Content Preview

Gauss-Jordan eliminatie is een algoritme dat kan worden gebruikt om systemen van lineaire vergelijkingen op te lossen en de inverse van elke inverteerbare matrix te vinden. Het steunt op drie elementaire rijbewerkingen die men op een matrix kan gebruiken:

1. Verwissel de posities van twee van de rijen
2. vermenigvuldig een van de rijen met een niet-nul scalar.
3. voeg het scalaire veelvoud van een rij toe aan een andere rij.,

gereduceerde rij echelon vorm

Het doel van Gauss-Jordan eliminatie is om de drie elementaire rij operaties te gebruiken om een matrix om te zetten in gereduceerde rij echelon vorm. Een matrix is in gereduceerde rij echelon-vorm, ook wel rij-canonieke vorm genoemd, als aan de volgende voorwaarden is voldaan:

1. alle rijen met slechts nul items bevinden zich aan de onderkant van de matrix
2. de eerste niet-nul item in een rij, de leading entry of de pivot genoemd, van elke niet-nul rij bevindt zich rechts van de leading entry van de rij erboven.,
3. de eerste regel, ook bekend als de pivot, in elke niet-nul rij is 1.
4. alle andere items in de kolom met een voorloop1 zijn nullen.

Matrices A en B zijn in gereduceerde echelon-vorm, maar de matrices C en D niet. C is niet in gereduceerde rij echelon-vorm omdat het in strijd is met voorwaarden twee en drie. D is niet in gereduceerde rij echelon vorm, omdat het in strijd is met conditie vier. Bovendien kunnen de elementaire rijbewerkingen worden gebruikt om matrix D te reduceren tot matrix B.,

stappen voor Gauss-Jordan eliminatie

om Gauss-Jordan eliminatie uit te voeren:

1. Swap de rijen zodat alle rijen met alle nul items zich aan de onderkant bevinden
2. Swap de rijen zodat de rij met de grootste, meest linkse niet-nul entry zich bovenaan bevindt.
3. vermenigvuldig de bovenste rij met een scalar zodat de eerste regel van de bovenste rij 1 wordt.
4. optellen / aftrekken van veelvouden van de bovenste rij naar de andere rijen, zodat alle andere items in de kolom die de eerste ingang van de bovenste rij bevat, allemaal nul zijn.,
5. Herhaal stap 2-4 Voor de volgende meest linkse niet-nul entry totdat alle leidende entries 1 zijn.
6. Verwissel de rijen zodat de eerste regel van elke rij zonder nul rechts staat van de eerste regel van de rij erboven.,

geselecteerde videovoorbeelden worden hieronder getoond:

• Gauss-Jordan eliminatie – Jonathan Mitchell (YouTube)
• Gauss-Jordan gebruiken om een systeem van drie lineaire vergelijkingen op te lossen – Voorbeeld 1 – patrickJMT (YouTube)
• Algebra – Matrices – Gauss Jordan Method Part 1 Augmented Matrix – IntuitiveMath (YouTube)
• Gaussian eliminatie – patrickJMT (YouTube)

om de inverse van een n × n matrix a te verkrijgen :