Wat zijn kegelsneden?
kegelsneden worden verkregen door het snijpunt van het oppervlak van een kegel met een vlak en hebben bepaalde kenmerken.,
leerdoelstellingen
Beschrijf de delen van een kegelsnede en hoe kegelsneden kunnen worden beschouwd als doorsneden van een dubbele kegel
Key afhaalpunten
Key Points
- een kegelsnede (of gewoon kegelsnede) is een kromme die wordt verkregen als het snijpunt van het oppervlak van een kegel met een vlak; de drie typen zijn parabolen ellipsen en Hyperbola ‘ s.
- een kegelsnede kan worden weergegeven op een coördinatenvlak.
- elke kegelsnede heeft bepaalde functies, waaronder ten minste één focus en directrix., Parabolen hebben één focus en directrix, terwijl ellipsen en hyperbolen twee van elk hebben.
- een kegelsnede is de verzameling punten P waarvan de afstand tot de focus een constant veelvoud is van de afstand van P tot de directrix van de kegelsnede.
sleuteltermen
- vertex: een uiterste punt op een kegelsnede.
- asymptoot: een rechte lijn die een kromme willekeurig dicht benadert als hij naar de oneindigheid gaat.
- locus: de verzameling van alle punten waarvan de coördinaten aan een bepaalde vergelijking of voorwaarde voldoen.,
- focus: een punt dat wordt gebruikt om een kegelsnede te construeren en te definiëren, waarbij de uit de kromme gereflecteerde stralen convergeren (meervoud: foci).
- nappe: de helft van een dubbele kegel.
- kegelsnede: elke kromme die wordt gevormd door het snijpunt van een vlak met een kegel van twee nappes.
- directrix: een lijn die gebruikt wordt om een kegelsnede te construeren en te definiëren; een parabool heeft één directrix; ellipsen en hyperbolen hebben twee (meervoud: directrices).,
Defining kegelsneden
een kegelsnede (of gewoon kegelsnede) is een kromme die wordt verkregen als het snijpunt van het oppervlak van een kegel met een vlak. De drie soorten kegelsneden zijn de hyperbool, de parabool en de ellips. De cirkel is het type ellips, en wordt soms beschouwd als een vierde type kegelsnede.
kegelsneden kunnen worden gegenereerd door een vlak met een kegel te snijden. Een kegel heeft twee identiek gevormde delen genaamd nappes. Een nappe is wat de meeste mensen bedoelen met “kegel,” en heeft de vorm van een feest hoed.,
kegelsneden worden gegenereerd door het snijpunt van een vlak met een kegel. Als het vlak evenwijdig is aan de omwentelingsas (de y-as), dan is de kegelsnede een hyperbool. Als het vlak evenwijdig is aan de genererende lijn, is de kegelsnede een parabool. Als het vlak loodrecht staat op de omwentelingsas, is de kegelsnede een cirkel. Als het vlak een nappe snijdt onder een hoek met de as (anders dan 90^{\circ}), dan is de kegelsnede een ellips.,
een kegel-en kegelsneden: de nappes en de vier kegelsneden. Elke kegelsnede wordt bepaald door de hoek die het vlak maakt met de as van de kegel.
gemeenschappelijke delen van kegelsneden
hoewel elk type kegelsnede er heel anders uitziet, hebben ze enkele kenmerken gemeen. Elk type heeft bijvoorbeeld minstens één focus en directrix.
een focus is een punt waarover de kegelsnede wordt geconstrueerd. Met andere woorden, het is een punt waar de door de kromme gereflecteerde stralen samenkomen., Een parabool heeft één focus waarover de vorm is geconstrueerd; een ellips en hyperbool hebben er twee.
een directrix is een lijn die gebruikt wordt om een kegelsnede te construeren en te definiëren. De afstand van een directrix van een punt op de kegelsnede heeft een constante verhouding tot de afstand van dat punt tot de focus. Net als bij de focus heeft een parabool één directrix, terwijl ellipsen en hyperbolen twee hebben.
deze eigenschappen die de kegelsneden delen worden vaak gepresenteerd als de volgende definitie, die verder zal worden uitgewerkt in de volgende sectie., Een kegelsnede is de locus van punten P waarvan de afstand tot de focus een constant veelvoud is van de afstand van P tot de directrix van de kegelsnede. Deze afstanden worden weergegeven als oranje lijnen voor elk kegelsnede in het volgende diagram.
