I matematikk, kvadrerte symbolet (2) er et aritmetisk operator som betyr å multiplisere et tall med seg selv. «Torget» i et tall som er produktet av antall og seg selv. Å multiplisere et tall med seg selv er kalt «kvadrere» antall». Kvadrere et tall er et mer spesifikt eksempel av den generelle exponentiation drift, exponentiation når eksponenten er 2. Kvadrere et tall er det samme som å øke dette antallet kraften i to. Plassen funksjon (ƒ(x)=x2) er den inverse av kvadratrot funksjon (ƒ(x)=√x).,
Oppdra et nummer n for å kraften av 2 er kalt «kvadrere» fordi det resulterende tallet n2 tilsvarer arealet av et kvadrat med sider av lengde n. Plassen funksjon er en svært nyttig funksjon i algebra, trigonometri, og fysikk. I algebra, plassen funksjon danner ryggraden i noen av enkleste slag av polynomer (quadratics). I trigonometri, torget funksjonen brukes for å finne tilsvarende vinkler og siden lengder av sammenfallende trekanter, en nyttig konsept for å modellere periodiske fenomener., I fysikk, torget funksjonen kan brukes til å beregne avstander mellom to punkter (i form av Pytagoreisk teorem) og modellert fenomener ofte tar det matematisk form av en kvadratisk funksjon, spesielt ligninger som involverer hastighet og akselerasjon.
Kvadrering: Grunnleggende
Kvadrere et tall er enkel: det er Bare å multiplisere antall av seg selv: – symbolet 32 betyr bare 3×3., Generelt, for alle tall n:
n2 = n × n
Videre, plassen funksjon har den interessante egenskapen at det å sette i additiv invers av n vil gi deg den samme nummer som er:
n2 = (−n -)2
Strengt tatt hver positivt tall er kvadratet av nøyaktig to tall, et positivt og et negativt tall. 4 er kvadratet av både 2 og -2. Et tall som er kvadratet av et heltall kalles et perfekt kvadrat., Generelt, jo lenger ned antallet linje man går, jo lengre og mer spredt fordeling av perfects torg. Denne trenden er fordi den kvadratiske funksjonen vokser eksponentielt, dvs. sin vekst er i forhold til den gjeldende verdien.
den inverse av Den plassen funksjon er kvadratroten funksjon ƒ(x) = √x. Kvadratroten av et tall n er et slik at a2 = n. Fordi både antallet og dens additiv invers firkanten for å få samme resultat hver positive reelle tall har nøyaktig 2 røtter +√x og −√x, noen ganger uttrykt som ±√x., I de fleste sammenheng, «kvadratroten av et tall refererer bare til det positive roten. Den særskilte definisjonen av kvadratrot-funksjonen gjør det slik at ingen negative reelle tall har en kvadratrot, som ingen tall multiplisert med seg selv vil gi et negativt tall. Negative tall har kvadratiske røtter i den komplekse tall-systemet, men ikke i den virkelige antallet system.
En graf av funksjonen x2 ser ut som:
Merke til hvordan grafen er perfekt speilet langs den loddrette y-aksen., Formen på grafen tilsvarer det faktum at hver positive reelle tallet er kvadratet av både positive og negative tall (unntatt null). Som sådan, er det mulig at en funksjon i den generelle formen av plassen vil funksjonen ikke har noen røtter—det er ingen n slik at ƒ(n) = 0. Visuelt, betyr dette at noen square funksjoner vil aldri krysser x-aksen.
Bruk Av Plassen Funksjon
Algebra
plassen funksjon danner ryggraden i en spesiell klasse av polynom ligninger kalles kvadratiske ligninger., En kvadratisk polynom av grad 2: det er noen polynom i form:
ax2 + bx + c
Der a, b, og c er alle reelle tall, og en≠0. vilkår a, b, og c er kalt den kvadratiske, lineære, og konstant koeffisient, henholdsvis. Kvadratiske ligninger kan være priset for å finne sine røtter—verdier for x som hele likningen er lik 0., Alternativt, kan man bruke den kvadratiske ligningen for å løse for røttene av et kvadratisk polynom:
Kvadratiske ligningen er nyttig for modellering, bevegelse, som kurven av akselerert bevegelse tar form av en kvadratisk kurve. Hvis noen bevegelse har en konstant hastighet på akselerasjon, deretter en graf av dens bevegelse vil være en kvadratisk likning. Den geometriske formen på den kvadratiske funksjonen kalles en parabel.
