Newtonsk væske

Et element av en flytende væske eller gass vil lide styrker fra de omkringliggende væske, inkludert tyktflytende stress krefter som forårsaker det å gradvis deformeres over tid. Disse kreftene kan være matematisk rundet av til første bestillingen av en tyktflytende stress tensoren, som vanligvis er merket med τ {\displaystyle \tau } .

deformasjonen av at væske element i forhold til noen tidligere tilstand, kan du oppnå til første bestillingen av en stamme tensoren som endres med tiden., Tiden derivat av at tensoren er belastningen pris tensoren, som uttrykker hvordan elementet er deformasjon endrer seg med tiden, og er også gradient på fartsvektoren feltet v {\displaystyle v} på dette punktet, ofte betegnet ∇ v {\displaystyle \nabla v} .,/p>

Inkompressible isotropic caseEdit

For en inkompressible og isotropic Newtonsk væske, tyktflytende stress er relatert til strain rate av enklere ligningen

τ = ĩ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}

hvor

τ {\displaystyle \tau } er skjærspenning («dra») i væske, μ {\displaystyle \mu } er en skalar konstant om forholdsmessighet, og skjær viskositet væske d u d y {\displaystyle {\frac {du}{dy}}} er den deriverte av hastigheten komponent som er parallell med retningen av skjær, i forhold til vekt i loddrett retning., denne ligningen kan skrives i form av en vilkårlig koordinatsystem som

τ jeg j = μ ( ∂ v t ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\delvis v_{i}}{\delvis x_{j}}}+{\frac {\delvis v_{j}}{\delvis x_{i}}}\right)}

hvor

x j {\displaystyle x_{j}} er j {\displaystyle j} th romlig koordinere v i {\displaystyle v_{i}} er væske s hastighet i retning av aksen jeg {\displaystyle jeg} τ jeg j {\displaystyle \tau _{ij}} er j {\displaystyle j} th del av stress virker på ansikter av væske element vinkelrett på aksen jeg {\displaystyle jeg} .,

En definerer også en total stress tensoren σ {\displaystyle \mathbf {\sigma } } , som kombinerer skjærspenning med konvensjonelle (termodynamiske) trykk p {\displaystyle p} ., Stress-skjær ligningen blir da

σ jeg j = − p δ jeg j + μ ( ∂ v t ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\delvis v_{i}}{\delvis x_{j}}}+{\frac {\delvis v_{j}}{\delvis x_{i}}}\right)}

eller skrevet i en mer kompakt tensoren notasjonen

σ = − p I + μ ( ∇ v + ∇ v T ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } =-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\right)}

hvor jeg {\displaystyle \mathbf {I} } er identitet tensoren.,

For anisotrop fluidsEdit

Mer generelt, i en ikke-isotropic Newtonsk væske, koeffisienten μ {\displaystyle \mu } som gjelder intern friksjon understreker til den romlige derivater av hastigheten feltet er erstattet av en ni-element tyktflytende stress tensoren μ jeg j {\displaystyle \mu _{ij}} .,

Det er en generell formel for friksjon kraft i en væske: vector forskjellsbehandling av friksjon kraft er lik viskositet tensoren økt på vektor-produkt forskjellsbehandling av området vektor av tilstøtende en væske lag og rotor av hastighet:

d F = μ jeg j d S × r o t u {\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {r} }

hvor μ jeg j {\displaystyle \mu _{ij}} – viskositet tensoren. Diagonal komponenter av viskositet tensoren er molekylær viskositet av en væske, og ikke diagonal komponenter – turbulens eddy viskositet.,

Newtons lov av viscosityEdit

følgende ligning illustrerer forholdet mellom skjær pris og skjærspenning:

τ = ĩ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {du \over dy}}

hvor:

• τ er skjærspenning;
• μ er den viskositet, og
• d u d y {\textstyle {\frac {du}{dy}}} er skjær pris.

Hvis viskositet er konstant, Newtonsk væske er.

Strøm lov modelEdit

The power law-modellen brukes til å vise atferd Newtonsk og ikke-Newtonsk væske og tiltak skjærspenning som en funksjon av belastningen pris.,

forholdet mellom skjær stress, belastning pris og hastighet gradient for strøm lov modellen er:

τ = − m | γ | n − 1 d v x d y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,

hvor

• | γ | n − 1 {\displaystyle \left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}} er den absolutte verdien av belastning pris til (n-1) makt;

• d v x d y {\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}} er hastigheten gradient;

• n er makt lov indeks.,

Hvis

• n < 1 og deretter væsken er en pseudoplastic.
• for n = 1 og deretter væsken er en Newtonsk væske.
• n > 1 og deretter væsken er en dilatant.,

Væske modelEdit

forholdet mellom skjærspenning og skjær pris i en casson væske modellen er definert som følger:

τ = τ 0 + S d V d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}

hvor τ0 er yield stress og S = ĩ ( 1 − T ) α {\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}}}

hvor α er avhengig protein sammensetning og H er Hematokrit antall.