Delen van kegelsneden: de drie kegelsneden met brandpunten en directrices gelabeld.
elk type kegelsnede wordt hieronder nader beschreven.,
parabool
een parabool is de verzameling van alle punten waarvan de afstand tot een vast punt, de focus genoemd, gelijk is aan de afstand tot een vaste lijn, de directrix genoemd. Het punt halverwege tussen de focus en de directrix wordt de top van de parabool genoemd.
in de volgende figuur worden vier parabolen weergegeven zoals ze op het coördinatenvlak verschijnen. Ze kunnen openen, naar beneden, naar links, of naar rechts.
Vier parabolen, die in verschillende richtingen openen: het hoekpunt ligt in het midden tussen de directrix en de focus.,
ellipsen
een ellips is de verzameling van alle punten waarvoor de som van de afstanden vanaf twee vaste punten (de foci) constant is. In het geval van een ellips, zijn er twee foci, en twee directrices.
in de volgende figuur wordt een typische ellips weergegeven zoals deze op het coördinatenvlak verschijnt.
ellips: de som van de afstanden van elk punt op de ellips tot de foci is constant.,
hyperbool
een hyperbool is de verzameling van alle punten waar het verschil tussen hun afstanden tot twee vaste punten (de foci) constant is. In het geval van een hyperbool zijn er twee foci en twee directrices. Hyperbolen hebben ook twee asymptoten.
een grafiek van een typische hyperbool verschijnt in het volgende figuur.
hyperbool: het verschil tussen de afstanden van elk punt op de ellips en de foci is constant. De dwarsas wordt ook wel de hoofdas genoemd, en de geconjugeerde as wordt ook wel de kleine as genoemd.,
toepassingen van kegelsneden
kegelsneden worden op vele studiegebieden gebruikt, met name om vormen te beschrijven. Ze worden bijvoorbeeld gebruikt in de astronomie om de vormen van de banen van objecten in de ruimte te beschrijven. Twee massieve objecten in de ruimte die interageren volgens de wet van Newton van de universele zwaartekracht kunnen bewegen in banen die in de vorm van kegelsneden. Ze konden ellipsen, parabolen of hyperbolen volgen, afhankelijk van hun eigenschappen.
excentriciteit
elke kegelsnede heeft een constante excentriciteit die informatie geeft over de vorm.,
leerdoelstellingen
bespreek hoe de excentriciteit van een kegelsnede het gedrag beschrijft
Key afhaalpunten
Key Points
- excentriciteit is een parameter geassocieerd met elke kegelsnede, en kan worden beschouwd als een maat voor de mate waarin de kegelsnede afwijkt van cirkelvormig.
- de excentriciteit van een kegelsnede is de afstand van elk punt van de kegelsnede tot het brandpunt, gedeeld door de loodrechte afstand van dat punt tot de dichtstbijzijnde directrix.,
- de waarde van e kan worden gebruikt om het type kegelsnede te bepalen. Als e = 1 Het is een parabool, als e < 1 Het is een ellips, en als e > 1 Het is een hyperbool.
sleuteltermen
- excentriciteit: een parameter van een kegelsnede die beschrijft in hoeverre de kegelsnede afwijkt van het cirkelvormige karakter.
Defining Excentricity
de excentriciteit, aangeduid met e, is een parameter geassocieerd met elke kegelsnede. Het kan worden gezien als een maat voor de mate waarin de kegelsnede afwijkt van het cirkelvormig zijn.,
de excentriciteit van een kegelsnede is de afstand van elk punt van de kegelsnede tot het brandpunt, gedeeld door de loodrechte afstand van dat punt tot de dichtstbijzijnde directrix. De waarde van e is constant voor elke kegelsnede. Deze eigenschap kan worden gebruikt als een algemene definitie voor kegelsneden., De waarde van e kan ook worden gebruikt om het type kegelsnede te bepalen:
- Als e = 1, is de kegelsnede een parabool
- Als e < 1, is het een ellips
- Als e > 1, is het een hyperbool
de excentriciteit van een cirkel is nul. Merk op dat twee kegelsneden gelijkaardig (identiek gevormd) zijn dan en alleen als ze dezelfde excentriciteit hebben.
bedenk dat hyperbolen en niet-cirkelvormige ellipsen twee foci en twee geassocieerde directrices hebben, terwijl parabolen één focus en één directrix hebben., In de volgende figuur wordt elk type kegelsnede weergegeven met een focus en directrix. De oranje lijnen geven de afstand aan tussen de focus en de punten op de kegelsnede, evenals de afstand tussen dezelfde punten en de directrix. Dit zijn de afstanden die worden gebruikt om de excentriciteit te vinden.
