Wat Is FEA / eindige-elementenanalyse?

de eindige-elementenanalyse (FEA) is de simulatie van een gegeven fysisch fenomeen met behulp van de numerieke techniek eindige-elementenmethode (FEM). Ingenieurs gebruiken FEA-software om het aantal fysieke prototypes en experimenten te verminderen en componenten in hun ontwerpfase te optimaliseren om betere producten sneller te ontwikkelen en tegelijkertijd kosten te besparen.,

Het is noodzakelijk wiskunde te gebruiken om alle fysische verschijnselen zoals structureel of vloeibaar gedrag, thermisch transport, golfvoortplanting, de groei van biologische cellen, enz.volledig te begrijpen en te kwantificeren. De meeste van deze processen worden beschreven met partiële differentiaalvergelijkingen (PDEs). Echter, voor een computer om deze PDEs op te lossen, zijn numerieke technieken ontwikkeld in de afgelopen decennia en een van de prominente, vandaag de dag, is de eindige-elementenanalyse.,

differentiaalvergelijkingen beschrijven niet alleen natuurverschijnselen, maar ook fysische verschijnselen die in de mechanica voorkomen. Deze partiële differentiaalvergelijkingen (PDE ‘ s) zijn ingewikkelde vergelijkingen die opgelost moeten worden om relevante grootheden van een structuur te berekenen (zoals spanningen (\(\epsilon\)), spanningen (\(\epsilon\)), enz.) om het structurele gedrag onder een bepaalde belasting in te schatten. Het is belangrijk om te weten dat FEA alleen een benaderende oplossing voor het probleem geeft en een numerieke benadering is om het echte resultaat van deze partiële differentiaalvergelijkingen te krijgen., Vereenvoudigd, FEA is een numerieke methode die wordt gebruikt voor de voorspelling van hoe een onderdeel of assemblage zich onder bepaalde omstandigheden gedraagt. Het wordt gebruikt als basis voor moderne simulatiesoftware en helpt ingenieurs om zwakke plekken, spanningsgebieden, enz.te vinden. in hun ontwerpen. De resultaten van een simulatie-gebaseerd op de FEA-methode worden meestal weergegeven via een kleurenschaal die bijvoorbeeld de drukverdeling over het object toont.

afhankelijk van iemands perspectief, kan worden gezegd dat FEA zijn oorsprong heeft in het werk van Euler, al in de 16e eeuw., De vroegste wiskundige artikelen over eindige-elementenanalyse zijn echter te vinden in de werken van Schellbach en Courant .

FEA werd onafhankelijk ontwikkeld door ingenieurs in verschillende industrieën om problemen in verband met structurele mechanica in de lucht-en ruimtevaart en civiele techniek aan te pakken. De ontwikkeling voor real-life toepassingen begon rond het midden van de jaren 1950 als papers door Turner, Clough, Martin & Topp, Argyris, en Babuska & Aziz show., De boeken van Zienkiewicz en Strang & Fix legden ook de basis voor toekomstige ontwikkelingen in FEA-software.

verdeel en heers

om simulaties te kunnen maken, moet een mesh worden gemaakt, bestaande uit maximaal miljoenen kleine elementen die samen de vorm van de structuur vormen., Voor elk element worden berekeningen gemaakt. Het combineren van de individuele resultaten geeft ons het eindresultaat van de structuur. De benaderingen die we zojuist hebben genoemd zijn meestal polynoom en in feite interpolaties over het element(de elementen). Dit betekent dat we waarden kennen op bepaalde punten binnen het element, maar niet op elk punt. Deze ‘bepaalde punten’ worden knooppunten genoemd en bevinden zich vaak op de grens van het element. De nauwkeurigheid waarmee de variabele verandert wordt uitgedrukt door enige benadering voor bijvoorbeeld. lineair, kwadratisch, kubisch, enz., Om een beter begrip van benaderingstechnieken te krijgen, zullen we kijken naar een eendimensionale bar. Beschouw de werkelijke temperatuurverdeling T (x) langs de bar in de afbeelding hieronder:

