Hva Er kjeglesnitt?
kjeglesnitt er oppnådd ved skjæringspunktet mellom overflaten av en kjegle med et plan, og har visse funksjoner.,
Mål
Beskrive deler av en ikpsoniske delen og hvordan kjeglesnitt kan bli tenkt på som tverrprofiler av en dobbel-membran
– Tasten Takeaways
– Tasten Poeng
- En ikpsoniske delen (eller bare ikpsoniske) er en kurve innhentet som krysset av på overflaten av en kjegle med et plan; de tre typene er parabolas, ellipser, og hyperbolas.
- En ikpsoniske seksjonen kan plottes på et koordinere plan.
- Hver ikpsoniske delen har bestemte funksjoner, inkludert minst ett fokus, og styrelinje., Parabolas har ett fokus, og styrelinje, mens ellipser og hyperbolas har to av hver.
- En ikpsoniske delen er satt av punktene P som
avstand til fokus er en konstant flere av avstanden fra P til styrelinje av ikpsoniske.
– Tasten Vilkår
- vertex: En ekstrem punkt på en ikpsoniske delen.
- asymptote: En rett linje som en kurve tilnærminger vilkårlig tett som det går uendelig.
- locus: mengden av alle punkter med koordinater tilfredsstille en gitt ligning eller tilstand.,
- fokus: Et punkt som brukes til å lage og angi en ikpsoniske delen, som stråler som reflekteres fra kurven konvergerer (flertall: foci).
- nappe: halvparten av en dobbel membran.
- ikpsoniske avsnittet: Eventuell kurve dannet ved skjæringspunktet av et fly med en membran av to nappes.
- styrelinje: En linje som brukes til å lage og angi en ikpsoniske delen; en parabel har en styrelinje; ellipser og hyperbolas har to (flertall: directrices).,
Definere kjeglesnitt
En ikpsoniske delen (eller bare ikpsoniske) er en kurve innhentet som krysset av på overflaten av en kjegle med et plan. De tre typene av kjeglesnitt er hyperbelen, parabelen, og ellipse. Sirkelen er type ellipse, og noen ganger vurdert å være en fjerde type ikpsoniske delen.
kjeglesnitt kan være generert av kryssende et fly med en membran. En kjegle har to identiske formet deler kalt nappes. En nappe er hva folk flest mener med «kjegle», og har form av en part lue.,
kjeglesnitt er generert av skjæringspunktet av et fly med en membran. Hvis flyet er parallell til rotasjonsaksen (y-aksen), så ikpsoniske delen er en hyperbel. Hvis flyet er parallelle til å generere linje, ikpsoniske delen er en parabel. Hvis flyet er vinkelrett på aksen av revolusjonen, ikpsoniske delen er en sirkel. Hvis flyet skjærer en nappe i en vinkel til aksen (andre enn 90^{\circ}), så ikpsoniske delen er en ellipse.,
En kjegle, og kjeglesnitt: Den nappes og de fire kjeglesnitt. Hver ikpsoniske er bestemt av vinkelen flyet gjør med aksen av membran.
Felles Deler av kjeglesnitt
Mens hver type ikpsoniske delen ser veldig forskjellige, de har noen fellestrekk. For eksempel, hver type har minst ett fokus, og styrelinje.
Et fokus er et punkt om hvilke ikpsoniske delen er bygget opp. Med andre ord, det er et punkt om hvilke stråler som reflekteres fra kurven, konvergerer., En parabel har ett fokus som om formen er bygget; en ellipse og hyperbelen har to.
En styrelinje er en linje som brukes til å lage og angi en ikpsoniske delen. Avstanden av en styrelinje fra et punkt på ikpsoniske delen har et konstant forhold til avstanden fra dette punktet til fokus. Som med fokus, en parabel har en styrelinje, mens ellipser og hyperbolas har to.
Disse egenskapene at kjeglesnitt dele er ofte presentert som følgende definisjon, som vil bli utviklet videre i neste avsnitt., En ikpsoniske delen er locus av punktene P som avstand til fokus er en konstant flere av avstanden fra P til styrelinje av ikpsoniske. Disse avstandene vises som oransje linjene for hver ikpsoniske-delen i følgende diagram.
