Natur und Arten der Logik
Es ist relativ einfach, eine gewisse Reihenfolge in der obigen Peinlichkeit der Erklärungen zu erkennen. Einige der Charakterisierungen sind tatsächlich eng miteinander verwandt. Wenn man zum Beispiel sagt, dass Logik das Studium der Gesetze des Denkens ist, können diese Gesetze nicht die empirischen (oder beobachtbaren) Gesetzmäßigkeiten des tatsächlichen menschlichen Denkens sein, wie sie in der Psychologie studiert wurden; Sie müssen Gesetze des korrekten Denkens sein, die unabhängig von den psychologischen Eigenheiten des Denkers sind., Darüber hinaus gibt es eine Parallelität zwischen korrektem Denken und gültiger Argumentation: Gültige Argumentation kann als Ausdruck korrekten Denkens und letztere als Internalisierung des ersteren angesehen werden. Im Sinne dieser Parallelität werden Gesetze des korrekten Denkens denen der korrekten Argumentation entsprechen. Das charakteristische Merkmal der letzteren ist wiederum, dass sie nicht von bestimmten Tatsachen abhängen. Wann immer ein Argument gültig ist, das einen Reasoner von p nach q führt, muss es unabhängig davon sein, was er über den Gegenstand von p und q weiß oder glaubt., Die einzige andere Quelle der Gewissheit der Verbindung zwischen p und q besteht jedoch vermutlich aus den Bedeutungen der Begriffe, die die Sätze p und q enthalten. Diese gleichen Bedeutungen werden dann auch den Satz „Wenn p, dann q“ wahr machen, unabhängig von allen bedingten Tatsachen. Allgemeiner kann man von p nach q argumentieren, wenn und nur wenn die Implikation“ Wenn p, dann q “ logisch wahr ist—dh wahr aufgrund der Bedeutungen von Wörtern, die in p und q vorkommen, unabhängig von irgendwelchen Tatsachen.,
Logik kann somit als das Studium von Wahrheiten charakterisiert werden, die vollständig auf den Bedeutungen der darin enthaltenen Begriffe basieren.
Um bestimmten traditionellen Ideen im Rahmen dieser Formulierung gerecht zu werden, müssen die fraglichen Bedeutungen möglicherweise als Einblicke in die Essenzen der mit den Begriffen bezeichneten Entitäten verstanden werden, nicht nur Kodifikationen des üblichen sprachlichen Gebrauchs.,
Der folgende Satz (von Aristoteles) zum Beispiel ist eine einfache Wahrheit der Logik: „Wenn Sehen Wahrnehmung ist, sind die Objekte des Sehens Objekte der Wahrnehmung.“Seine Wahrheit kann begriffen werden, ohne eine Meinung darüber zu haben, was tatsächlich das Verhältnis von Sehen zu Wahrnehmung ist. Was benötigt wird, ist lediglich ein Verständnis dessen, was mit Begriffen wie „wenn–dann“, „ist“ und „sind“ gemeint ist, und ein Verständnis, dass „Objekt von“ eine Art Beziehung ausdrückt.,
Die logische Wahrheit von Aristoteles ‚Beispielsatz spiegelt sich darin wider, dass“ Die Objekte des Sehens Objekte der Wahrnehmung sind „gültig aus“ Sehen ist Wahrnehmung “ abgeleitet werden können.“
Viele Fragen bleiben dennoch unbeantwortet durch diese Charakterisierung. Der Gegensatz zwischen Tatsachen und Beziehungen zwischen Bedeutungen, auf den sich bei der Charakterisierung stützte, wurde zusammen mit dem Begriff der Bedeutung in Frage gestellt. Selbst wenn beide akzeptiert werden, bleibt eine beträchtliche Spannung zwischen einem breiteren und einem engeren Logikbegriff bestehen., Nach der breiteren Interpretation gehören alle Wahrheiten, die nur von Bedeutungen abhängen, zur Logik. In diesem Sinne ist das Wort Logik in Bezeichnungen wie „epistemische Logik“ (Logik des Wissens), „doxastische Logik“ (Logik des Glaubens), „deontische Logik“ (Logik der Normen), „Logik der Wissenschaft“, „induktive Logik“ usw. zu nehmen. Nach der engeren Vorstellung erhalten (oder halten) logische Wahrheiten