laten we aannemen dat we de temperatuur van deze bar op 5 specifieke posities kennen (getallen 1-5 in de afbeelding)., Nu is de vraag: Hoe kunnen we de temperatuur tussen deze punten voorspellen? Een lineaire benadering is vrij goed, maar er zijn betere mogelijkheden om de werkelijke temperatuurverdeling weer te geven. Als we kiezen voor een vierkante benadering, de temperatuurverdeling langs de bar is veel gladder. Niettemin zien we dat ongeacht de polynomiale graad, de verdeling over de staaf bekend is zodra we de waarden op de knooppunten kennen. Als we een oneindige bar zouden hebben, zouden we een oneindige hoeveelheid onbekenden hebben (vrijheidsgraden (dof))., Maar in dit geval hebben we een probleem met een “eindig” aantal onbekenden:

een systeem met een eindig aantal onbekenden wordt een discreet systeem genoemd. Een systeem met een oneindig aantal onbekenden wordt een continu systeem genoemd.

voor benaderingen kunnen we de volgende relatie vinden voor een veldhoeveelheid \(u(x)\):

$$u(x) = U^h(x) + e(X) \tag{1}$$

$$U^h(x) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\phi_i(x) \tag{2}$$

de regel bovenaan toont dit principe voor een 1D probleem., \(u\) kan de temperatuur weergeven over de lengte van een staaf die op een niet-uniforme manier wordt verwarmd. In ons geval zijn er vier elementen langs de x-as, waar de functie definieert de lineaire benadering van de temperatuur geïllustreerd door punten langs de lijn.

een van de grootste voordelen die we hebben bij het gebruik van de eindige-elementenanalyse is dat we ofwel de discretisatie per element kunnen variëren of de corresponderende basisfuncties kunnen discretiseren. De facto zouden we kleinere elementen kunnen gebruiken in gebieden waar hoge gradiënten van \(u\) worden verwacht., Voor het modelleren van de steilheid van de functie moeten we benaderingen maken.

partiële differentiaalvergelijkingen

alvorens verder te gaan met het FEA zelf, is het belangrijk om de verschillende soorten PDE ‘ s en hun geschiktheid voor het FEA te begrijpen. Dit begrijpen is belangrijk voor iedereen, ongeacht de motivatie om eindige elementenanalyse te gebruiken. Men moet zich voortdurend herinneren dat FEA software is een hulpmiddel en elk hulpmiddel is slechts zo goed als de gebruiker.,

PDE ‘ s kunnen worden gecategoriseerd als elliptisch (zijn vrij glad), hyperbolisch (ondersteuningsoplossingen met discontinuïteiten), en parabolisch (beschrijf tijdsafhankelijke diffusieproblemen). Bij het oplossen van deze differentiaalvergelijkingen grens-en/of initiële voorwaarden moeten worden verstrekt. Op basis van het type PDE kunnen de benodigde inputs worden geëvalueerd. Voorbeelden voor PDE ‘ s in elke categorie zijn Poissonvergelijking (elliptisch), golfvergelijking (hyperbolisch) en Fourierwet (parabolisch).,

Er zijn twee manieren om elliptische PDE ‘ s op te lossen: eindige verschilanalyse (FDA) en variationele (of energie) methoden. FEA valt in de tweede categorie van variationele methoden. Variationele benaderingen zijn voornamelijk gebaseerd op de filosofie van energieminimalisatie.

hyperbolische PDE ‘ s worden vaak geassocieerd met sprongen in oplossingen., De golfvergelijking is bijvoorbeeld een hyperbolische PDE. Vanwege het bestaan van discontinuïteiten (of sprongen) in oplossingen, werd de oorspronkelijke FEA-technologie (of Bubnov-Galerkin-methode) ongeschikt geacht voor het oplossen van hyperbolische PDE ‘ s.