Deler av kjeglesnitt: De tre kjeglesnitt med foci og directrices merket.
Hver type ikpsoniske delen er beskrevet i større detalj nedenfor.,
Parabelen
En parabel er mengden av alle punkter med avstand fra et fast punkt, kalt fokus, er lik avstanden fra en fast linje, kalt styrelinje. Poenget halvveis mellom fokus og styrelinje kalles toppunktet av parabelen.
I neste figur, fire parabolas er fremstilt grafisk som de vises på samordne plan. De kan åpne opp, ned, til venstre eller til høyre.
Fire parabolas, åpning i ulike retninger: toppunktet ligger på midtpunktet mellom styrelinje og fokus.,
Ellipser
En ellipse er mengden av alle punkter som summen av avstandene fra to faste punkter (foci) er konstant. I tilfelle av en ellipse, det er to foci, og to directrices.
I neste figur, en typisk ellipse er fremstilt grafisk som det vises på samordne plan.
Ellipse: summen av avstandene fra et punkt på ellipsen til foci er konstant.,
Hyperbolas
En hyperbel er mengden av alle punkter der forskjellen mellom deres avstander i forhold til to faste punkter (foci) er konstant. I tilfelle av en hyperbel, det er to foci og to directrices. Hyperbolas har også to asymptoter.
En graf av en typisk hyperbelen vises i neste figur.
Hyperbelen: forskjellen av avstandene fra et punkt på ellipsen til foci er konstant. Tverrgående akse er også kalt den store aksen, og konjugat aksen kalles også mindre aksen.,
Programmer av kjeglesnitt
kjeglesnitt er brukt i mange fagfelt, spesielt for å beskrive former. For eksempel, de er brukt i astronomi for å beskrive formen på banene av objekter i verdensrommet. To massive objekter i verdensrommet som samhandler i henhold til Newtons lov om universell gravitasjon kan bevege seg i baner som er i form av kjeglesnitt. De kunne følge ellipser, parabolas, eller hyperbolas, avhengig av deres egenskaper.
Eksentrisitet
Hver ikpsoniske delen har en konstant eksentrisitet som gir informasjon om sin form.,
Mål
Diskutere hvordan eksentrisitet av en ikpsoniske delen beskriver sin oppførsel
– Tasten Takeaways
– Tasten Poeng
- Eksentrisiteten er en parameter som er forbundet med hver ikpsoniske delen, og kan bli sett
som et mål på hvor mye ikpsoniske delen avviker fra å være sirkulær. - eksentrisitet av en ikpsoniske delen er definert til å være avstanden fra et punkt på ikpsoniske delen til sitt fokus, delt i to av den vinkelrette avstanden fra dette punktet til nærmeste styrelinje.,
- verdien av e kan brukes til å bestemme hvilken type ikpsoniske delen. Hvis e= 1 det er en parabel, og hvis e < 1 det er en ellipse, og hvis e > 1 det er en hyperbel.
– Tasten Vilkår
- eksentrisitet: En parameter av en ikpsoniske delen som beskriver hvor mye ikpsoniske delen avviker fra å være sirkulær.
Definere Eksentrisitet
eksentrisitet, betegnet e, er en parameter som er forbundet med hver ikpsoniske delen. Det kan sees på som et mål på hvor mye ikpsoniske delen avviker fra å være sirkulær.,
eksentrisitet av en ikpsoniske delen er definert til å være avstanden fra et punkt på ikpsoniske delen til sitt fokus, delt i to av den vinkelrette avstanden fra dette punktet til nærmeste styrelinje. Verdien av e er konstant for alle ikpsoniske delen. Denne egenskapen kan brukes som en generell definisjon for kjeglesnitt., Verdien av e kan brukes til å bestemme hvilken type ikpsoniske delen også:
- Hvis e = 1, ikpsoniske er en parabel
- Hvis e < 1, er det en ellipse
- Hvis e > 1, det er en hyperbel
eksentrisitet av en sirkel er lik null. Merk at to kjeglesnitt er lik (identisk formet) hvis og bare hvis de har samme eksentrisitet.