kegelsneden en hun delen: excentriciteit is de verhouding tussen de afstand van een punt op de kegelsnede tot het brandpunt en de loodrechte afstand van dat punt tot de dichtstbijzijnde directrix.,
Conceptualiserende excentriciteit
vanaf de definitie van een parabool is de afstand van elk punt op de parabool tot de focus gelijk aan de afstand van dat punt tot de directrix. Daarom moet per definitie de excentriciteit van een parabool 1 zijn.
voor een ellips is de excentriciteit kleiner dan 1. Dit betekent dat, in de verhouding die excentriciteit definieert, de teller kleiner is dan de noemer. Met andere woorden, de afstand tussen een punt op een kegelsnede en zijn focus is kleiner dan de afstand tussen dat punt en de dichtstbijzijnde directrix.,
omgekeerd is de excentriciteit van een hyperbool groter dan 1. Dit geeft aan dat de afstand tussen een punt op een kegelsnede de dichtstbijzijnde directrix kleiner is dan de afstand tussen dat punt en het brandpunt.
soorten kegelsneden
kegelsneden worden gevormd door het snijpunt van een vlak met een kegel, en hun eigenschappen hangen af van hoe dit snijpunt plaatsvindt.,
leerdoelstellingen
bespreek de eigenschappen van verschillende soorten kegelsneden
belangrijke afhaalpunten
belangrijke punten
- kegelsneden zijn een bepaald type vorm dat wordt gevormd door het snijpunt van een vlak en een rechte cirkelvormige kegel. Afhankelijk van de hoek tussen het vlak en de kegel, kunnen vier verschillende snijvormen worden gevormd.
- de soorten kegelsneden zijn cirkels, ellipsen, hyperbolen en parabolen.
- elke kegelsnede heeft ook een gedegenereerde vorm; deze hebben de vorm van punten en lijnen.,
sleuteltermen
- gedegenereerd: een kegelsnede die niet in de standaardvorm van de vergelijking past.
- asymptoot: een lijn die een gebogen functie of vorm benadert maar nooit raakt.
- hyperbool: de kegelsnede die wordt gevormd door het vlak dat loodrecht staat op de basis van de kegel.
- focus: een punt verwijderd van een gebogen lijn, waaromheen de kromme buigt.
- cirkel: de kegelsnede die wordt gevormd door het vlak dat evenwijdig is aan de basis van de kegel.
- ellips: de kegelsnede die wordt gevormd door het vlak dat een hoek maakt met de basis van de kegel.,
- excentriciteit: een dimensieloze parameter die de vorm van een kegelsnede karakteriseert.
- parabool: de kegelsnede die wordt gevormd door het vlak evenwijdig aan de kegel.
- vertex: het keerpunt van een gebogen vorm.
kegelsneden zijn een bepaald type vorm dat wordt gevormd door het snijpunt van een vlak en een rechte cirkelvormige kegel. Afhankelijk van de hoek tussen het vlak en de kegel, kunnen vier verschillende snijvormen worden gevormd. Elke vorm heeft ook een gedegenereerde vorm., Er is een eigenschap van alle kegelsneden die excentriciteit wordt genoemd, die de vorm aanneemt van een Numerieke parameter e. de vier kegelsneden hebben elk verschillende waarden van e.
soorten kegelsneden: deze figuur toont hoe de kegelsneden, in lichtblauw, het resultaat zijn van een vlak dat een kegel snijdt. Afbeelding 1 toont een parabool, afbeelding 2 toont een cirkel (onder) en een ellips (boven), en afbeelding 3 toont een hyperbool.,
parabool
een parabool wordt gevormd wanneer het vlak evenwijdig is aan het oppervlak van de kegel, wat resulteert in een U-vormige kromme die op het vlak ligt. Elke parabool heeft bepaalde kenmerken:
- een vertex, dat is het punt waarop de kromme rond
- een focus, dat is een punt niet op de kromme waaromheen de kromme buigt
- een symmetrieas, dat is een lijn die het vertex verbindt en de focus die de parabool in twee gelijke helften verdeelt
alle parabolen hebben een excentriciteitswaarde e=1., Als direct gevolg van het hebben van dezelfde excentriciteit, alle parabolen zijn vergelijkbaar, wat betekent dat elke parabool kan worden omgezet in een andere met een verandering van positie en schaal. Het gedegenereerde geval van een parabool is wanneer het vlak nauwelijks het buitenoppervlak van de kegel raakt, wat betekent dat het raaklijnt aan de kegel. Dit creëert een rechte lijn snijpunt uit de diagonaal van de kegel.
