podstawowe operacje arytmetyczne to dodawanie, odejmowanie ,mnożenie i dzielenie, choć Temat ten obejmuje również bardziej zaawansowane operacje, takie jak manipulacje procentami, pierwiastkami kwadratowymi, wykładnictwem, funkcjami logarytmicznymi, a nawet funkcjami trygonometrycznymi, w tym samym duchu co logarytmy (protafereza). Wyrażenia arytmetyczne należy oceniać zgodnie z zamierzoną sekwencją operacji., Istnieje kilka metod, aby to określić, albo—najczęściej, wraz z notacją infiksową—jawnie używając nawiasów i opierając się na regułach pierwszeństwa, lub używając prefiksu lub notacji postfix, które jednoznacznie ustalają kolejność wykonania przez siebie. Każdy zbiór obiektów, na których można wykonać wszystkie cztery operacje arytmetyczne (z wyjątkiem dzielenia przez zero) i gdzie te cztery operacje są zgodne ze zwykłymi prawami (w tym dystrybutywnością), nazywa się polem.,
AdditionEdit
dodawanie nieskończenie wielu liczb może być postrzegane jako powtarzające się proste dodawanie; ta procedura jest znana jako sumowanie, termin używany również na określenie definicji „dodawania nieskończenie wielu liczb” w nieskończonej serii. Wielokrotne dodawanie liczby 1 jest najbardziej podstawową formą liczenia; wynik dodawania 1 jest zwykle nazywany następcą liczby pierwotnej.
Dodawanie jest przemienne i asocjacyjne, więc kolejność dodawania nieskończenie wielu terminów nie ma znaczenia.,
Liczba 0 ma właściwość, że po dodaniu do dowolnej liczby daje tę samą liczbę; jest więc elementem tożsamości dodawania lub tożsamością addytywną.
dodawanie może być również interpretowane geometrycznie, jak w poniższym przykładzie.Jeśli mamy dwa patyczki o długości 2 i 5, to jeśli patyczki są wyrównane jeden po drugim, długość połączonego patyczka wynosi 7, ponieważ 2 + 5 = 7.,
Odejmowaniedytuj
odejmowanie, oznaczane symbolem − {\displaystyle -} , jest operacją odwrotną do dodawania. Odejmowanie znajduje różnicę między dwiema liczbami, minuend minus subtrahend: D = M-S. odwołując się do wcześniej ustalonego dodawania, to znaczy, że różnica jest liczbą, która po dodaniu do subtrahend daje minuend: D + S = M.,
dla argumentów dodatnich M I S posiada:
Jeśli minuend jest większy niż subtrahend, różnica D jest dodatnia. Jeśli minuend jest mniejszy niż subtrahend, różnica D jest ujemna.
w każdym przypadku, jeśli minuend i subtrahend są równe, różnica D = 0.
odejmowanie nie jest ani przemienne, ani asocjacyjne., Z tego powodu konstrukcja tej operacji odwrotnej we współczesnej algebrze jest często odrzucana na rzecz wprowadzenia pojęcia elementów odwrotnych (jak naszkicowano w § Dodawanie), gdzie odejmowanie jest uważane za dodanie addytywnej odwrotności podzbioru do minuendy, czyli A − b = A + (- b)., Natychmiastową ceną odrzucenia binarnej operacji odejmowania jest wprowadzenie (trywialnej) operacji jednostkowej, dającej addytywną odwrotność dla dowolnej liczby i utrata natychmiastowego dostępu do pojęcia różnicy, co jest potencjalnie mylące, gdy zaangażowane są argumenty ujemne.
dla dowolnych reprezentacji liczb istnieją metody obliczania wyników, z których część jest szczególnie korzystna w wykorzystywaniu procedur, istniejących dla jednej operacji, przez małe zmiany również dla innych., Na przykład komputery cyfrowe mogą ponownie wykorzystać istniejące obwody dodawania i zapisać dodatkowe obwody do implementacji odejmowania, stosując metodę dopełniacza dwóch do reprezentowania odwrotności addytywnych, co jest niezwykle łatwe do zaimplementowania w sprzęcie (negacja). Kompromis polega na zmniejszeniu o połowę zakresu liczb dla stałej długości słowa.