Husker at hyperbolas og ikke-sirkulært ellipse har to foci og to forbundet directrices, mens parabolas har ett fokus, og en styrelinje., I neste figur, hver type ikpsoniske delen er plottes med fokus og styrelinje. Den oransje linjer betegne avstanden mellom fokus og peker på ikpsoniske avsnittet, så vel som avstanden mellom de samme punktene og styrelinje. Disse er avstandene brukes til å finne den eksentrisitet.
kjeglesnitt og deres deler: Eksentrisiteten er forholdet mellom avstanden fra et punkt på ikpsoniske delen til sitt fokus, og den vinkelrette avstanden fra dette punktet til nærmeste styrelinje.,
forestille oss Eksentrisitet
Fra definisjonen av en parabel, avstanden fra et punkt på parabelen til fokus er lik avstanden fra det samme punktet for å styrelinje. Derfor, per definisjon, eksentrisitet av en parabel må være 1.
For en ellipse, eksentrisitet er mindre enn 1. Dette betyr at i de forhold som definerer eksentrisitet, teller er mindre enn nevneren. Med andre ord, avstanden mellom et punkt på en ikpsoniske delen, og fokus er mindre enn avstanden mellom det punktet, og den nærmeste styrelinje.,
Omvendt, eksentrisitet av en hyperbel er større enn 1. Dette indikerer at avstanden mellom et punkt på en ikpsoniske delen nærmeste styrelinje er mindre enn avstanden mellom punktet og fokus.
Typer kjeglesnitt
kjeglesnitt er dannet ved skjæringspunktet av et fly med en membran, og deres egenskaper er avhengig av hvordan dette skjæringspunktet oppstår.,
Mål
Diskutere egenskapene til ulike typer av kjeglesnitt
– Tasten Takeaways
– Tasten Poeng
- kjeglesnitt er en bestemt type form dannet av skjæringspunktet mellom et fly og en rett sirkulær kjegle. Avhengig av vinkelen mellom planet og membran, fire forskjellige skjæringspunktet figurer kan bli dannet.
- typer kjeglesnitt er sirkler, ellipser, hyperbolas, og parabolas.
- Hver ikpsoniske delen har også en degenerert form, og disse tar form av punkter og linjer.,
– Tasten Vilkår
- utarte: En ikpsoniske delen som ikke passer inn i standard form av ligningen.
- asymptote: En linje som en buet funksjon eller form tilnærminger, men aldri berører.
- hyperbelen: ikpsoniske delen dannet av den plan som er vinkelrett på undersiden av membranen.
- fokus: En peker bort fra en buet linje, rundt der kurven svinger.
- sirkel: ikpsoniske delen dannet av flyet blir parallell til undersiden av membranen.
- ellipse: ikpsoniske delen dannet av flyet å være i en vinkel på undersiden av membranen.,
- eksentrisitet: En dimensionless parameter som karakteriserer form av en ikpsoniske delen.
- Parabelen: ikpsoniske delen dannet av den plan som er parallelt med membran.
- vertex: vendepunktet i en buet form.
kjeglesnitt er en bestemt type form dannet av skjæringspunktet mellom et fly og en rett sirkulær kjegle. Avhengig av vinkelen mellom planet og membran, fire forskjellige skjæringspunktet figurer kan bli dannet. Hver form har også en degenerert form., Det er en eiendom av alle kjeglesnitt kalt eksentrisitet, som tar form av en numerisk parameter e. De fire ikpsoniske delen former hver har ulike verdier av e.
Typer kjeglesnitt: Denne figuren viser hvordan kjeglesnitt, i lys blå, er resultatet av et fly kryssende en membran. Bilde 1 viser en parabel, bilde 2 viser en sirkel (nederst) og en ellipse (øverst), og bilde 3 viser en hyperbel.,
Parabelen
En parabel er dannet når flyet er parallell med overflaten av membran, noe som resulterer i en U-formet kurve som ligger på flyet. Hver parabelen har visse funksjoner:
- Et toppunkt, som er det punktet der kurven svinger rundt
- Et fokus, som er et punkt ikke på kurven som kurven bøyer
- En akse av symmetri, som er en linje som forbinder toppunktet og fokus som deler parabelen i to like halvdeler
Alle parabolas har en eksentrisitet verdi e=1., Som et direkte resultat av å ha den samme eksentrisitet, alle parabolas er lik, noe som betyr at noen parabelen kan bli forvandlet til noen andre med en endring av posisjon og skalering. Den degenererte tilfelle av en parabel er når flyet var bare så vidt berører utsiden av membranen, noe som betyr at det er tangent til kjegle. Dette skaper en rett linje skjæringspunktet ut av membran diagonal.
