mai stata realmente eseguita e il valore di P − Q non viene fornito con questo metodo.,
Moltiplicazionemodifica
La moltiplicazione, indicata dai simboli × {\displaystyle \times } o ⋅ {\displaystyle \cdot } , è la seconda operazione di base dell’aritmetica. Moltiplicazione combina anche due numeri in un unico numero, il prodotto. I due numeri originali sono chiamati il moltiplicatore e il moltiplicand, per lo più entrambi sono semplicemente chiamati fattori.
La moltiplicazione può essere vista come un’operazione di ridimensionamento., Se i numeri sono immaginati come se si trovassero in una linea, la moltiplicazione per un numero maggiore di 1, ad esempio x, equivale a distendere tutto da 0 in modo uniforme, in modo tale che il numero 1 stesso sia allungato dove x era. Allo stesso modo, moltiplicare per un numero inferiore a 1 può essere immaginato come spremere verso 0, in modo tale che 1 vada al moltiplicando.
Un’altra vista sulla moltiplicazione dei numeri interi (estendibile ai razionali ma non molto accessibile per i numeri reali) è considerandola come aggiunta ripetuta. Biru., 3 × 4 corrisponde all’aggiunta di 3 volte a 4 o 4 volte a 3, dando lo stesso risultato. Ci sono opinioni diverse sulla vantaggiosità di questi paradigmati nell’educazione matematica.
La moltiplicazione è commutativa e associativa; inoltre, è distributiva su addizione e sottrazione. L’identità moltiplicativa è 1, poiché moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene lo stesso numero. L’inverso moltiplicativo per qualsiasi numero tranne 0 è il reciproco di questo numero, perché moltiplicando il reciproco di qualsiasi numero per il numero stesso produce l’identità moltiplicativa 1., 0 è l’unico numero senza un inverso moltiplicativo e il risultato di moltiplicare qualsiasi numero e 0 è di nuovo 0. Si dice che 0 non è contenuto nel gruppo moltiplicativo dei numeri.
Il prodotto di a e b è scritto come a × b o a·b. Quando a o b sono espressioni non scritte semplicemente con cifre, è anche scritto da una semplice giustapposizione: ab. Nei linguaggi di programmazione e nei pacchetti software (in cui si possono usare solo caratteri normalmente presenti su una tastiera), è spesso scritto con un asterisco: a * b.,
Gli algoritmi che implementano l’operazione di moltiplicazione per varie rappresentazioni di numeri sono di gran lunga più costosi e laboriosi di quelli per l’aggiunta. Quelli accessibili per il calcolo manuale si basano sulla suddivisione dei fattori in valori di posto singolo e sull’applicazione di addizioni ripetute, o sull’impiego di tabelle o regoli, mappando così la moltiplicazione all’addizione e viceversa. Questi metodi sono obsoleti e vengono gradualmente sostituiti da dispositivi mobili., I computer utilizzano diversi algoritmi sofisticati e altamente ottimizzati, per implementare la moltiplicazione e la divisione per i vari formati numerici supportati nel loro sistema.
DivisionEdit
La divisione, indicata dai simboli ÷ {\displaystyle \div } o / {\displaystyle/}, è essenzialmente l’operazione inversa alla moltiplicazione. La divisione trova il quoziente di due numeri, il dividendo diviso per il divisore. Qualsiasi dividendo diviso per zero non è definito., Per numeri positivi distinti, se il dividendo è maggiore del divisore, il quoziente è maggiore di 1, altrimenti è inferiore a 1 (una regola simile si applica per i numeri negativi). Il quoziente moltiplicato per il divisore produce sempre il dividendo.
La divisione non è né commutativa né associativa. Quindi, come spiegato in § Sottrazione, la costruzione della divisione nell’algebra moderna viene scartata a favore della costruzione degli elementi inversi rispetto alla moltiplicazione, come introdotto in § Moltiplicazione., Quindi la divisione è la moltiplicazione dei dividendi, con il reciproco del divisore come fattori, che è, a ÷ b = a × 1/b.
all’Interno dei numeri naturali, c’è anche un diverso ma correlato concetto chiamato divisione Euclidea, che genera due numeri dopo la “separazione” un naturale N (numeratore) per un naturale D (denominatore): prima un naturale Q (quoziente), e secondo un naturale R (resto) tali che N = P×Q + R e 0 ≤ R < D.