dawniej metodą szerokiego spreadu w celu uzyskania prawidłowej kwoty zmiany, znając należne i podane kwoty, jest metoda liczenia, która nie generuje wyraźnie wartości różnicy., Załóżmy, że kwota P jest podana w celu zapłaty wymaganej kwoty Q, z P większym niż Q. zamiast jawnego wykonywania odejmowania P − Q = C i liczenia tej kwoty C W zmianie, pieniądze są liczone począwszy od następcy Q i kontynuując w krokach waluty, aż do osiągnięcia P. Chociaż liczona kwota musi być równa wyniku odejmowania P-Q, odejmowanie nigdy nie zostało wykonane i wartość P-Q nie jest dostarczana tą metodą.,
mnożenie
mnożenie, oznaczane symbolami × {\displaystyle \ times} lub ⋅ {\displaystyle \cdot}, jest drugą podstawową operacją arytmetyki. Mnożenie łączy również dwie liczby w jedną liczbę, iloczyn. Dwie liczby pierwotne nazywane są mnożnikiem i mnożnikiem, najczęściej oba są po prostu nazywane czynnikami.
mnożenie może być postrzegane jako operacja skalowania., Jeśli liczby są wyobrażane jako leżące w linii, mnożenie przez liczbę większą niż 1, powiedzmy x, jest tym samym, co rozciąganie wszystkiego od 0 równomiernie, w taki sposób, że sama liczba 1 jest rozciągnięta do miejsca, w którym było x. Podobnie mnożenie przez liczbę mniejszą od 1 można sobie wyobrazić jako ściskanie w kierunku 0, w taki sposób, że 1 przechodzi do mnożnika.
innym poglądem na mnożenie liczb całkowitych (rozszerzalne do racjonalnych, ale niezbyt dostępne dla liczb rzeczywistych) jest uznanie go za wielokrotne dodawanie. Na przykład., 3 × 4 oznacza dodanie 3 razy a 4 lub 4 razy a 3, dając ten sam wynik. Istnieją różne opinie na temat zalet tych paradygmatów w edukacji matematycznej.
Mnożenie jest przemienne i asocjacyjne; ponadto jest rozdzielne nad dodawaniem i odejmowaniem. Tożsamość mnożnikowa wynosi 1, ponieważ mnożenie dowolnej liczby przez 1 daje tę samą liczbę. Odwrotność multiplikatywna dla dowolnej liczby z wyjątkiem 0 jest odwrotnością tej liczby, ponieważ mnożenie odwrotności dowolnej liczby przez samą liczbę daje tożsamość multiplikatywną 1., 0 jest jedyną liczbą bez mnożnika odwrotnego, a wynikiem mnożenia dowolnej liczby i 0 jest ponownie 0. Mówi się, że 0 nie jest zawarte w multiplikatywnej grupie liczb.
iloczyn a i b zapisuje się jako a × b lub A·b. Gdy a lub b są wyrażeniami nie zapisywanymi po prostu cyframi, zapisuje się je również za pomocą prostego zestawienia: ab. W językach programowania i pakietach oprogramowania (w których można używać tylko znaków normalnie występujących na klawiaturze), często zapisywany jest gwiazdką: a * b.,
algorytmy implementujące operację mnożenia dla różnych reprezentacji liczb są o wiele bardziej kosztowne i pracochłonne niż algorytmy dodawania. Te dostępne do obliczeń ręcznych polegają albo na rozbiciu współczynników na wartości pojedynczego miejsca i zastosowaniu wielokrotnego dodawania, albo na wykorzystaniu tabel lub reguł slajdów, mapując w ten sposób mnożenie na dodawanie i odwrotnie. Metody te są przestarzałe i są stopniowo zastępowane przez urządzenia mobilne., Komputery wykorzystują różnorodne zaawansowane i wysoce zoptymalizowane algorytmy, aby zaimplementować mnożenie i dzielenie dla różnych formatów liczb obsługiwanych w ich systemie.
Dzielenieedit
dzielenie, oznaczane symbolami ÷ {\displaystyle \div } lub / {\displaystyle/}, jest zasadniczo operacją odwrotną do mnożenia. Dzielenie znajduje iloraz dwóch liczb, dywidenda podzielona przez dzielnik. Każda dywidenda podzielona przez zero jest niezdefiniowana., Dla różnych liczb dodatnich, jeśli dywidenda jest większa od dzielnika, iloraz jest większy niż 1, w przeciwnym razie jest mniejszy niż 1 (podobna zasada dotyczy liczb ujemnych). Iloraz pomnożony przez dzielnik zawsze daje dywidendę.
podział nie jest ani przemienny, ani asocjacyjny. Tak jak wyjaśniono w § odejmowanie, konstrukcja podziału we współczesnej algebrze jest odrzucana na rzecz konstruowania elementów odwrotnych w odniesieniu do mnożenia, jak wprowadzono w § mnożenie., W liczbach naturalnych istnieje również inne, ale pokrewne pojęcie zwane dzieleniem Euklidesowym, które daje dwie liczby po „podzieleniu” naturalnego N (licznik) przez naturalny d (mianownik): pierwsza naturalna Q (iloraz), a druga naturalna R (pozostałość) taka, że N = D × Q + R I 0 ≤ RQ.