Ikke-degenerert parabolas kan være representert med kvadratiske funksjoner, som for eksempel
f(x) = x^2
Sirkel
En sirkel er dannet når flyet er parallell til undersiden av membranen., Dens krysset med membran er derfor et sett av punkter like langt fra et felles punkt (den sentrale aksen av membran), som oppfyller definisjonen av en sirkel. Alle kretser har visse funksjoner:
- Et senter punkt
- En radius, som avstanden fra et punkt på sirkelen til sentrum punkt
Alle kretser har en eksentrisitet e=0. Dermed, som parabelen, alle sirkler er like, og det kan bli forvandlet til en annen., På et koordinere fly, den generelle formen av ligningen av sirkelen er
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
hvor (h,k) er koordinatene til sentrum av sirkelen, og r er radius.
degenerert form av sirkel oppstår når flyet bare skjærer spissen av membranen. Dette er et enkelt punkt kryss, eller tilsvarende en sirkel av null radius.
kjeglesnitt tegne en graf av eksentrisitet: Denne grafen viser en ellipse i rødt, med et eksempel eksentrisitet verdien 0.,5, en parabel i grønt med de nødvendige eksentrisitet av 1, og en hyperbel i blått med et eksempel eksentrisitet av 2. Det viser også en av de utarte hyperbelen tilfeller, rett sorte linjen, tilsvarende uendelig eksentrisitet. Sirkelen er på innsiden av parabelen, som er på innsiden av den ene siden av hyperbelen, som har den horisontale linjen nedenfor. På denne måten, øker eksentrisitet kan identifiseres med en slags utfoldelse eller åpne opp ikpsoniske delen.,
Ellipse
Når flyet er vinkel i forhold til membranen er mellom utsiden av membranen og undersiden av membranen, det resulterer i skjæringspunktet er en ellipse. Definisjonen av en ellipse innebærer å være en parallell til undersiden av membranen, slik at alle kretser er et spesielt tilfelle av ellipsen., Ellipser har disse funksjonene:
- En hovedakse, som er den lengste bredde over ellipsen
- En mindre aksen, som er den korteste bredde over ellipsen
- Et senter, som er skjæringspunktet mellom de to aksene
- To kontaktpunkter for hvilket som helst punkt på ellipsen, summen av avstandene til både knutepunkter er en konstant
Ellipser kan ha en rekke eksentrisitet verdier: 0 \leq e < 1. Legg merke til at verdien 0 er inkludert (en sirkel), men verdien 1 er ikke inkludert (det ville være en parabel)., Siden det er en rekke eksentrisitet verdier, ikke alle ellipser er lik. Den generelle formen for ligning av en ellipse med store aksen er parallell med x-aksen er:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
degenerert form av en ellipse er et punkt, eller sett en sirkel rundt null radius, akkurat som det var for sirkelen.
Hyperbelen
En hyperbel er dannet når flyet er parallell til membranens sentrale aksen, noe som betyr at det skjærer begge deler av karbonfibre.,nches, så vel som disse funksjoner:
- Asymptoten linjer—dette er to lineære grafer som kurven av hyperbelen nærmer seg, men aldri berører
- Et senter, som er skjæringspunktet mellom asymptoter
- To kontaktpunkter, rundt hver av de to grenene bøye
- To noder, en for hver gren
Den generelle ligningen for en hyperbel med hjørnene på en horisontal linje:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
eksentrisitet av en hyperbel er begrenset til e > 1, og har ingen øvre grense., Hvis eksentrisiteten er lov til å gå til grensen på +\infty (positiv uendelig), hyperbelen blir en av sine utarte tilfeller—en rett linje. Den andre utarte tilfelle for en hyperbel er å bli sin to rett-linje asymptoter. Dette skjer når flyet skjærer apex av karbonfibre.