Newtoniaanse vloeistof

een element van een stromende vloeistof of gas zal krachten ondervinden van de omringende vloeistof, waaronder viskeuze stresskrachten die ervoor zorgen dat het geleidelijk vervormen in de loop van de tijd. Deze krachten kunnen wiskundig worden benaderd met de eerste orde door een viskeuze spanningssensor ,die gewoonlijk wordt aangeduid met τ {\displaystyle \tau}.

de vervorming van dat vloeistofelement ten opzichte van een eerdere toestand kan worden benaderd met de eerste orde door een spanningssensor die met de tijd verandert., De tijdderivaat van die tensor is de reksnelheid tensor, die uitdrukt hoe de vervorming van het element verandert met de tijd; en is ook de gradiënt van het snelheidsvectorveld v {\displaystyle v} op dat punt, vaak aangeduid als ∇ v {\displaystyle \nabla v} .,/p>

Onsamendrukbaar isotrope caseEdit

Voor een onsamendrukbare en isotrope Newtoniaanse vloeistof, de viskeuze stress is gerelateerd aan de deformatiesnelheid door de eenvoudiger vergelijking

τ = μ d u d y {\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}

waar

τ {\displaystyle \tau } is de schuifspanning (“drag”) in de vloeistof, μ {\displaystyle \mu } is een scalaire constante van evenredigheid, de shear viscositeit van de vloeistof d u d y {\displaystyle {\frac {du}{dy}}} is de afgeleide van de snelheid component evenwijdig aan de richting van de schuifkrachten in vergelijking tot de verplaatsing in verticale richting., deze vergelijking kan geschreven worden in termen van een willekeurige coördinaat systeem τ i j = μ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}

waar

x j {\displaystyle x_{j}} is de j {\displaystyle j} th ruimtelijke coördinaat v i {\displaystyle v_{i}} wordt de vloeistof van de snelheid in de richting van as i {\displaystyle i} τ i j {\displaystyle \tau _{ij}} is de j {\displaystyle j} th onderdeel van de stress die op de gezichten van de vloeistof element loodrecht op as i {\displaystyle i} .,

men definieert ook een totale spanningssensor σ {\displaystyle \mathbf {\sigma } } , die de schuifspanning combineert met conventionele (thermodynamische) druk P {\displaystyle p} ., De stress-shear vergelijking wordt dan:

σ i j = − p δ i j + μ ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}

of geschreven in een meer compacte tensor notatie

σ = − p I + μ ( ∇ ) v + ∇ v T ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } =-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {v} +\nabla \mathbf {v} ^{T}\right)}

waar ik {\displaystyle \mathbf {I} } is de identiteit tensor.,

voor anisotrope fluidsEdit

meer in het algemeen wordt in een niet-isotrope Newtoniaanse vloeistof de coëfficiënt μ {\displaystyle \mu } die interne wrijvingsspanningen relateert aan de ruimtelijke afgeleiden van het snelheidsveld vervangen door een viskeuze spanningssensor μ i j {\displaystyle \mu _{ij}} .,

Er is een algemene formule voor wrijvingskracht in een vloeistof: het vectordifferentieel van de wrijvingskracht is gelijk aan de viscositeitsspensor verhoogd op het vectorproductdifferentieel van de gebiedsvector van aangrenzende vloeibare lagen en rotor van snelheid:

d F = μ i j d s × r o t u {\displaystyle {d}\mathbf {F} {=}\mu _{ij}\,\mathbf {dS} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }

waarbij μ i j {\displaystyle \mu _{IJ}} – viscositeitssensor. De diagonale componenten van viscositeit tensor is moleculaire viscositeit van een vloeistof, en niet diagonale componenten-turbulentie eddy viscositeit.,

Newtonian law of viscosityEdit

de volgende vergelijking illustreert het verband tussen schuifsnelheid en schuifspanning:

τ = μ d U D y {\displaystyle \tau =\mu {du \over dy}} ,

waarbij:

• τ de schuifspanning is;
• μ de viscositeit, en
• d u d y {\textyle {\frac {du}{dy}}} is de schuifsnelheid.

als de viscositeit constant is, is de vloeistof Newtoniaans.

Power law modelEdit

Het power law model wordt gebruikt om het gedrag van Newtoniaanse en niet-Newtoniaanse vloeistoffen weer te geven en meet afschuifspanning als functie van de reksnelheid.,

De relatie tussen shear stress, strain rate en de snelheid van de gradiënt voor de power-recht model zijn:

τ = − m | γ | n − 1 d v x d y {\displaystyle \tau =-m\left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}}} ,

waar

• | γ | n − 1 {\displaystyle \left\vert {\dot {\gamma }}\right\vert ^{n-1}} is de absolute waarde van de deformatiesnelheid de (n-1) vermogen;

• d v x d y {\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}} is de snelheid van de gradiënt;

• n is de power law index.,

Als

• n < 1 dan is de vloeistof een pseudoplastisch.
• n = 1 dan is de vloeistof een Newtoniaanse vloeistof.
• n > 1 dan is de vloeistof een dilatant.,

Vloeistof modelEdit

De relatie tussen de schuifspanning en de shear rate in een casson vloeistof model is als volgt gedefinieerd:

τ = τ 0 + S d V d y {\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}

waar τ0 is de vloeispanning en

S = μ ( 1 − H ) α {\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}}}

waar α is afhankelijk van eiwit samenstelling en H is de Hematocriet nummer.