Het is belangrijk om rekening te houden met de gevolgen van het gebruik van een numeriek kader dat ongeschikt is voor het type PDE dat wordt gekozen. Dergelijk gebruik leidt tot oplossingen die bekend staan als “onjuist geposeerd”., Dit kan betekenen dat kleine veranderingen in de domeinparameters leiden tot grote schommelingen in de oplossingen of de oplossingen bestaan alleen op een bepaald deel van het domein of de tijd. Deze zijn niet betrouwbaar. Goed geposeerde oplossingen worden gedefinieerd met een unieke, die continu bestaat voor de gedefinieerde data. Daarom, gezien de betrouwbaarheid, is het uiterst belangrijk om ze te verkrijgen.

de zwakke en sterke formulering

de wiskundige modellen van warmtegeleiding en elastostatica die in deze reeks worden behandeld, bestaan uit (partiële) differentiaalvergelijkingen met zowel initiële als randvoorwaarden., Dit wordt ook wel de zogenaamde sterke vorm van het probleem genoemd. Een paar voorbeelden van “sterke vormen” worden gegeven in de illustratie hieronder:

tweede orde partiële differentiaalvergelijkingen vereisen een hoge mate van gladheid voor de oplossing \(u(x)\). Dat betekent dat de tweede afgeleide van de verplaatsing moet bestaan en continu moet zijn! Dit impliceert ook eisen voor parameters die niet kunnen worden beïnvloed, zoals de geometrie (scherpe randen) en de materiaalparameters (verschillende modulus in een materiaal).,

om de eindige-elementenformulering te ontwikkelen, moeten de partiële differentiaalvergelijkingen worden aangepast in een integrale vorm die de zwakke vorm wordt genoemd. De zwakke vorm en de sterke vorm zijn gelijkwaardig! In stressanalyse wordt de zwakke vorm het principe van virtueel werk genoemd.

$$\int^l_0 \ frac{dw}{dx}AE \ frac{du}{dx}dx=(wA\overline{t})_{x=0} + \Int^l _0wbdx ~~~ \forall w~met ~w (l)=0 \tag{3}$$

de gegeven vergelijking is de zogenaamde zwakke vorm (in dit geval de zwakke formulering voor elastostatica)., De naam zegt dat oplossingen voor de zwakke vorm niet zo glad hoeven te zijn als oplossingen van de sterke vorm, wat zwakkere continuïteitse vereisten impliceert.

houd er rekening mee dat de oplossing die voldoet aan de zwakke vorm ook de oplossing is van de sterke tegenhanger van de vergelijking. Onthoud ook dat de proefoplossingen \(u (x)\) moeten voldoen aan de verplaatsingsgrensvoorwaarden. Dit is een essentiële eigenschap van de trial solutions en daarom noemen we die randvoorwaarden essentiële randvoorwaarden.

interesseren deze formuleringen u?, Zo ja, lees dan meer in het forum topic over de gelijkwaardigheid tussen de zwakke en sterke formulering van PDEs voor FEA.

minimale potentiële energie

de eindige-elementenanalyse kan ook worden uitgevoerd met het Variatieprincipe. In het geval van eendimensionale elastostatica is het minimum aan potentiële energie veerkrachtig voor conservatieve systemen. De evenwichtspositie is stabiel als de potentiële energie van het systeem \(\Pi\) minimaal is. Elke infinitesimale verstoring van de stabiele positie leidt tot een energetische ongunstige toestand en impliceert een herstelreactie., Een eenvoudig voorbeeld is een normale glazen fles die op de grond staat, waar het minimale potentiële energie heeft. Als het omvalt, gebeurt er niets, behalve een hard geluid. Als het op de hoek van een tafel staat en op de grond valt, is het eerder waarschijnlijk te breken omdat het meer energie naar de grond draagt. Voor het variatieprincipe maken we gebruik van dit feit. Hoe lager het energieniveau, hoe minder kans het is om de verkeerde oplossing te krijgen., De totale potentiële energie \(\Pi\) van een systeem bestaat uit het werk van de innerlijke krachten (stam energie)

$$A_i = \int_0^l \underbrace{\frac{1}{2} E(x)A(x) \left(\frac{du}{dx} \right)^2}_{\frac{1}{2}\sigma\epsilon A(x)} dx \label{4}$$

en het werk van de externe krachten

$$A_a = A(x)\overline{t}(x)u(x)|_{\Gamma _t} \label{5}$$

De totale energie is:

$$\Pi = A_i – A_a \label{6}$$

meer informatie Vinden over het minimum potentiële energie in onze gerelateerde forum-onderwerp.,

