Hva Er FEA | Finite Element Analysis?

The Finite Element Analysis (FEA) er simulering av en gitt fysisk fenomen ved hjelp av numerisk teknikk som kalles Finite Element Metoden (FEM). Ingeniører bruker FEA programvare for å redusere antall fysiske prototyper og eksperimenter og optimalisere komponenter i sine design fasen til å utvikle bedre produkter, raskere og samtidig spare på kostnader.,

Det er nødvendig å bruke matematikk til å gjøre en omfattende forstå og kvantifisere alle fysiske fenomener som strukturelle eller væske atferd, termisk transport, bølgeutbredelse, veksten av biologiske celler, etc. De fleste av disse prosessene er beskrevet ved hjelp av Partielle Differensialligninger (PDEs). Men for en datamaskin for å løse disse PDEs, numeriske teknikker har blitt utviklet over de siste tiårene, og en av de fremtredende seg, i dag, er Finite Element Analysis.,

differensialligninger ikke bare beskrive fenomener i naturen, men også fysiske fenomener som er oppstått i engineering mechanics. Disse partielle differensialligninger (PDEs) er kompliserte ligninger som må løses for å beregne relevante mengder av en struktur (som understreker (\(\epsilon\)), stammer (\(\epsilon\)), etc.) for å beregne strukturelle atferd under en gitt belastning. Det er viktig å vite at FEA gir bare en tilnærmet løsning på problemet, og er en numerisk tilnærming for å få den virkelige følge av disse partielle differensialligninger., Forenklet, FEA er en numerisk metode som brukes for prediksjon av hvordan en del eller sammenstilling oppfører seg under gitte betingelser. Det er brukt som grunnlag for moderne simulering programvare og hjelper ingeniører for å finne svake punkter, områder av spenning, etc. i sin design. Resultatet av en simulering-basert på FEA-metoden er vanligvis avbildet via en fargeskala som viser, for eksempel, trykkfordeling over objektet.

Avhengig av ens perspektiv, FEA kan sies å ha sin opprinnelse i arbeidet med Euler, så tidlig som i det 16. århundre., Men de tidligste matematiske papers på Finite Element Analysis kan bli funnet i verk av Schellbach og Courant .

FEA var uavhengig utviklet av ingeniører i ulike bransjer for å adresse strukturell mekanikk problemer knyttet til romfart og byggeteknikk. Utviklingen for real-life programmer startet rundt midten av 1950-tallet som papir av Turner, Clough, Martin & Topp , Argyris , og Babuska & Aziz vis., Bøker av Zienkiewicz og Strang & Fikse la også grunnlaget for fremtidige utviklingen i FEA-programvare.

splitt og Hersk

for Å være i stand til å gjøre simuleringer, en maske, som består av millioner av små elementer som til sammen danner formen av struktur, behov for å bli opprettet., Beregningene er gjort for hvert enkelt element. Ved å kombinere de individuelle resultatene gir oss det endelige resultatet av strukturen. Den tilnærming vi nettopp nevnte er vanligvis polynom og faktisk, interpolations over element(s). Dette betyr at vi vet verdier på enkelte punkter innenfor elementet, men ikke på alle punkt. Disse «visse punkter’ er kalt nodal poeng og er ofte plassert på grensen av elementet. Korrektheten med som variabel endringer er uttrykt av noen tilnærming for f.eks. lineær, kvadratisk, kubikk, etc., For å få en bedre forståelse av tilnærming teknikker, vi vil se på en en-dimensjonal bar. Vurdere den sanne temperatur fordeling T(x) langs linjen på bildet nedenfor:

La oss anta at vi vet at temperaturen på denne bar ved 5 bestemte posisjoner (Tallene 1-5 i illustrasjonen)., Nå er spørsmålet: Hvordan kan vi forutsi temperaturen i mellom disse punktene? En lineær tilnærming er ganske bra, men det er bedre muligheter til å representere den virkelige temperaturen distribusjon. Hvis vi velger et kvadrat tilnærming, temperaturfordelingen langs linjen er mye mer smidig. Likevel ser vi at uavhengig av polynom grad, distribusjon over stangen er kjent når vi vet at verdiene på nodal poeng. Hvis vi ville ha et uendelig bar, ville vi ha en uendelig mengde ukjente (GRADER AV FRIHET (DOF))., Men i dette tilfellet har vi et problem med en «endelig» antall ukjente:

Et system med et begrenset antall ukjente kalles et diskret system. Et system med et uendelig antall ukjente kalles et kontinuerlig system.