niet-gedegenereerde parabolen kunnen worden weergegeven met kwadratische functies zoals
f(x) = x^2
cirkel
een cirkel wordt gevormd wanneer het vlak evenwijdig is aan de basis van de kegel., Het snijpunt met de kegel is daarom een verzameling punten op gelijke afstand van een gemeenschappelijk punt (de centrale as van de kegel), die voldoet aan de definitie van een cirkel. Alle cirkels hebben bepaalde eigenschappen:
- een middelpunt
- een straal, waarvan de afstand van elk punt op de cirkel tot het middelpunt
alle cirkels een excentriciteit hebben e=0. Dus, net als de parabool, alle cirkels zijn vergelijkbaar en kunnen worden omgezet in elkaar., Op een coördinatenvlak is de algemene vorm van de vergelijking van de cirkel
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
waarbij (h,k) de coördinaten van het midden van de cirkel zijn en r de straal is.
de gedegenereerde vorm van de cirkel treedt op wanneer het vlak alleen de punt van de kegel snijdt. Dit is een doorsnede van één punt,of gelijkwaardig een cirkel met een straal van nul.
kegelsneden met excentriciteit: deze grafiek toont een ellips in rood, met een excentriciteitswaarde van 0.,5, een parabool in het groen met de vereiste excentriciteit van 1, en een hyperbool in het blauw met een voorbeeld excentriciteit van 2. Het toont ook een van de gedegenereerde hyperbool gevallen, de rechte zwarte lijn, overeenkomend met oneindige excentriciteit. De cirkel is aan de binnenkant van de parabool, die aan de binnenkant van een kant van de hyperbool, die de horizontale lijn eronder heeft. Op deze manier kan toenemende excentriciteit worden geïdentificeerd met een soort van ontvouwen of openen van de kegelsnede.,
ellips
wanneer de hoek van het vlak ten opzichte van de kegel tussen het buitenoppervlak van de kegel en de basis van de kegel ligt, is het resulterende snijpunt een ellips. De definitie van een ellips omvat ook evenwijdig zijn aan de basis van de kegel, dus alle cirkels zijn een speciaal geval van de ellips., Ellipsen deze kenmerken hebben:
- Een grote as, dat is de langste breedte over de ellips
- Een kleine as, dat is de kortste breedte over de ellips
- Een centrum, dat is het snijpunt van de twee assen
- Twee brandpunten —voor elk punt op de ellips, de som van de afstanden tot beide brandpunten is een constante
Ellipsen een range van excentriciteit waarden: 0 \leq e < – 1. Merk op dat de waarde 0 is inbegrepen (een cirkel), maar de waarde 1 is niet inbegrepen (dat zou een parabool zijn)., Omdat er een reeks excentriciteitswaarden is, zijn niet alle ellipsen gelijk. De algemene vorm van de vergelijking van een ellips met een hoofdas evenwijdig aan de x-as is:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
de gedegenereerde vorm van een ellips is een punt, of cirkel met nulradius, net als voor de cirkel.
hyperbool
een hyperbool wordt gevormd wanneer het vlak evenwijdig is aan de centrale as van de kegel, wat betekent dat het beide delen van de dubbele kegel snijdt.,nches zijn, alsmede op deze beschikt over:
- Asymptoot lijnen—dit zijn twee lineaire grafieken die de curve van de hyperbool benaderingen, maar nooit raakt
- Een centrum, dat is het snijpunt van de asymptoten
- Twee brandpunten, rond die elk van de twee takken buigen
- Twee hoekpunten, één voor elke branch
De algemene vergelijking voor een hyperbool met hoekpunten op een horizontale lijn is:
\displaystyle{ \frac{(x-h)^2}{a^2} – \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 }
De excentriciteit van een hyperbool is beperkt tot e > 1, en heeft geen bovengrens., Als de excentriciteit tot de grens van +\infty (positieve oneindigheid) mag gaan, wordt de hyperbool een van zijn ontaarde gevallen—een rechte lijn. Het andere gedegenereerde geval voor een hyperbool is om zijn twee rechte asymptoten te worden. Dit gebeurt wanneer het vlak de top van de dubbele kegel snijdt.