Meshconvergentie

een van de meest over het hoofd gezien problemen in de computationele mechanica die de nauwkeurigheid beïnvloeden is meshconvergentie. Dit houdt verband met hoe klein de elementen moeten zijn om ervoor te zorgen dat de resultaten van een analyse niet worden beïnvloed door het veranderen van de grootte van de Maas.

bovenstaande figuur toont de convergentie van een hoeveelheid met een toename van de vrijheidsgraden. Zoals afgebeeld in de figuur, is het belangrijk om eerst de hoeveelheid rente te identificeren. Ten minste drie punten moeten in aanmerking worden genomen en naarmate de maasdichtheid toeneemt, begint de hoeveelheid van belang te convergeren naar een bepaalde waarde. Als twee opeenvolgende mesh verfijningen het resultaat niet wezenlijk veranderen, dan kan men aannemen dat het resultaat te hebben geconvergeerd.,

wat betreft de verfijning van Maas is het niet altijd nodig dat de Maas in het gehele model wordt verfijnd. Het principe van St. Venant houdt in dat de lokale spanningen in één regio de spanningen elders niet beïnvloeden. Vanuit een fysiek oogpunt kan het model dus alleen worden verfijnd in bepaalde gebieden van belang en verder een overgangszone hebben van grof naar fijnmazig gaas., Er zijn twee soorten verfijningen (h – en p-verfijning) zoals weergegeven in de figuur hierboven. h-verfijning heeft betrekking op de vermindering van de elementgroottes, terwijl p-verfijning betrekking heeft op het verhogen van de volgorde van het element.

Hier is het belangrijk om een onderscheid te maken tussen geometrisch effect en meshconvergentie, vooral wanneer het mengen van een gebogen oppervlak met behulp van rechte (of lineaire) elementen meer elementen (of mesh verfijning) vereist om de grens precies vast te leggen., Verfijning van Maas leidt tot een significante vermindering van fouten:

een dergelijke verfijning kan een toename van de convergentie van oplossingen mogelijk maken zonder de omvang van het totale probleem dat wordt opgelost te vergroten.

hoe meet ik convergentie?,

dus nu het belang van convergentie is besproken, hoe kan convergentie worden gemeten? Wat is een kwantitatieve convergentiemaatregel? De eerste manier zou zijn om te vergelijken met analytische oplossingen of experimentele resultaten.

fout van de verplaatsingen:

$$e_u = u – u^h \tag{7}$$

waarbij \(u\) de analytische oplossing is voor het verplaatsingsveld.

fout van de stammen:

$$E_\epsilon = \epsilon – \epsilon^h \ tag{8}$$

waarbij \(\epsilon\) de analytische oplossing is voor het stamveld.,

fout van de spanningen:

$$E_\sigma = \sigma – \sigma^h \tag{9}$$

waarbij \(\sigma\) de analytische oplossing is voor het spanningsveld.

zoals weergegeven in de vergelijkingen hierboven, kunnen verschillende fouten worden gedefinieerd voor verplaatsingen, spanningen en spanningen. Deze fouten kunnen worden gebruikt voor vergelijking en ze zouden moeten verminderen met mesh verfijning. Meer informatie over hoe deze fouten worden berekend met de respectievelijke normen voor deze hoeveelheden hier.,

eindige-Elementenanalysesoftware

de eindige-elementenanalyse begon met significante belofte in het modelleren van verschillende mechanische toepassingen met betrekking tot lucht-en ruimtevaart en civiele techniek. De toepassingen van eindige elementenmethode zijn net begonnen om hun potentieel te bereiken., Een van de meest opwindende perspectieven is de toepassing ervan op gekoppelde problemen zoals vloeistofstructuur interactie; thermo-mechanische, thermo-chemische, thermo-chemo-mechanische problemen piëzo-elektrische, ferro-elektrische, elektromagnetische en andere relevante gebieden:

statische

met statische analyse, kunt u Lineaire statische en niet-lineaire quasi-statische structuren analyseren. In een lineair geval met een toegepaste statische belasting is slechts één stap nodig om de structurele respons te bepalen. Geometrische, contact-en materiële niet-lineariteit kan in aanmerking worden genomen. Een voorbeeld is een lagerpad van een brug.,

dynamisch

dynamische analyse helpt u de dynamische respons te analyseren van een structuur die dynamische belastingen heeft ervaren gedurende een specifiek tijdsbestek. Om de structurele problemen op een realistische manier te modelleren, kunt u ook de effecten van belastingen en verplaatsingen analyseren. Een voorbeeld is de impact van een menselijke schedel, met of zonder helm.