For det formål av approksimasjoner vi finner følgende forhold for et felt mengde \(u(x)\):

$$u(x) = u^h(x) + e(x) \tag{1}$$

$$u^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

line illustrert øverst viser dette prinsippet for en 1D problem., \(u\) kan representere temperaturen langs lengden av en stang som er oppvarmet i en ikke-uniform måte. I vårt tilfelle, det er fire elementer langs x-aksen, der funksjonen definerer lineær tilnærming av temperaturen illustrert av punkter langs linjen.

En av de største fordelene vi har ved bruk av Finite Element Analysis er at vi kan enten variere discretization per element, eller discretize tilsvarende grunnlag funksjoner. De facto, vi kan bruke mindre elementer i regioner hvor høye grader av \(u\) er forventet., For det formål modellering steepness av funksjon vi må gjøre tilnærmelser.

Partielle Differensialligninger

Før du fortsetter med FEA seg selv, det er viktig å forstå de forskjellige typer av PDEs og deres egnethet for FEA. Å forstå dette er viktig for alle, uavhengig av ens motivasjon for å bruke finite element analysis. Man bør stadig minne seg selv på at FEA-programvare er et verktøy, og noen verktøy er bare så god som sin bruker.,

PDE-er kan bli kategorisert som elliptic (er ganske glatt), hyperbolsk (støtte løsninger med discontinuities), og parabolske (beskrive time-dependent spredning problemer). Når du skal løse disse differensialligninger grense og/eller initial betingelser må være gitt. Basert på typen av PDE, nødvendig innganger kan evalueres. Eksempler for PDE er i hver kategori inkluderer Poisson ligning (Elliptiske), Bølge-ligningen (Hyperbolske) og Fourier-loven (Parabel).,

Det er to viktigste tilnærminger til å løse elliptic PDE – er- Endelig Forskjellen Analyse (FDA) og Variational (eller Energi) Metoder. FEA faller i den andre kategorien av variational metoder. Variational tilnærminger er først og fremst basert på filosofien om energy minimering.

Hyperbolske PDE-er er ofte forbundet med hopp i løsninger., Bølge-ligningen, for eksempel, er en hyperbolsk PDE. På grunn av eksistensen av discontinuities (eller hopp) i løsninger, den opprinnelige FEA-teknologi (eller Bubnov-Galerkin Metode) ble antatt å være uegnet for å løse hyperbolske PDE-tallet. Imidlertid, over år, modifikasjoner har blitt utviklet for å utvide anvendelsen av FEA programvare og teknologi.

Det er viktig å vurdere konsekvensen av å bruke en numerisk rammeverk som er egnet for den typen av PDE som er valgt. Slik bruk fører til løsninger som er kjent som «feil poserte»., Dette kan bety at små endringer i regelverket for parametere føre til store svingninger i løsninger eller løsninger finnes bare på en bestemt del av domene eller tid. Disse er ikke pålitelig. Godt stilt løsninger er definert med en unik, det finnes kontinuerlig for den definerte data. Derfor, med tanke på pålitelighet, det er svært viktig å få tak i dem.

Svak og Sterk Formulering

Den matematiske modeller for varmeledning og elastostatics dekket i denne serien består av (delvis) differensialligninger med første, så vel som grensebetingelser., Dette er også omtalt som den såkalte Sterk Form av problemet. Noen eksempler på «sterke former» er gitt i illustrasjonen nedenfor:

Andre ordens partielle differensialligninger krever en høy grad av glatthet for løsning \(u(x)\). Det betyr at den andre deriverte av vekt har å eksistere, og det må være kontinuerlig! Dette innebærer også krav til parametre som ikke kan bli påvirket som geometri (skarpe kanter) og de fysiske parametere (forskjellige modulus i et materiale).,

for Å utvikle finite element formulering, den partielle differensialligninger må være omarbeidet i en integrert form som kalles den svake form. Den svake form og sterk form er tilsvarende! I spenningsanalyse, den svake formen kalles prinsippet om virtuelt arbeid.

$$\int^l_0\frac{dw}{dx}AE – \frac{du}{dx}dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \int^l _0wbdx ~~~ \forall w~med ~w(l)=0 \tag{3}$$

Den gitte likningen er den såkalte svake form (i dette tilfellet den svake formuleringen for elastostatics)., Navnet sier at løsningene til de svake form trenger ikke å være så jevn som løsninger av sterk form, noe som innebærer svakere kontinuitet krav.

Du har å holde i tankene at løsningen tilfredsstillende svak form er også løsningen av den sterke motstykke av ligningen. Husk også at rettssaken løsninger \(u(x)\) må tilfredsstille vekt grensebetingelser. Dette er en viktig egenskap av rettssaken løsninger og dette er grunnen til at vi kaller dem grensebetingelser viktig grensebetingelser.