aufgrund bestimmter spezifischer Begriffe, die oft als logische Konstanten bezeichnet werden., Ob sie eine intrinsische Charakterisierung erhalten können oder ob sie nur durch Aufzählung angegeben werden können, ist ein strittiger Punkt. Es ist jedoch allgemein vereinbart, dass sie (1) solche Satzverbindungselemente wie „nicht“, „und“ „oder“ und „wenn–dann“ und (2) die sogenannten Quantifizierer „(∃x)“ (was gelesen werden kann: „Nennen Sie es für mindestens ein Individuum x, es ist wahr, dass“) und „(∀x)“ („Für jedes Individuum, nennen Sie es x, es ist wahr, dass“). Der Dummy-Buchstabe x wird hier als gebundene (individuelle) Variable bezeichnet., Seine Werte sollen Mitglieder einer festen Klasse von Entitäten sein, Individuen genannt, eine Klasse, die verschiedentlich als das Universum des Diskurses, das Universum, das in einer Interpretation vorausgesetzt wird, oder die Domäne von Individuen bekannt ist. Seine Mitglieder sollen in „(∃x)“ oder „(∀x) “ quantifiziert werden.“Darüber hinaus gehören (3) der Begriff der Identität (ausgedrückt durch =) und (4) ein Begriff der Prädikation (ein Individuum hat eine Eigenschaft oder das Halten einer Beziehung zwischen mehreren Individuen) zur Logik., Die Formen, die das Studium dieser logischen Konstanten annimmt, werden im Artikel ausführlicher beschrieben Logik, in dem auch die verschiedenen Arten der logischen Notation erklärt werden. Hier ist nur eine Abgrenzung des logischen Feldes gegeben.
Wenn die Begriffe in (1) allein untersucht werden, wird das Feld als Propositionslogik bezeichnet. Wenn (1), (2) und (4) berücksichtigt werden, ist das Feld der zentrale Bereich der Logik, der verschiedentlich als Logik erster Ordnung, Quantifizierungstheorie, untere Prädikatsrechnung, untere Funktionsrechnung oder elementare Logik bekannt ist., Wenn das Fehlen von (3) betont wird, wird der Beiname „ohne Identität“ hinzugefügt, im Gegensatz zu Logik erster Ordnung mit Identität, in der (3) ebenfalls enthalten ist.
Grenzfälle zwischen logischen und nicht logischen Konstanten sind (unter anderem) folgende: (1) Quantifizierung höherer Ordnung, was Quantifizierung nicht über die Individuen bedeutet, die zu einem bestimmten Diskursuniversum gehören, wie in der Logik erster Ordnung, sondern auch über Mengen von Individuen und Mengen von n-Tupeln von Individuen. (Alternativ können die Eigenschaften und Beziehungen, die diese Mengen angeben, über quantifiziert werden.,) Dies führt zu Logik zweiter Ordnung. Der Vorgang kann wiederholt werden. Die Quantifizierung über Mengen solcher Mengen (oder von n-Tupeln solcher Mengen oder über Eigenschaften und Beziehungen solcher Mengen), wie sie in der Logik zweiter Ordnung betrachtet werden, führt zu Logik dritter Ordnung; und alle Logiken endlicher Ordnung bilden zusammen die (einfache) Theorie der (endlichen) Typen. (2) Die durch ∊ ausgedrückte Zugehörigkeitsbeziehung kann auf die Logik erster Ordnung übertragen werden; es entsteht die Mengenlehre. (3) Die Begriffe (logische) Notwendigkeit und (logischen) Möglichkeit Hinzugefügt werden können.,
Dieser engere Sinn für Logik hängt mit der einflussreichen Idee der logischen Form zusammen. In jedem gegebenen Satz können alle nichtlogischen Begriffe durch Variablen des entsprechenden Typs ersetzt werden, wobei nur die logischen Konstanten intakt bleiben. Das Ergebnis ist eine Formel, die die logische Form des Satzes aufweist. Wenn die Formel zu einem wahren Satz für eine Substitution von interpretierten Begriffen (des entsprechenden logischen Typs) für die Variablen führt, werden die Formel und der Satz als logisch wahr bezeichnet (im engeren Sinne des Ausdrucks).