modaal

eigenfrequenties en eigenmodes van een structuur als gevolg van trillingen kunnen worden gesimuleerd met behulp van modale analyse. De piekrespons van een structuur of systeem onder een bepaalde belasting kan met harmonische analyse worden gesimuleerd., Een voorbeeld is het starten van een motor.

verschillende typen eindige-elementenmethode

zoals eerder besproken in het hoofdstuk over PDEs, heeft traditionele FEM-technologie tekortkomingen aangetoond in het modelleren van problemen met betrekking tot vloeistofmechanica, golfvoortplanting, enz. In de afgelopen twee decennia zijn verschillende verbeteringen aangebracht om het oplossingsproces te verbeteren en de toepasbaarheid van eindige-elementenanalyse uit te breiden tot een breed genre van problemen., Enkele belangrijke die nog steeds worden gebruikt zijn:

Extended Finite Element Method (XFEM)

De Bubnov-Galerkin methode vereist continuïteit van verschuivingen tussen elementen. Problemen zoals contact, breuk, en schade, echter, omvatten discontinuïteiten en sprongen die niet direct kunnen worden behandeld door eindige Elementenmethoden. Om deze tekortkoming te verhelpen, werd XFEM geboren in de jaren 1990. XFEM werkt door de uitbreiding van de vormfuncties met Heaviside stapfuncties., Extra vrijheidsgraden worden toegewezen aan de knooppunten rond het punt van discontinuïteit, zodat de sprongen kunnen worden overwogen.

Generalized Finite Element Method (Gfem)

GFEM werd rond dezelfde tijd als XFEM in de jaren ’90 geïntroduceerd. Vormfuncties worden voornamelijk gedefinieerd in de Globale coördinaten en verder vermenigvuldigd met partition-of-unity om lokale elementaire vormfuncties te creëren. Een van de voordelen van GFEM is de preventie van re-meshing rond singulariteiten.,

gemengde eindige-elementenmethode

In verschillende problemen, zoals contact of incompressibiliteit, worden beperkingen opgelegd met behulp van Lagrange-multipliers. Deze extra vrijheidsgraden die voortvloeien uit Lagrange multipliers worden onafhankelijk opgelost. De vergelijkingen worden opgelost als een gekoppeld systeem.

HP-eindige elementenmethode

hp-FEM is een combinatie van het gebruik van automatische mesh verfijning (h-verfijning) en verhoging van de Orde van polynoom (p-verfijning). Dit is niet hetzelfde als h – en p – verfijningen afzonderlijk doen., Wanneer automatische HP-verfijning wordt gebruikt, en een element wordt verdeeld in kleinere elementen (h-verfijning), kan elk element ook verschillende polynomiale orden hebben.

discontinue Galerkin eindige-elementenmethode (DG-FEM)

DG-FEM heeft een significante belofte getoond voor het gebruik van het idee van eindige elementen voor het oplossen van hyperbolische vergelijkingen waar traditionele eindige-Elementenmethoden zwak zijn geweest. Bovendien is het ook veelbelovend gebleken in buig-en incompressible problemen die in de meeste materiaalprocessen vaak worden waargenomen., Hier worden extra beperkingen toegevoegd aan de zwakke vorm die een strafparameter bevatten (om interpenetratie te voorkomen) en termen voor ander evenwicht van spanningen tussen de elementen.

eindige-elementenanalyse & SimScale

De FEA-softwarecomponent van SimScale stelt u in staat om het gedrag van structuren virtueel te testen en te voorspellen en zo complexe constructieproblemen op te lossen die onderhevig zijn aan statische en dynamische belastingomstandigheden., Het FEA-simulatieplatform maakt gebruik van schaalbare numerieke methoden die wiskundige uitdrukkingen kunnen berekenen die anders zeer uitdagend zouden zijn vanwege complexe belasting, geometrieën of materiaaleigenschappen.

laatst bijgewerkt: 20 januari 2021