Gjør disse formuleringene er av interesse for deg?, Hvis ja, les mer i forumet emnet om ekvivalensen mellom svak og sterk formulering av PDEs for FEA.

Minimum Potensiell Energi

The Finite Element Analysis kan også utføres med Variasjon Prinsippet. I tilfelle av en-dimensjonale elastostatics, minimum potensiell energi er robust for konservative systemer. Likevekt posisjon er stabil hvis den potensielle energien i systemet \(\Pi\) er minimum. Hver uendelige lite forstyrrelse av stabil posisjon fører til en energisk ugunstige staten og innebærer en gjenopprette reaksjon., Et enkelt eksempel er en vanlig glass flaske som står på bakken, der det har minimum potensiell energi. Hvis det faller over, ingenting kommer til å skje, bortsett fra en høy lyd. Hvis det står på hjørnet av bordet og faller til bakken, er det heller sannsynlig å bryte siden det bærer mer energi mot bakken. For variasjon prinsippet, kan vi gjøre bruk av dette faktum. Den lavere energi-nivå, jo mindre sannsynlig er det å få feil løsning., Det totale potensialet energi \(\Pi\) av et system som består av arbeid med indre krefter (belastning energi)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac {- gare}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon-En(x)} dx \tag{4}$$

og arbeidet med den eksterne krefter

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \tag{5}$$

Den totale energien er:

$$\Pi = A_i – A_a \tag{6}$$

Finne ut mer om minimum potensiell energi i vårt relaterte forum emnet.,

Mesh Konvergens

En av de mest oversett problemer i beregningsorientert mekanikk som påvirker nøyaktigheten er mesh konvergens. Dette er knyttet til hvordan små elementer trenger å være å sikre at resultatene av en analyse er ikke påvirkes ved å endre størrelsen på mesh.

figuren over viser konvergens av en mengde med en økning i grad av frihet. Som vist i figuren, er det viktig å først identifisere mengden av interesse. Minst tre punkter må vurderes og som mesh tetthet øker, øker også mengden av interesse begynner å samles til en bestemt verdi. Hvis to påfølgende mesh forbedringer ikke endre resultatet betraktelig, da man kan anta at resultatet skal forenes.,

Gå til spørsmål av mesh raffinement, det er ikke alltid nødvendig at mesh i hele modellen er raffinert. St. Venant er Prinsippet krever at den lokale påkjenninger i en region ikke påvirke spenninger andre steder. Derfor, fra et fysisk synspunkt, kan modellen være raffinert bare i spesielle områder av interesse og videre ha en overgangssone fra grov til fin mesh., Det er to typer forbedringer (h – og p-foredling) som vist i figuren ovenfor. h-avgrensning er knyttet til reduksjon i element størrelser, mens p-avgrensning knyttet til å øke bestilling av elementet.

Her er det viktig å skille mellom geometrisk effekt og mesh konvergens, spesielt når modellering en buet overflate ved hjelp av rett (eller lineær) elementer vil kreve flere elementer (eller mesh foredling) til å fange opp grensen nøyaktig., Mesh avgrensningen fører til en betydelig reduksjon i feil:

Raffinement som dette kan føre til at en økning i konvergens av løsninger uten å øke størrelsen på det generelle problemet være løst.

Hvordan å måle konvergens?,

Så nå at viktigheten av konvergens har vært diskutert, hvordan kan konvergens måles? Hva er et kvantitativt mål for konvergens? Den første måten ville være å sammenligne med analytiske løsninger eller eksperimentelle resultater.

Feil av Forskyvninger:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

hvor \(u\) er analytisk løsning for vekt-feltet.

Feil av salmen:

$$e_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \tag{8}$$

hvor \(\epsilon\) er analytisk løsning for belastning feltet.,

Feil av den Understreker:

$$e_\sigma = \sigma – \sigma^h \tag{9}$$

hvor \(\sigma\) er analytisk løsning for stress-feltet.

