Newtonsche Flüssigkeit

Ein Element einer fließenden Flüssigkeit oder eines fließenden Gases erleidet Kräfte aus der umgebenden Flüssigkeit, einschließlich viskoser Belastungskräfte, die dazu führen, dass es sich mit der Zeit allmählich verformt. Diese Kräfte können mathematisch durch einen zähflüssigen Spannungstensor erster Ordnung angenähert werden, der üblicherweise mit τ {\displaystyle \tau} bezeichnet wird .

Die Verformung dieses Fluidelements relativ zu einem vorherigen Zustand kann durch einen Dehnungstensor, der sich mit der Zeit ändert, der ersten Ordnung angenähert werden., Die Zeitableitung dieses Tensors ist der Dehnungsraten-Tensor, der ausdrückt, wie sich die Verformung des Elements mit der Zeit ändert; und ist auch der Gradient des Geschwindigkeitsvektorfeldes v {\displaystyle v} an diesem Punkt, oft mit ∇ v {\displaystyle \nabla v} bezeichnet .,/p>

Inkompressible isotrope caseEdit

Für eine inkompressible und isotrope Newtonsche Flüssigkeit ist die viskose Spannung durch die einfachere Gleichung mit der Dehnungsrate verbunden

τ = μ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}

wobei

τ {\displaystyle \tau } die Scherspannung („drag“) in der Flüssigkeit ist, μ {\displaystyle \mu } ein Skalar Proportionalitätskonstante, die Scherviskosität des Fluids d u d y {\displaystyle {\frac {du}{dy}}} ist die Ableitung der Geschwindigkeitskomponente, die parallel zur Scherrichtung ist, relativ zur Verschiebung in senkrechter Richtung.,, diese Gleichung kann in Form eines beliebigen Koordinatensystems als τ i j = μ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}+{\frac {\partial v_{j}} {\partial x_{i}}\right)}

wobei

x j {\displaystyle x_{j}} ist die j {\displaystyle j} th räumliche Koordinate v i {\displaystyle v_{i}} ist die Geschwindigkeit des Fluids in Richtung der Achse i {\displaystyle i} τ i j {\displaystyle \tau _{ij}} ist die j {\displaystyle j} th Komponente der Spannung, die auf die Flächen des Fluidelements senkrecht zu Achse i {\displaystyle i}.,

Man definiert auch einen Gesamtspannungstensor σ {\displaystyle \mathbf {\sigma } }, der die Scherspannung mit herkömmlichem (thermodynamischem) Druck p {\displaystyle p} kombiniert ., Die stress-scher Gleichung wird dann zu

σ i j = − p δ i j + μ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \vec {\sigma } _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}

schriftliche oder in kompakter tensor notation

σ = − p I + µ ( ∇ v + ∇ v T ) {\displaystyle \vec {\sigma } =-p\vec {I} +\mu \left(\nabla \vec {v} +\nabla \vec {v} ^{T}\right)}

wo I {\displaystyle \vec {I} } ist die Identität tensor.,

Für anisotrope fluidsEdit

Im Allgemeinen wird in einem nicht-isotropen Newtonschen Fluid der Koeffizient μ {\displaystyle \mu}, der interne Reibungsspannungen auf die räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes bezieht, durch einen viskosen Spannungstensor mit neun Elementen μ i j {\displaystyle \mu _{ij}} ersetzt .,

Es gibt allgemeine formel für die reibungskraft in einer flüssigkeit: Die vektordifferenz der reibungskraft ist gleich die viskosität tensor erhöht auf vektor produkt differential der bereich vektor von angrenzenden eine flüssigkeit schichten und rotor von geschwindigkeit:

df = μ i j d S × r o t u {\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }

wo μ i j {\displaystyle \mu _{ij}} – Viskositätstensor. Die diagonalen Komponenten des Viskositätstensors ist die molekulare Viskosität einer Flüssigkeit und nicht diagonale Komponenten – Turbulenz Wirbelviskosität.,

Newtonsches Gesetz der Viskositätedit

Die folgende Gleichung veranschaulicht die Beziehung zwischen Scherrate und Scherspannung:

τ = μ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {du \over dy}} ,

wobei:

• τ die Scherspannung ist;
• μ ist die Viskosität und
• d u d y {\textstyle {\frac {du}{dy}}} ist die Scherrate.

Wenn die Viskosität konstant ist, ist das Fluid Newtonsch.

Power-law modelEdit

Das Leistungsgesetzmodell wird verwendet, um das Verhalten von newtonschen und nicht-newtonschen Flüssigkeiten anzuzeigen und die Scherspannung als Funktion der Dehnungsrate zu messen.,

Die Beziehung zwischen Scherspannung, Dehnungsrate und Geschwindigkeitsgradient für das Leistungsgesetzmodell lautet: τ = − m | γ/n − 1 d v x d y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,

wobei

• | γ/n − 1 {\displaystyle \left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}} ist der absolute Wert der Dehnungsrate zur (n-1) Leistung;

• d v x d y {\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}} ist der Geschwindigkeitsgradient;

• n ist der Leistungsgesetzindex.,

Wenn

• n < 1 ist, dann die Flüssigkeit ist eine pseudoplastische.
• n = 1 dann ist die Flüssigkeit eine Newtonsche Flüssigkeit.
• n > 1 dann ist die Flüssigkeit ein Dilatant.,

Fluidmodelledit

Die Beziehung zwischen Scherspannung und Scherrate in einem casson fluid Modell ist wie folgt definiert:

τ = τ 0 + S d V d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}

wobei τ0 die Streckgrenze ist und

S = μ ( 1 − H ) α {\sqrt{\tau}} displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu} {(1-H)^{\alpha}}}},

wobei α von der Proteinzusammensetzung abhängt und H die Hämatokritzahl ist.