Geometri
plassen funksjon har mange bruksområder i geometri. Mest åpenbart, torget funksjonen kan brukes til å finne areal av firkanter., Det er en kjent faktum at arealet av et kvadrat med sider av lengde n er lik n2. Dette følger av formelen for arealet av et rektangel (og parallelograms mer generelt) der A = l×w. Et kvadrat er rett og slett et rektangel der lengden og bredden er den samme. Det faktum at arealet av et kvadrat er en firkant-funksjonen forklarer en eiendel om veksten av square-området: området square hvis lengde er n ganger lenger har n2 mer areal.
Kvadrere også brukes til å finne avstanden mellom to punkter i sammenheng med Pytagoreisk teorem. Den Pytagoreisk teorem forteller at plassen på sidene av en rett trekant (en trekant med en vinkel på 90°) er lik kvadratet av hypotenuse (a2+b2=c2). Denne formelen kan brukes til å beregne avstanden mellom den opprinnelige poenget med en koordinering-aksen (0, 0) og noen vilkårlig punkt (x, y). Man kan trekke en linje som strekker seg fra det opprinnelige punktet x enheter horisontalt, deretter en linje som strekker seg fra det punktet y enheter vertikalt., Det trukket formen vil være en riktig trekant, og avstanden mellom den opprinnelige (0, 0) og punktet (x, y) kan beregnes som hypotenuse av en rett trekant med side lengder x og y.
Pytagoreisk teorem er et spesialtilfelle av en mer generell parallellogram lov som gjelder lengden av sidene i et parallellogram til sin diagonaler: den parallellogram lov sier at summen av kvadratet av lengden på lengdene av de fire sidene er lik summen av kvadratet av diagonalene. Si at vi har et parallellogram med sidene AB, BC, CD, og DA og diagonalene AC og BD., Den parallellogram lov forteller oss at:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
Siden i et parallellogram, motsatte sider er per definisjon lik i lengder denne ligningen kan bare bli omskrevet som:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
Pytagoreisk teorem faller ut av denne ligningen i tilfelle av et rektangel, der diagonalene er like lengder.
Trigonometri
Kvadrere også dukker opp i lover som omhandler lengdene av sidene i en trekant til sin vinkler, i form av lov av cosines., Enkelt sagt, lov av cosines sier at for en trekant med lengder a, b, og c, og motstående vinklene A, B og C:
c2= a2 + b2 – 2ab×cos(C)
cosinus loven kan bli omskrevet for å løse for hver variabel som gir en ligning med nøyaktig samme form, slik at den samme ligningen vil arbeid for alle side. Lov av cosines lar deg bestemme de andre komponentene i en trekant hvis du vet lengden på minst to sider og en vinkel. Ligningen forenkler også å gi Pytagoreisk teorem i tilfelle rette trekanter. I tilfelle rette trekanter, ∠C = 90, så cos(C) = 0., Lengst til høyre er en del av ligningen går ut, og vi sitter igjen med c2= a2 + b2
I Fysikk
I fysikk, plassen funksjon ofte steiler sitt hode i sammenheng med ligninger beskriver intensiteten av noen fysisk størrelse som en funksjon av avstanden. På grunn av den 3-D geometri plass, og intensiteten av fysisk kvantitet som utstråler utover i en sfære rundt kilden er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden fra kilden., Dette faktum følger av geometriske lover at overflaten på en kule (4nr2) er direkte proporsjonal med radius kvadrat (r2) av sfære.
For eksempel, tyngdekraften er en invers square kraft som styrken av gravitasjonsfelt tiltrekning mellom to legemer er direkte proporsjonal med massen av de organer og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom disse organene., Dette er tydelig i den matematiske form av Newtons lov om gravitasjon
Fg= G(m1×m2)/d2
der m1 og m2 er det masser av organer og d er avstanden mellom midtpunktene av tyngdekraften. Forresten, de force av elektrostatisk tiltrekning mellom to organer også tar form av en inverse square loven, så vel som måles intensiteten av lyset, målt ut fra en kilde.
The square-notasjon er også brukt til å definere måleenheter i fysikk. For eksempel, akselerasjon, frekvensen av endring av hastighet, måles i enheten m/s2., Dette kan du lese «meter per sekund per sekund.»Hvis hastigheten er endring i avstand med hensyn til tid, så akselerasjon er endringen i hastighet med hensyn til tid. Akselerasjon er et mål for hvor mye hastigheten er å endre på hvert punkt på bevegelse. Hvis min akselerasjon er 6 m/s2, betyr dette at min hastighet (m/s) øker med 6 for hvert sekund av bevegelse, derfor meter per sekund per sekund.