Som vist i ligningene ovenfor, flere feil kan være definert for forskyvninger, strekk og spenninger. Disse feilene kan brukes for sammenligning og de ville trenge for å redusere med mesh raffinement. Lær mer om hvordan disse feilene er beregnet med gjeldende normer for disse mengdene her.,

Finite Element Analysis Software

The Finite Element Analysis i gang med store løftet i modellering flere mekaniske programmer knyttet til romfart og byggeteknikk. Anvendelser av Finite Element Metoden er bare å begynne å nå sitt potensial., En av de mest spennende prospekter er sin søknad til kombinert problemer som fluid-struktur interaksjon; termo-mekaniske, termo-kjemiske, termo-kjemoterapi-mekaniske problemer, piezoelektriske, ferroelektriske, elektromagnetisme og andre relevante områder:

Statisk

Med statisk analyse, kan du analysere lineær statisk og ikke-lineære kvasi-statiske strukturer. I det lineære tilfellet med en anvendt statisk belastning, bare et enkelt steg er nødvendig for å fastslå den strukturelle responsen. Geometriske kontakt, og materialet nonlinearity som kan tas i betraktning. Et eksempel er en som bærer pad av en bro.,

Dynamisk

Dynamisk analyse hjelper deg med å analysere den dynamiske responsen av en struktur som oppleves dynamiske belastninger over en bestemt tidsperiode. For å modellere strukturelle problemer på en realistisk måte, du kan også analysere virkningene av last, samt forskyvninger. Et eksempel er virkningen av en hodeskalle, med eller uten hjelm.

Modal

Eigenfrequencies og eigenmodes av en struktur på grunn av vibrasjon kan simuleres ved hjelp av modal analyse. Topp svar i en struktur eller systemet under en gitt belastning kan bli simulert med harmonisk analyse., Et eksempel er starten på en motor.

Forskjellige Typer av Finite Element Method

Som nevnt tidligere i avsnittet om PDEs, tradisjonell FEM teknologi har vist svakheter i modellering problemer knyttet til fluid mechanics, bølgeutbredelse, etc. Flere forbedringer har blitt gjort i løpet av de siste to tiårene å forbedre løsningen prosessen og utvide anvendelsen av finite element analysis til et bredt spekter av problemer., Noen av de viktigste fortsatt blir brukt er:

Utvidet Finite Element Metoden (XFEM)

Bubnov-Galerkin metoden krever kontinuitet av forskyvninger over elementer. Problemer som kontakt, brudd og skade, derimot, innebærer discontinuities og hopper som ikke kan bli direkte behandlet av Finite Element Metoder. For å overvinne denne brist, XFEM ble født på 1990-tallet. XFEM fungerer gjennom utvidelse av formen funksjoner med Heaviside trinn funksjoner., Ekstra grader-av-frihet er tilordnet til nodene rundt punktet av diskontinuitet, slik at hoppene kan bli vurdert.

Generalisert Finite Element Metoden (GFEM)

GFEM ble lansert rundt samme tid som XFEM i ’90-tallet. Den kombinerer funksjonene til tradisjonell FEM programvare og meshless metoder. Form funksjoner er først og fremst definert i den globale koordinater og videre multiplisert med partisjon-av-enhet til å opprette lokale elementær form funksjoner. En av fordelene med GFEM er forebygging av re-modellering rundt singularities.,

Blandet Finite Element Metode

I flere problemer, for eksempel kontakt eller incompressibility, begrensninger som er pålagt å bruke Lagrange multiplikatorer. Disse ekstra grader av frihet fremkommer fra Lagrange multiplikatorer løses uavhengig av hverandre. Ligningene løses som et kombinert system.

hp-Finite Element Metode

hp-FEM er en kombinasjon av å bruke automatisk mesh foredling (h-foredling) og økning i rekkefølgen av polynom (s-foredling). Dette er ikke det samme som å gjøre t – og p – forbedringer separat., Når automatisk hp-foredling er brukt, og et element er delt opp i mindre elementer (h-foredling), og hvert element kan ha ulike polynom bestillinger som godt.

Usammenhengende Galerkin Finite Element Metoden (DG-FEM)

DG-FEM har vist store løftet for bruk av ideen om Begrensede Elementer for å løse hyperbolske ligninger der tradisjonelle Finite Element Metoder har vært svak. I tillegg, det har også vist lovende i bøying og inkompressible problemer som ofte observert i de fleste materielle prosesser., Her ytterligere begrensninger er lagt til den svake form som inkluderer en straff parameteren (for å hindre interpenetration) og vilkårene for andre likevekt av spenninger mellom elementene.

Finite Element Analysis & SimScale

FEA programvare komponent av SimScale kan du nesten teste og forutsi oppførselen til konstruksjoner og dermed løse komplekse strukturelle tekniske problemer utsatt for statisk og dynamisk belastning., Den FEA simulering plattformen bruker skalerbare numeriske metoder som kan beregne matematiske uttrykk som ellers ville være veldig utfordrende på grunn av komplekse lasting, geometrier, eller materialegenskaper.

Sist oppdatert: 20 januar, 2021