Alle diese Funktionen sind in ihren Domänen kontinuierlich und differenzierbar. Im Folgenden machen wir eine Liste von Derivaten für diese Funktionen.
Ableitungen grundlegender trigonometrischer Funktionen
Wir haben bereits die Ableitungen von Sinus und Kosinus auf der Definition der Ableitungsseite abgeleitet. Sie sind wie folgt:
\
Mit der Quotientenregel ist es einfach, einen Ausdruck für die Ableitung der Tangente zu erhalten:
Die Ableitung der Tangente kann auf die gleiche Weise gefunden werden., Dies kann jedoch auch unter Verwendung der Kettenregel zur Unterscheidung einer zusammengesetzten Funktion erfolgen:
Ähnlich finden wir die Ableitungen von Sekante und Kosekante:
Tabelle der Ableitungen trigonometrischer Funktionen
Die folgende Tabelle fasst die Ableitungen von \(6\) trigonometrischen Grundfunktionen zusammen:
In den folgenden Beispielen finden Sie die Ableitung der angegebenen Funktion.
Probleme gelöst
Klicken oder tippen Sie auf ein Problem, um die Lösung zu sehen.,
Beispiel 1.
\
Lösung.
Unter Verwendung der linearen Eigenschaften der Ableitung, der Kettenregel und der Doppelwinkelformel erhalten wir:
Beispiel 2.
\
Lösung.
Die Ableitung dieser Funktion ist
Der Zähler kann mit Hilfe der trigonometrischen Identität vereinfacht werden
\
Daher
\
Beispiel 3.
\
Lösung.
Mit der Power-Regel und der Chain-Regel erhalten wir
Beispiel 4.
\
Lösung.,
Wir finden die Ableitung dieser Funktion unter Verwendung der Potenzregel und der Kettenregel:
Hier nehmen wir an, dass \(\cos x \ne 0\), dh \(x \ne {\large\frac{\pi }{2}\normalsize} + \pi n,\) \(n \in \mathbb{Z}.\)
Beispiel 5.
\
Lösung.
Nach der Quotientenregel
Beispiel 6.
\
Lösung.
Unter Anwendung der Potenzregel und der Kettenregel erhalten wir:
Der letzte Ausdruck kann durch die Doppelwinkelformel vereinfacht werden:
\
Folglich ist die Ableitung
\
Beispiel 7.
\
Lösung.,
Mit der Produktregel können wir schreiben: