in wiskunde is het kwadraat symbool (2) een rekenkundige operator die een getal met zichzelf vermenigvuldigt. Het “kwadraat” van een getal is het product van het getal en zichzelf. Het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf wordt “squaring” het getal genoemd. Kwadratuur van een getal is een meer specifieke instantie van de Algemene exponentiatie operatie, exponentiatie wanneer de exponent 2 is. Kwadratuur van een getal is hetzelfde als het verhogen van dat getal tot de macht van twee. De vierkantfunctie (F(x)=x2) is de inverse van de vierkantswortelfunctie (f(x) = √x).,
Het verhogen van een getal n tot de macht van 2 wordt “squaring” genoemd omdat het resulterende getal n2 overeenkomt met de oppervlakte van een vierkant met zijden van lengte n. de vierkante functie is een uiterst nuttige functie in algebra, trigonometrie en natuurkunde. In de algebra vormt de vierkante functie de ruggengraat van enkele eenvoudigste soorten veeltermen (quadratics). In de trigonometrie wordt de vierkante functie gebruikt om de corresponderende hoeken en zijlengtes van congruente driehoeken te vinden, een nuttig concept voor het modelleren van periodieke fenomenen., In de natuurkunde kan de kwadraatfunctie worden gebruikt om afstanden tussen twee punten te berekenen (in de vorm van de stelling van Pythagoras) en gemodelleerde fenomenen nemen vaak de wiskundige vorm aan van een kwadraatfunctie, in het bijzonder vergelijkingen met snelheid en versnelling.
Squaring: de basis
Squaring een getal is eenvoudig: vermenigvuldig het getal met zichzelf: het symbool 32 betekent gewoon 3×3., In het algemeen, voor elk getal n:
n2 = N × N
Verder heeft de functie vierkant de interessante eigenschap dat het invoeren van de additieve inverse van n u hetzelfde getal geeft: dat wil zeggen:
n2 = (−n)2
strikt genomen is elk positief getal het kwadraat van precies twee getallen, een positief en een negatief getal. 4 is het kwadraat van zowel 2 als -2. Een getal dat het kwadraat van een geheel getal is, wordt een perfect kwadraat genoemd., In het algemeen geldt dat hoe verder de getallenlijn naar beneden gaat, hoe verder en verder de verdeling van perfectioneert vierkanten wordt uitgespreid. Deze trend is omdat de vierkante functie exponentieel groeit; dat wil zeggen zijn groeisnelheid is proportioneel aan zijn huidige waarde.
de inverse van de vierkantfunctie is de vierkantswortelfunctie F(x) = √x. de vierkantswortel van een getal n is elk a zodanig dat a2 = n. omdat zowel een getal als zijn additieve inverse kwadraat om hetzelfde resultaat te krijgen, heeft elk positief reëel getal precies 2 wortels +√X en −√x, soms uitgedrukt als ±√x., In de meeste context verwijst” de vierkantswortel ” van een getal alleen naar de positieve wortel. De specifieke definitie van de vierkantswortelfunctie zorgt ervoor dat geen enkel negatief reëel getal een vierkantswortel heeft, omdat geen enkel getal vermenigvuldigd met zichzelf een negatief getal zal produceren. Negatieve getallen hebben vierkantswortels in het complexe getalsysteem, maar niet in het reële getalsysteem.
een grafiek van de functie x2 ziet eruit als:
merk op hoe de grafiek perfect gespiegeld wordt langs de verticale y-as., De vorm van de grafiek komt overeen met het feit dat elk positief reëel getal het kwadraat is van zowel een positief als een negatief getal (behalve nul). Als zodanig is het mogelijk dat een functie in de algemene vorm van de vierkante functie geen wortels heeft—er is geen n zodanig dat f(n) = 0. Visueel betekent dit dat sommige vierkante functies nooit de x-as zullen passeren.
gebruik van de kwadratische functie
Algebra
de kwadratische functie vormt de ruggengraat van een speciale klasse van veeltermvergelijkingen die kwadratische vergelijkingen worden genoemd., Een kwadratische veelterm van graad 2: dat wil zeggen elke veelterm in de vorm:
ax2 + bx + c
waarbij a, b en c alle reële getallen zijn en a≠0. de termen a, b en c worden respectievelijk de kwadratische, lineaire en constante coëfficiënt genoemd. Kwadratische vergelijkingen kunnen in rekening worden gebracht om hun wortels te vinden—waarden van x waarvoor de hele vergelijking gelijk is aan 0., Als alternatief kan men de kwadratische vergelijking gebruiken om de wortels van een kwadratische veelterm op te lossen:
kwadratische vergelijking zijn nuttig voor het modelleren van beweging, aangezien de curve van versnelde beweging de vorm van een kwadratische kromme aanneemt. Als een beweging een constante snelheid van versnelling heeft, dan is een grafiek van zijn beweging een kwadratische vergelijking. De geometrische vorm van de kwadratische functie wordt een parabool genoemd.
geometrie
De vierkante functie heeft vele toepassingen in de geometrie. Het meest duidelijk, de vierkante functie kan worden gebruikt om de oppervlakte van vierkanten te vinden., Het is algemeen bekend dat de oppervlakte van een vierkant met zijden van lengte n gelijk is aan n2. Dit volgt uit de vergelijking voor de oppervlakte van een rechthoek (en parallelogrammen meer in het algemeen) waar A = l×w. een vierkant is gewoon een rechthoek waar de lengte en de breedte hetzelfde zijn. Het feit dat de oppervlakte van een vierkant een vierkante functie is, verklaart een eigenschap over de groei van een vierkant gebied: het vierkant gebied waarvan de lengte n keer langer is, heeft n2 meer oppervlakte.
Squaring wordt ook gebruikt om afstanden tussen twee punten te vinden in de context van de stelling van Pythagoras. De stelling van Pythagoras vertelt dat het kwadraat van de zijden van een rechthoekige driehoek (een driehoek met een hoek van 90°) gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa (a2+b2=c2). Deze formule kan worden gebruikt om de afstand te berekenen tussen het beginpunt van een coördinaat-as (0, 0) en elk willekeurig punt (x, y). Men kan een lijn tekenen die zich uitstrekt vanaf het beginpunt x eenheden horizontaal, dan een lijn die zich uitstrekt vanaf dat punt y eenheden verticaal., De getekende vorm een rechthoekige driehoek, en de afstand tussen de oorsprong (0, 0) en het punt (x, y) kan worden berekend als de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met zijde lengte x en y.
De stelling van Pythagoras is een speciaal geval van de meer algemene parallellogram wet dat betrekking heeft op de lengte van de zijden van een parallellogram de diagonalen: het parallellogram wet bepaalt dat de som van de kwadraten van de lengtes van de lengtes van de vier zijden gelijk is aan de som van het kwadraat van de diagonalen. Stel dat we een parallellogram hebben met zijden AB, BC, CD, en DA en diagonalen AC en BD., De parallellogramwet vertelt ons dat:
AB2+BC2+CD2+DA2 = AC2+BD2
aangezien in een parallellogram tegengestelde zijden per definitie gelijk zijn in lengtes, kan deze vergelijking gewoon worden herschreven als:
2(AB)2+2(CD)2 = AC2+BD2
De Stelling van Pythagoras valt uit deze vergelijking in het geval van een rechthoek, waar de diagonalen zijn gelijke lengtes.
Trigonometrie
Squaring duikt ook op in wetten die de lengtes van de zijden van een driehoek aan de hoeken ervan relateren, in de vorm van de wet van cosinus., Simpel gezegd stelt de wet van cosinussen dat Voor een driehoek met lengtes a, b en c en tegengestelde hoeken A, B en C:
c2 = a2 + b2 – 2AB×cos (C)
de cosinuswet kan worden herschreven om op te lossen voor elke variabele die een vergelijking geeft met exact dezelfde vorm, dus dezelfde vergelijking zal werken voor elke zijde. De wet van cosinus stelt u in staat om de andere componenten van een driehoek te bepalen als u de lengte van ten minste twee zijden en een hoek kent. De vergelijking vereenvoudigt ook om de stelling van Pythagoras te geven in het geval van rechthoekige driehoeken. In het geval van rechthoekige driehoeken, ∠C = 90, dus cos (C) = 0., Het meest rechtse deel van de vergelijking annuleert, en we blijven over met c2= a2 + b2
in de natuurkunde
in de fysica steekt de vierkante functie vaak zijn kop op in de context van vergelijkingen die de intensiteit van een bepaalde fysische grootheid beschrijven als een functie van afstand. Door de 3-D geometrie van de ruimte is de intensiteit van elke fysische grootheid die naar buiten uitstraalt in een bol rond de bron omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot de bron., Dit feit volgt uit de meetkundige wet dat de oppervlakte van een sfeer (4nr2) recht evenredig is met de straal kwadraat (r2) van de sfeer.
bijvoorbeeld, de zwaartekracht is een inverse kwadratische kracht omdat de sterkte van de aantrekking van de zwaartekracht tussen twee hemellichamen recht evenredig is met de massa van die hemellichamen en omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand tussen die hemellichamen., Dit is duidelijk in de wiskundige vorm van de zwaartekrachtwet van Newton
Fg= G (m1×m2) /d2
waarin m1 en m2 de massa ‘ s van de hemellichamen zijn en d de afstand tussen hun zwaartepunt. Overigens neemt de kracht van elektrostatische aantrekking tussen twee lichamen ook de vorm aan van een omgekeerde kwadratenwet, evenals de gemeten lichtintensiteit zoals gemeten vanaf een puntbron.
De kwadraatnotatie wordt ook gebruikt om meeteenheden in de fysica te definiëren. Bijvoorbeeld, versnelling, De snelheid van verandering van snelheid, wordt gemeten in de eenheid m / s2., Dit kan worden gelezen “meters per seconde per seconde.”Als snelheid de verandering in afstand ten opzichte van de tijd is, dan is versnelling de verandering in snelheid ten opzichte van de tijd. Acceleratie is een maat voor hoeveel snelheid verandert op elk punt van beweging. Als mijn acceleratie 6 m/s2 is, betekent dit dat mijn snelheid (m/s) met 6 toeneemt voor elke seconde van beweging, dus meters per seconde per seconde.